จำนวนที่คาดหวังอัตราส่วนของการเกิดหญิงกับชาย

ฉันเจอคำถามหนึ่งในการสัมภาษณ์งานการทดสอบความถนัดเรื่องการคิดอย่างมีวิจารณญาณ มันเป็นอะไรแบบนี้

สาธารณรัฐ Zorganian มีประเพณีแปลก ๆ คู่รักมีความประสงค์ที่จะมีลูกผู้หญิงเท่านั้นเพราะผู้หญิงเท่านั้นที่สามารถสืบทอดทรัพย์สมบัติของครอบครัวได้ดังนั้นหากพวกเขามีลูกผู้ชายพวกเขาจะมีลูกเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ จนกว่าพวกเขาจะมีผู้หญิง หากพวกเขามีผู้หญิงพวกเขาหยุดมีลูก อัตราส่วนระหว่างเด็กหญิงกับชายใน Zorgania คือเท่าไหร่?

ฉันไม่เห็นด้วยกับคำตอบแบบจำลองที่กำหนดโดยผู้เขียนคำถามซึ่งมีประมาณ 1: 1 เหตุผลก็คือการเกิดใด ๆ จะมีโอกาส 50% ในการเป็นชายหรือหญิง

คุณช่วยโน้มน้าวฉันด้วยคำตอบที่แข็งแกร่งทางคณิตศาสตร์ของถ้าคือจำนวนของเด็กหญิงและ B คือจำนวนเด็กชายในประเทศ?$\text{E}[G]:\text{E}[B]$$G$

เริ่มต้นโดยไม่มีลูก

ทำซ้ำขั้นตอน

{

ทุกคู่ที่ยังคงมีลูกมีลูก คู่รักครึ่งหนึ่งมีชายและหญิงครึ่งหนึ่งมีหญิง

คู่รักที่มีผู้หญิงหยุดมีลูก

}

ในแต่ละขั้นตอนคุณจะได้รับจำนวนของชายและหญิงและจำนวนคู่ที่มีลูกลดลงครึ่งหนึ่ง (เช่นที่มีผู้หญิงจะไม่มีลูกในขั้นตอนถัดไป)

ดังนั้นในเวลาใดก็ตามคุณมีจำนวนของชายและหญิงเท่ากันและจากขั้นตอนหนึ่งไปอีกขั้นจำนวนคู่ที่มีลูกตกลงไปครึ่งหนึ่ง เมื่อคู่รักถูกสร้างขึ้นในสถานการณ์เดียวกัน reoccurs และสิ่งอื่น ๆ ที่เท่าเทียมกันประชากรจะมีจำนวนเพศชายและเพศหญิงเท่ากัน

ให้เป็นจำนวนเด็กชายในครอบครัว ทันทีที่พวกเขามีผู้หญิงคนหนึ่งพวกเขาก็หยุดดังนั้น$X$

$$\begin{array}{| l |l | } \hline X=0 & \text{if the first child was a girl}\\ X=1 & \text{if the first child was a boy and the second was a girl}\\ X=2 & \text{if the first two children were boys and the third was a girl}\\ \text{and so on}\ldots &\\ \hline \end{array}$$

ถ้าเป็นโอกาสที่เด็กเป็นเด็กผู้ชายคนหนึ่งและถ้าเพศมีความเป็นอิสระระหว่างเด็กน่าจะเป็นที่ครอบครัวสิ้นสุดลงด้วยการมีkชายคือ P ( X = k ) = P k ⋅ ( 1 - P ) , คือความน่าจะเป็นของ มีชายkแล้วมีหญิงสาว จำนวนที่คาดหวังของเด็กชายเป็น E X = ∞ Σ k = 0 k P k ⋅ ( 1 - P ) $p$$k$

$$\mbox{P}(X=k)=p^{k}\cdot (1-p),$$ $k$ สังเกตว่า ∞ ∑ k = 0 kpk= ∞ ∑ k = 0 (k+1)pk+1เราได้ ∞ ∑ k = 0 kpk- ∞ ∑ k = 0 $$\operatorname{E}X=\sum_{k=0}^\infty kp^k \cdot (1-p)=\sum_{k=0}^\infty kp^k-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}.$$ $$\sum_{k=0}^\infty kp^k=\sum_{k=0}^\infty (k+1)p^{k+1}$$ โดยที่เราใช้∑ ∞ k = 0 pk=1/(1-p)เมื่อ0<p<1(ดูซีรี่ส์เรขาคณิต) $$\sum_{k=0}^\infty kp^k-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty (k+1)p^{k+1}-\sum_{k=0}^\infty kp^{k+1}=\sum_{k=0}^\infty p^{k+1}=p\sum_{k=0}^\infty p^{k}=\frac{p}{1-p}$$ $\sum_{k=0}^\infty p^k=1/(1-p)$$0<p<1$

ถ้าเรามีที่E X = 0.5 / 0.5 นั่นคือครอบครัวโดยเฉลี่ยมีเด็กชาย 1 คน เรารู้อยู่แล้วว่าทุกครอบครัวมี 1 สาวดังนั้นอัตราส่วนจะอยู่ตลอดเวลาแม้กระทั่งออกมาเป็น1 / 1 = 1$p=1/2$$\operatorname{E}X=0.5/0.5$$1/1=1$

$X$

สรุป

รูปแบบง่าย ๆ ที่การคลอดลูกอย่างอิสระนั้นมีโอกาส 50% ที่จะเป็นผู้หญิงที่ไม่สมจริงและกลายเป็นสิ่งที่พิเศษ เร็วที่สุดเท่าที่เราจะพิจารณาผลกระทบของการเปลี่ยนแปลงในผลในหมู่ประชาชนคำตอบคือว่าผู้หญิงคนนั้นอัตราส่วนเด็กสามารถใด ๆมูลค่าไม่เกิน 1: 1 (ในความเป็นจริงอาจเป็นไปได้ที่จะใกล้เคียงกับ 1: 1 แต่นั่นเป็นเรื่องสำคัญสำหรับการวิเคราะห์ข้อมูลเพื่อกำหนด)

เนื่องจากคำตอบที่ขัดแย้งกันทั้งสองนี้นั้นได้มาจากการสมมติว่ามีความเป็นอิสระทางสถิติของผลลัพธ์การเกิดการอุทธรณ์ต่ออิสรภาพจึงเป็นคำอธิบายที่ไม่เพียงพอ ดังนั้นจึงปรากฏว่าความแปรปรวน (ในโอกาสเกิดของสตรี) เป็นความคิดหลักที่อยู่เบื้องหลังความขัดแย้ง

บทนำ

ความขัดแย้งเกิดขึ้นเมื่อเราคิดว่าเรามีเหตุผลที่ดีที่จะเชื่อบางสิ่ง แต่ต้องเผชิญหน้ากับข้อโต้แย้งที่ดูแข็งกร้าว

การแก้ไขข้อขัดแย้งที่น่าพอใจช่วยให้เราเข้าใจว่าอะไรถูกและอะไรที่อาจผิดไปจากข้อโต้แย้งทั้งคู่ ตามที่มักจะเป็นในกรณีของความน่าจะเป็นและสถิติการขัดแย้งทั้งสองสามารถใช้ได้จริง: การแก้ไขจะขึ้นอยู่กับความแตกต่างระหว่างสมมติฐานที่ทำโดยนัย การเปรียบเทียบสมมติฐานต่าง ๆ เหล่านี้สามารถช่วยให้เราระบุได้ว่าสถานการณ์ใดที่นำไปสู่คำตอบที่ต่างกัน การระบุประเด็นเหล่านี้ที่ฉันรักษาไว้คือสิ่งที่เราควรให้ความสำคัญมากที่สุด

สมมติฐาน

$1/2$

1. $i$$p_i$

2. ในกรณีที่ไม่มีกฎการหยุดใด ๆ จำนวนการเกิดของสตรีที่คาดหวังในประชากรควรจะใกล้เคียงกับจำนวนการเกิดของผู้ชายที่คาดหวัง

3. ผลลัพธ์การเกิดทั้งหมดเป็นอิสระทางสถิติ

$p_i$

การวิเคราะห์

$2N$$2/3$$1/3$

$N$

$f(N,p)$$N$$p$$N$$f(N,p) = f(p)N$$m(p)N$

• $pN$$(1-p)N$$pN$$(1-p)N$

• $(1-p)N$$f(p)[(1-p)N]$$m(p)[(1-p)N]$

$f(p)N$$m(p)N$

$$f(p)N = pN + f(p)(1-p)N\ \text{ and }\ m(p)N = (1-p)N + m(p)(1-p)N$$

ด้วยโซลูชั่น

$$f(p) = 1\ \text{ and }\ m(p) = \frac{1}{p}-1.$$

$N$$p=2/3$$f(2/3)N = N$$m(2/3)N = N/2$

$N$$p=1/3$$f(1/3)N = N$$m(1/3)N = 2N$

$(1+1)N = 2N$$(1/2+2)N = (5/2)N$$N$

$$\mathbb{E}\left(\frac{\text{# girls}}{\text{# boys}}\right) \approx \frac{2N}{(5/2)N} = \frac{4}{5}.$$

กฎการหยุดโปรดปรานชาย!

$p$$1-p$$N$

$$\frac{2p(1-p)}{1 - 2p(1-p)}.$$

$p$$0$$1$$0$$1$$1$$1$$p=1/2$

มติ

หากสัญชาตญาณของคุณคือการหยุดกับผู้หญิงคนแรกที่ควรจะผลิตเด็กผู้ชายมากขึ้นในประชากรแล้วคุณถูกต้องตามตัวอย่างนี้แสดงให้เห็น ในการที่จะแก้ไขให้ถูกต้องสิ่งที่คุณต้องมีก็คือความน่าจะเป็นของการให้กำเนิดผู้หญิงคนหนึ่งนั้นแตกต่างกันไป

คำตอบ "อย่างเป็นทางการ" ว่าอัตราส่วนควรใกล้เคียงกับ 1: 1 ต้องใช้สมมติฐานที่ไม่สมจริงหลายประการและอ่อนไหวต่อมัน: สมมติว่าไม่มีความแตกต่างระหว่างครอบครัวและการเกิดทั้งหมดจะต้องเป็นอิสระ

ความคิดเห็น

แนวคิดหลักที่เน้นโดยการวิเคราะห์นี้คือการเปลี่ยนแปลงภายในประชากรนั้นมีผลกระทบที่สำคัญ ความเป็นอิสระของการเกิด - แม้ว่ามันจะเป็นข้อสันนิษฐานที่ใช้ง่ายสำหรับการวิเคราะห์ในหัวข้อนี้ - ไม่ได้แก้ความขัดแย้งเพราะ (ขึ้นอยู่กับสมมติฐานอื่น ๆ ) เพราะมันมีความสอดคล้องกันทั้งคำตอบอย่างเป็นทางการและตรงกันข้าม

$p_i$$p_i$$p_i$

ถ้าเราแทนที่เพศด้วยการแสดงออกทางพันธุกรรมอื่น ๆ เราจะได้คำอธิบายทางสถิติอย่างง่าย ๆ เกี่ยวกับการคัดเลือกโดยธรรมชาติ : กฎที่ จำกัด จำนวนลูกหลานตามการแต่งหน้าทางพันธุกรรมของพวกเขาสามารถเปลี่ยนสัดส่วนของยีนเหล่านั้นในรุ่นต่อไปอย่างเป็นระบบ เมื่อยีนไม่ได้เชื่อมโยงกับเพศถึงแม้จะมีผลกระทบเล็กน้อยที่จะแพร่กระจายทวีคูณผ่านรุ่นต่อเนื่องและสามารถขยายอย่างรวดเร็วมาก

---

คำตอบเดิม

เด็กแต่ละคนมีลำดับการเกิด: ลูกคนหัวปีเกิดครั้งที่สองเป็นต้น

สมมติว่าความน่าจะเป็นที่เท่ากันระหว่างการเกิดชายและหญิงและไม่มีความสัมพันธ์กันในหมู่เพศกฎที่อ่อนแอของคนจำนวนมากยืนยันว่าจะมีอัตราส่วนใกล้เคียงกับอัตราส่วน 1: 1 ของผู้หญิงคนแรกกับเพศชาย ด้วยเหตุผลเดียวกันจะมีอัตราส่วน 1: 1 ของผู้หญิงที่เกิดที่สองต่อเพศชายและอื่น ๆ เนื่องจากอัตราส่วนเหล่านี้มีอัตราส่วน 1: 1 ตลอดเวลาอัตราส่วนโดยรวมจะต้องเป็น 1: 1 เช่นกันโดยไม่คำนึงถึงความถี่สัมพัทธ์ของคำสั่งคลอดที่เกิดขึ้นในประชากร

การเกิดของเด็กแต่ละคนเป็นเหตุการณ์อิสระที่มี P = 0.5 สำหรับเด็กผู้ชายและ P = 0.5 สำหรับเด็กผู้หญิง รายละเอียดอื่น ๆ (เช่นการตัดสินใจของครอบครัว) เบี่ยงเบนความสนใจของคุณจากข้อเท็จจริงนี้เท่านั้น คำตอบก็คือว่าอัตราส่วน 1: 1

หากต้องการอธิบายเกี่ยวกับสิ่งนี้: จินตนาการว่าแทนที่จะมีลูกคุณจะพลิกเหรียญที่ยุติธรรม (P (หัว) = 0.5) จนกว่าคุณจะได้ "หัว" สมมติว่า Family A พลิกเหรียญและได้รับลำดับของ [ก้อยก้อยหัว] จากนั้น Family B พลิกเหรียญและได้รับก้อย ทีนี้ความน่าจะเป็นที่จะเป็นถัดไปคืออะไร? ยังคง 0.5เพราะนั่นคือสิ่งที่หมายถึงอิสระ หากคุณทำเช่นนี้กับ 1,000 ตระกูล (ซึ่งหมายถึง 1,000 หัวขึ้นมา) จำนวนหางทั้งหมดที่คาดไว้คือ 1,000 เนื่องจากการโยนแต่ละครั้ง (เหตุการณ์) เป็นอิสระอย่างสมบูรณ์

บางสิ่งไม่เป็นอิสระเช่นลำดับภายในครอบครัวความน่าจะเป็นของลำดับ [หัวหัว] คือ 0 ไม่เท่ากับ [ก้อยก้อย] (0.25) แต่เนื่องจากคำถามไม่ได้ถามเกี่ยวกับสิ่งนี้จึงไม่เกี่ยวข้อง

ลองนึกภาพการโยนเหรียญที่ยุติธรรมจนกว่าคุณจะสังเกตเห็นหัว คุณเหวี่ยงกี่อัน?

$P(0 \text{ tails}) = \frac{1}{2}, P(1 \text{ tail}) = (\frac{1}{2})^2, P(2 \text{ tails}) = (\frac{1}{2})^3, ...$

จำนวนหางที่คาดหวังสามารถคำนวณได้ง่าย * ถึง 1

จำนวนของหัวคือ 1 เสมอ

* หากนี่ยังไม่ชัดเจนสำหรับคุณโปรดดู 'โครงร่างของการพิสูจน์' ที่นี่

คู่รักที่มีผู้หญิงเพียงคนเดียวและไม่มีผู้ชายเป็นเรื่องธรรมดาที่สุด

เหตุผลทั้งหมดนี้เป็นเพราะความเป็นไปได้ของสถานการณ์หนึ่งที่มีเด็กหญิงมากกว่านั้นมากกว่าสถานการณ์ที่มีเด็กผู้ชายมากขึ้น และสถานการณ์ที่มีเด็กชายจำนวนมากมีความน่าจะเป็นต่ำมาก วิธีการทำงานของตัวเองโดยเฉพาะมีภาพประกอบด้านล่าง

NumberOfChilden Probability  Girls   Boys  
1               0.5           1       0  
2               0.25          1       1  
3               0.125         1       2  
4               0.0625        1       3  
...             ...           ...     ...  

NumberOfChilden Probability   Girls*probabilty   Boys*probabilty 
1               0.5           0.5                0
2               0.25          0.25               0.25
3               0.125         0.125              0.25
4               0.0625        0.0625             0.1875
5               0.03125       0.03125            0.125
...             ...           ...                ...  
n               1/2^n         1/(2^n)            (n-1)/(2^n)

คุณสามารถดูว่านี่เกิดขึ้น ณ จุดนี้โดยรวมของเด็กหญิงและเด็กชายจะรวมกันเป็นหนึ่ง

ผู้หญิงที่คาดหวังจากคู่หนึ่ง${}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{1}{2^n})=1$
${}=\sum_{n=1}^\infty(\frac{n-1}{n^2})=1$

^{จำกัด โซลูชั่นจากวุลแฟรม}

ไม่ว่าจะเกิดในครอบครัวอะไรก็ตามมีโอกาส 50:50 ในการเป็นเด็กชายหรือเด็กหญิง

ทั้งหมดนี้ทำให้รู้สึกที่แท้จริงเพราะ (ลองเป็นคู่อาจ) คุณไม่สามารถควบคุมความน่าจะเป็นของการเกิดที่เฉพาะเจาะจงเป็นชายหรือหญิง ไม่สำคัญว่าเด็กจะเกิดมาเป็นคู่รักที่ไม่มีลูกหรือครอบครัวของชายร้อยคน โอกาสคือ 50:50 ดังนั้นหากการเกิดของแต่ละคนมีโอกาส 50:50 คุณควรได้เด็กชายครึ่งหนึ่งและผู้หญิงครึ่งหนึ่งเสมอ และไม่สำคัญว่าคุณจะสับเปลี่ยนการเกิดระหว่างครอบครัวอย่างไร คุณจะไม่ส่งผลกระทบต่อสิ่งนั้น

ใช้ได้กับกฎ¹ข้อ

สำหรับโอกาส 50:50 สำหรับการเกิดใด ๆ อัตราส่วนจะจบลงที่ 1: 1 สำหรับกฎ(สมเหตุสมผล¹ ) ใด ๆ ที่คุณสามารถทำได้ ตัวอย่างเช่นกฎที่คล้ายกันด้านล่างยังทำงานได้แม้

คู่รักหยุดมีลูกเมื่อมีผู้หญิงหรือมีลูกสองคน

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
1               0.5           1       0
2               0.25          1       1
2               0.25          0       2

ในกรณีนี้เด็กที่คาดหวังทั้งหมดจะถูกคำนวณง่ายขึ้น

ผู้หญิงที่คาดหวังจากคู่หนึ่ง${}=0.5\cdot1 + 0.25\cdot1 =0.75$
${}=0.25\cdot1 + 0.25\cdot2 =0.75$

^{1 ดัง}ที่ฉันได้กล่าวไปแล้วว่ามันใช้ได้ผลกับกฎที่สมเหตุสมผลใด ๆ ที่อาจมีอยู่ในโลกแห่งความเป็นจริง กฎที่ไม่สมเหตุสมผลจะเป็นสิ่งที่เด็ก ๆ คาดหวังต่อคู่ไม่มีที่สิ้นสุด ตัวอย่างเช่น "ผู้ปกครองจะหยุดมีลูกเมื่อพวกเขามีเด็กชายเป็นสองเท่า" เราสามารถใช้เทคนิคเดียวกันกับด้านบนเพื่อแสดงว่ากฎนี้ให้เด็กที่ไม่มีที่สิ้นสุด:

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
3               0.125         1       2
6               1/64          2       4
9               1/512         3       6
3*m             1/((3m)^2     m       2m

จากนั้นเราสามารถหาจำนวนผู้ปกครองที่มีจำนวนเด็ก จำกัด

จำนวนผู้ปกครองที่คาดว่าจะมีบุตร จำกัด${}=\sum_{m=1}^\infty(\frac{1}{1/(3m)^2})=\frac{\pi^2}{54}=0.18277\ldots.$

^{จำกัด โซลูชั่นจากวุลแฟรม}

จากสิ่งนี้เราสามารถพิสูจน์ได้ว่า 82% ของผู้ปกครองจะมีลูกไม่ จำกัด จำนวน จากมุมมองการวางแผนเมืองอาจทำให้เกิดปัญหาและแสดงให้เห็นว่าสภาพเช่นนี้ไม่สามารถเกิดขึ้นได้ในโลกแห่งความเป็นจริง

คุณยังสามารถใช้การจำลอง:

p<-0
for (i in 1:10000){
  a<-0
  while(a != 1){   #Stops when having a girl
    a<-as.numeric(rbinom(1, 1, 0.5))   #Simulation of a new birth with probability 0.5
    p=p+1   #Number of births
  }
}
(p-10000)/10000   #Ratio

การทำแผนที่สิ่งนี้ช่วยให้ฉันดูอัตราส่วนของประชากรที่เกิด (สมมติว่าเป็น 1: 1) และอัตราส่วนของประชากรของเด็ก ๆ ทั้งสองจะเป็น 1: 1 ในขณะที่บางครอบครัวจะมีเด็กผู้ชายหลายคน แต่มีผู้หญิงเพียงคนเดียวซึ่งในตอนแรกทำให้ฉันคิดว่าจะมีเด็กผู้ชายมากกว่าผู้หญิงจำนวนครอบครัวเหล่านั้นจะไม่มากกว่า 50% และจะลดลงครึ่งหนึ่งกับเด็กเพิ่มเติมแต่ละคน จำนวนครอบครัวที่มีเด็กผู้หญิงเท่านั้นจะเป็น 50% จำนวนเด็กผู้ชายและเด็กผู้หญิงจะทำให้เกิดความสมดุลซึ่งกันและกัน ดูผลรวมของ 175 ที่ด้านล่าง

สิ่งที่คุณได้คือคำตอบที่ง่ายที่สุดและถูกต้อง หากความน่าจะเป็นของเด็กทารกแรกเกิดที่เป็นเด็กชายคือ p และเด็กที่มีเพศผิดจะไม่ประสบอุบัติเหตุที่โชคร้ายมันไม่สำคัญว่าผู้ปกครองจะตัดสินใจเกี่ยวกับการมีบุตรมากขึ้นตามเพศของเด็กหรือไม่ หากจำนวนเด็กเป็น N และ N มีขนาดใหญ่คุณสามารถคาดหวังเกี่ยวกับเด็กชาย p * N ไม่จำเป็นต้องมีการคำนวณที่ซับซ้อนมากขึ้น

มีคำถามอื่น ๆ เช่น "สิ่งที่น่าเป็นไปได้ที่ลูกคนสุดท้องของครอบครัวที่มีลูกเป็นเด็กผู้ชาย" หรือ "ความน่าจะเป็นที่เด็กโตที่สุดในครอบครัวที่มีลูกเป็นเด็กคืออะไร" (หนึ่งในนั้นมีคำตอบที่ถูกต้องง่าย ๆ อีกข้อหนึ่งมีคำตอบที่ผิดง่าย ๆ และการได้คำตอบที่ถูกต้องก็คือหากิน)

ปล่อย

$\text{$\Omega$={(G),(B,G),(B,B,G),$\dots$}}$

เป็นพื้นที่ตัวอย่างและปล่อยให้

$\text{X: $\Omega\longrightarrow\mathbb{R}$; $\omega\mapsto\vert\omega\vert$-1}$

$\omega$$\text{E(X)}$

$\text{E(X)=$\sum_{n=1}^\infty(\text{n-1})\cdot0.5^n$=1}$

ค่าคาดหวังของเด็กผู้หญิงคือ 1 ดังนั้นอัตราส่วนคือ 1 เช่นกัน

มันเป็นคำถามที่หลอกลวง อัตราส่วนคงเดิม (1: 1) คำตอบที่ถูกต้องคือมันไม่ส่งผลกระทบต่ออัตราการเกิด แต่จะมีผลต่อจำนวนเด็กต่อครอบครัวที่มีปัจจัย จำกัด อยู่ที่การเกิดเฉลี่ย 2 ครั้งต่อครอบครัว

นี่เป็นคำถามที่คุณอาจพบในการทดสอบตรรกะ คำตอบนั้นไม่เกี่ยวกับอัตราการเกิด นั่นเป็นสิ่งที่ทำให้ไขว้เขว

นี่ไม่ใช่คำถามที่น่าจะเป็น แต่เป็นคำถามที่ให้เหตุผลเชิงความคิด แม้ว่าคุณจะตอบอัตราส่วน 1: 1 คุณก็ยังทดสอบไม่สำเร็จ

ฉันกำลังแสดงรหัสที่ฉันเขียนสำหรับการจำลอง Monte Carlo (500x1000 ตระกูล) โดยใช้ซอฟต์แวร์ `MATLAB ' โปรดพิจารณารหัสเพื่อที่ฉันจะได้ไม่ทำผิดพลาด

ผลลัพธ์ถูกสร้างและลงจุดด้านล่าง มันแสดงให้เห็นถึงความน่าจะเป็นเกิดเด็กผู้หญิงที่จำลองมีข้อตกลงที่ดีมากกับความน่าจะเป็นเกิดตามธรรมชาติโดยไม่คำนึงถึงกฎการหยุดสำหรับช่วงของความน่าจะเป็นเกิดตามธรรมชาติ

การเล่นกับโค้ดมันง่ายกว่าที่จะเข้าใจจุดหนึ่งที่ฉันไม่เคยทำมาก่อน --- ดังที่คนอื่นชี้ให้เห็นกฎการหยุดเป็นสิ่งที่ทำให้ไขว้เขว กฎการหยุดส่งผลกระทบต่อจำนวนครอบครัวที่ได้รับประชากรคงที่หรือจากมุมมองอื่นจำนวนการเกิดของเด็กที่ได้รับจำนวนครอบครัวคงที่ เพศถูกกำหนดโดยการทอยลูกเต๋าและด้วยเหตุนี้อัตราส่วนหรือความน่าจะเป็น (ซึ่งไม่ขึ้นกับจำนวนลูก) จะขึ้นอยู่กับเด็กชายตามธรรมชาติ แต่เพียงผู้เดียว: เด็กหญิงเกิด

testRange=0.45:0.01:0.55;
N=uint32(100000); %Used to approximate probability distribution
M=1000; %Number of families
L=500; %Monte Carlo repetitions
Nfamily=zeros(length(testRange),1);
boys=zeros(length(testRange),1);
girls=zeros(length(testRange),1);
for l = 1:L
    j=1; %Index variable for the different bgratio
    for bgratio=testRange
    k=1; %Index variable for family in each run (temp family id)
    vec=zeros(N,1);
    vec(1:N*bgratio,1)=1; %Approximate boy:girl population for dice roll, 
    %1 = boy

    vec=vec(randperm(s,N)); %Random permutation, technically not necessary 
    %due to randi used later, just be safe
    bog = vec(randi(N)); %boy or girl? (God's dice roll)

    while k<M %For M families...
        if bog == 1 %if boy:
            boys(j) = boys(j)+1; %total global boys tally
        else
            girls(j)=girls(j)+1; %total global girls tally
            %Family stops bearing children
            Nfamily(j) = Nfamily(j)+1; %total global family tally
            k=k+1; %temp family id
            %Next family...
        end
        bog=vec(randi(N)); %Sample next gender (God's dice roll)
    end

    j=j+1; %Index variable for the different bgratio
    end
end
figure;
scatter(testRange,girls./(boys+girls))
hold on
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.44 0.56 0.44 0.56])

$i^{th}$$X_i$$0.5$

$E[\sum_i X_i] = \sum_i E[X_i] = 0.5 n$$n$

$E[\sum_i (1- X_i)] = \sum_i E[1-X_i] = 0.5 n$

ความเป็นอิสระของการเกิดไม่เกี่ยวข้องกับการคำนวณค่าที่คาดหวัง

---

คำตอบ Apropos @ whuber หากมีการแปรผันของความเป็นไปได้ที่เกิดขึ้นทั่วทั้งครอบครัวอัตราส่วนจะกลายเป็นเอียงไปทางเด็กชายเนื่องจากมีเด็ก ๆ ในครอบครัวที่มีความน่าจะเป็นสูงกว่าเด็กผู้ชายมากกว่าครอบครัวที่มีความน่าจะเป็นต่ำกว่า มูลค่ารวมที่คาดหวังสำหรับเด็กผู้ชาย

ฉันยังตั้งโปรแกรมการจำลองใน MATLAB อย่างอิสระก่อนที่จะเห็นสิ่งที่คนอื่นทำ พูดอย่างเคร่งครัดไม่ใช่ MC เพราะฉันทำการทดสอบครั้งเดียวเท่านั้น แต่เพียงครั้งเดียวก็เพียงพอที่จะได้รับผลลัพธ์ นี่คือสิ่งที่การจำลองของฉันให้ผล ฉันไม่ได้ยืนหยัดในความน่าจะเป็นของการเกิดเป็น p = 0.5 ในฐานะดั้งเดิม ฉันปล่อยให้ความน่าจะเป็นเกิดแตกต่างกันไปตามช่วงของ Pr (เด็กชาย = 1) = 0.25: 0.05: 0.75

ผลลัพธ์ของฉันแสดงให้เห็นว่าเมื่อความน่าจะเป็นเบี่ยงเบนจาก p = 0.5 อัตราส่วนเพศแตกต่างจาก 1: ความคาดหวังอัตราส่วนเพศเป็นเพียงอัตราส่วนของความน่าจะเป็นของการเกิดของเด็กชายต่อความน่าจะเป็นของการเกิดของผู้หญิง นั่นคือนี่เป็นตัวแปรสุ่มทางเรขาคณิตตามที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้โดย @ månst นี่คือสิ่งที่ฉันเชื่อว่าโปสเตอร์ดั้งเดิมนั้นเป็นที่น่าสนใจ

ผลลัพธ์ของฉันเลียนแบบสิ่งที่โปสเตอร์ด้านบนด้วยรหัส matlab ได้ทำอย่างใกล้ชิดจับคู่อัตราส่วนเพศที่ 0.45, 0.50 และ 0.55 ความน่าจะเป็นที่เด็กผู้ชายคนหนึ่งเกิด ฉันนำเสนอของฉันเมื่อฉันใช้วิธีที่แตกต่างกันเล็กน้อยเพื่อให้ได้ผลลัพธ์ด้วยโค้ดที่เร็วขึ้น เพื่อให้การเปรียบเทียบสำเร็จฉันได้ละเว้นส่วนรหัส vec = vec (randperm (s, N)) เนื่องจาก s ไม่ได้กำหนดไว้ในรหัสของพวกเขาและฉันไม่ทราบเจตนาดั้งเดิมของตัวแปรนี้ (ส่วนรหัสนี้ก็ดูเหมือนว่าไม่จำเป็น - เดิม ที่ระบุไว้)

ฉันโพสต์รหัสของฉัน

clear all; rng('default')

prob_of_boy = 0.25:0.05:0.75;
prob_of_girls = 1 - prob_of_boy;

iterations = 200;

sex_ratio = zeros(length(prob_of_boy),1);
prob_of_girl_est = zeros(length(prob_of_boy),1);
rounds_of_reproduction = zeros(length(prob_of_boy),1);

for p=1:length(prob_of_boy)

    pop = 1000000;

    boys = zeros(iterations,1);
    girls = zeros(iterations,1);
    prob_of_girl = zeros(iterations,1);

    for i=1:iterations

        x = rand(pop,1);
        x(x<prob_of_boy(p))=1;

        %count the number of boys and girls
        num_boys = sum(x(x==1));

        boys(i) = num_boys;
        girls(i) = pop - num_boys;

        prob_of_girl(i) = girls(i)/(pop);

        %Only families that had a boy continue to reproduce
        x = x(x==1);

        %new population of reproducing parents
        pop = length(x);

        %check that there are no more boys 
        if num_boys==0

            boys(i+1:end)=[];
            girls(i+1:end)=[];
            prob_of_girl(i+1:end)=[];
            break

        end
    end

    prob_of_girl_est(p) = mean(prob_of_girl(prob_of_girl~=0));
    sex_ratio(p) = sum(boys)/sum(girls);
    rounds_of_reproduction(p) = length(boys);
end

scatter(prob_of_girls,prob_of_girl_est)
hold on
title('Est. vs. True Probability of a Girl Birth')
ylabel('Est. Probability of Girl Birth')
xlabel('True Probability of Girl Birth')
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.2 0.8 0.2 0.8])

scatter(prob_of_girls,sex_ratio)
hold on
title('Sex Ratio as a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Sex Ratio: $\frac{E(Boys)}{E(Girls)}$','interpreter','latex')

scatter(prob_of_girls,rounds_of_reproduction)
hold on
title('Rounds of Reproduction a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Rounds of Reproduction')

คาดว่ากราฟต่อไปนี้จะได้รับตามกฏหมายจำนวนมาก ฉันทำซ้ำ แต่กราฟที่สำคัญคือกราฟที่สอง

ที่นี่ความน่าจะเป็นของประชากรที่ไม่ใช่ 0.5 สำหรับการเกิดของทั้งสองเพศของเด็กจะเปลี่ยนอัตราส่วนเพศในประชากรโดยรวม สมมติว่าการเกิดมีความเป็นอิสระ (แต่ไม่ใช่ทางเลือกที่จะทำซ้ำ) ในแต่ละรอบของการสืบพันธุ์ตามเงื่อนไขความน่าจะเป็นของประชากรจะเป็นตัวกำหนดความเป็นไปได้ของประชากร ดังนั้นอย่างที่คนอื่น ๆ ได้กล่าวไว้กฎการหยุดในปัญหานั้นไม่สำคัญกับผลลัพธ์ของประชากรดังที่ผู้ตอบคำถามระบุว่าเป็นการกระจายทางเรขาคณิต

สำหรับความสมบูรณ์สิ่งที่กฎการหยุดส่งผลกระทบคือจำนวนรอบการแพร่พันธุ์ในประชากร เนื่องจากฉันรันการทดสอบเพียงครั้งเดียวกราฟนั้นค่อนข้างขรุขระ แต่สัญชาตญาณมี: สำหรับขนาดประชากรที่กำหนดเนื่องจากความน่าจะเป็นที่เกิดการเพิ่มขึ้นของหญิงสาวเราเห็นว่าครอบครัวต้องการการทำซ้ำน้อยกว่าเพื่อให้ได้สาวที่พวกเขาต้องการก่อนประชากรทั้งหมดหยุดทำซ้ำ (แน่นอนจำนวนรอบจะขึ้นอยู่กับ ขนาดของประชากรเนื่องจากมันเพิ่มโอกาสที่ครอบครัวจะมีตัวอย่างเช่น 49 เด็กชายก่อนที่พวกเขาจะได้เด็กผู้หญิงคนแรก)

การเปรียบเทียบระหว่างอัตราส่วนเพศที่คำนวณได้ของฉัน:

[sex_ratio' prob_of_boy']

0.3327    0.2500
0.4289    0.3000
0.5385    0.3500
0.6673    0.4000
0.8186    0.4500
1.0008    0.5000
1.2224    0.5500
1.5016    0.6000
1.8574    0.6500
2.3319    0.7000
2.9995    0.7500

และจากโปสเตอร์ก่อนหน้านี้ด้วยรหัส matlab:

[boys./girls testRange']

0.8199    0.4500
0.8494    0.4600
0.8871    0.4700
0.9257    0.4800
0.9590    0.4900
1.0016    0.5000
1.0374    0.5100
1.0836    0.5200
1.1273    0.5300
1.1750    0.5400
1.2215    0.5500

พวกเขาเป็นผลลัพธ์ที่เทียบเท่า

ขึ้นอยู่กับจำนวนของครอบครัว

$X$$p=0.5$

$$P(X = x) = 0.5^x, x=1,2,3...$$ $E(X) = 2$

$N$

$$\frac{N}{ \sum X_i}$$

$\sum X_i /N \rightarrow E(X) = 2$$N \rightarrow \infty$ ∞

$T$$T = \sum X_i$$T$

$$P(T=t) = C^{t-1}_{N-1} 0.5^t, t = N, N+1...$$

$$E\left[ \frac{N}{\sum X_i} \right] = E\left[ \frac{N}{T} \right] = \sum_{t=N}^{\infty} \frac{N}{t} C^{t-1}_{N-1} 0.5^t = {_2F_1} (N, 1, N+1, -1)$$ $_2F_1$เป็นฟังก์ชัน hypergeometric

ดังนั้นอัตราส่วนสาวที่คาดหวังคือ2 F 1${_2F_1} (N, 1, N+1, -1)$