'ไม่มีเส้นตรงสูง' หมายถึงอะไร

ฉันมักจะอ่านเกี่ยวกับฟังก์ชั่นที่ว่า ในความเข้าใจของฉันมี "เส้นตรง" และ "ไม่ใช่เชิงเส้น" ดังนั้นสิ่งนี้ 'สูง' เกี่ยวกับอะไร มีความแตกต่างอย่างเป็นทางการจากไม่ใช่เชิงเส้นหรือไม่? มันถูกกำหนดอย่างไร?

ฉันไม่คิดว่ามีคำจำกัดความที่เป็นทางการ มันเป็นความประทับใจของฉันที่ว่ามันไม่เพียง แต่หมายความว่าไม่ใช่เชิงเส้น แต่การพยายามสร้างแบบจำลองด้วยการประมาณเชิงเส้นจะไม่ให้ผลลัพธ์ที่สมเหตุสมผลและอาจทำให้เกิดความไม่มั่นคงในวิธีการปรับตั้ง บางคนอาจใช้เพื่อแปลว่าการเปลี่ยนแปลงอินพุตขนาดเล็กอาจส่งผลให้เกิดการเปลี่ยนแปลงของเอาต์พุตขนาดใหญ่โดยสังเขป

ในแง่ที่เป็นทางการฉันเชื่อว่าใคร ๆ ก็บอกได้ว่าอนุพันธ์อันดับสองนั้นแตกต่างอย่างมากจากศูนย์ หาก 0 เป็นการประมาณ "ที่สมเหตุสมผล" กับอนุพันธ์อันดับสองเหนือโดเมนที่น่าสนใจมันจะอยู่ใกล้กับเชิงเส้น แต่ถ้าไม่เป็นเช่นนั้นผลที่ไม่เชิงเส้นจะกลายเป็นสิ่งสำคัญในการจับภาพ

ฉันไม่ค่อยได้ยินคำศัพท์นี้ใช้กับชื่อพหุนามค่อนข้างง่ายบ่อยครั้งในทางปฏิบัติดูเหมือนว่าจะนำไปใช้กับระบบพลวัตที่แตกต่างกัน (ความโกลาหล - ทฤษฎีเรียงลำดับของสิ่งต่าง ๆ ) หรือฟังก์ชั่นที่ไม่ราบรื่นมาก )

สิ่งสำคัญที่หายไปจากคำตอบที่ดีอื่น ๆ ที่เป็นโดเมน เช่นคือ$f(x)=x^2$

• ไม่เชิงเส้นสูงในแต่$[-10;10]$
• ไม่ได้อยู่ในครึ่งของโดเมน (เช่นทั้งและ[ 0 ; 10 ]หนึ่งสามารถใช้การประมาณเชิงเส้นของfโดยไม่มีภัยพิบัติทันที)$[-10;0]$$[0;10]$$f$

อีกตัวอย่างคือซึ่งก็คือ$f(x)=x^3-x$

• ไม่เชิงเส้นสูงเมื่อแต่$[-1;1]$
• ไม่ได้อยู่ในโดเมนขนาดใหญ่$[-10;;10]$

อย่างที่คนอื่นพูดถึงฉันไม่คิดว่าจะมีคำจำกัดความที่เป็นทางการ ฉันจะนิยามว่าเป็นฟังก์ชั่นที่ไม่สามารถประมาณเชิงเส้นตรงในช่วงปกติของการรบกวนต่อการโต้แย้ง ตัวอย่างเช่นคุณมี$y=f(x)$และ ] ถ้าหากการประมาณf ( x + σ ) ≈ f ( x ) + f ′ ( x ) σแยกลงแสดงว่ามันไม่เป็นเชิงเส้นสูง ตัวอย่างเช่นf ( $\sigma^2=var[x]$$f(x+\sigma)\approx f(x)+f'(x)\sigma$จะสูงไม่เชิงเส้นสำหรับการใด ๆ xรอบศูนย์เพราะซีรีส์เทย์เลอร์ที่มี 1 + x 2 + x 4 / 2 + O ( x 5 )$f(x)=exp(x^2)$$x$$1+x^2+x^4/2+O(x^5)$

อย่างไม่เป็นทางการ ... "ไม่เป็นเส้นตรง" หมายถึง "แม้แต่คนตาบอดก็สามารถมองเห็นมันไม่ใช่เส้นตรง!" ;) โดยส่วนตัวแล้วฉันถือเป็นสัญญาณอันตรายว่าอย่างใดจะ "ระเบิดในหน้าของคุณ" เมื่อใช้กับตัวอย่างโลกแห่งความจริง

หอคอยแห่งฮานอยอาจเรียกได้ว่าเป็นตัวอย่างของเส้นตรงที่ไม่สูงมาก ... ตำนานที่ว่าเมื่อพระภิกษุเสร็จดิสก์ 64 กองโลกจะจบลง หากคุณนับเวลาทั้งหมดที่ใช้ในการฝึกอบรมการให้อาหารที่อยู่อาศัยและการสร้างแรงบันดาลใจให้ทุกคนสนับสนุนงานที่ไม่ต้องเสียค่าใช้จ่ายหลายต่อหลายครั้งที่น่าเบื่อฉันคาดหวังว่าค่าใช้จ่ายทั้งหมดในชั่วโมงแรงงานจะระเบิดออกจริง ๆ !

ในฐานะนักคณิตศาสตร์มืออาชีพฉันสามารถยืนยันได้ว่า "ไม่เชิงเส้นสูง" ไม่ใช่คำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ที่กำหนดไว้อย่างแม่นยำ :)

และไม่มี "สิ่งใดสูง" ฉันสามารถคิดได้

ไม่เชิงเส้นมีความแม่นยำและตรงข้ามกับเส้น (ชัด)

แต่เกิดขึ้นเป็นเส้นตรงในสองความหมายที่ต่างกัน:

• $f(x) = ax+b$
• $f(x) = ax$$b$

$(ax + b)$