การสุ่มตัวอย่างกิ๊บส์สำหรับโมเดลไอซิง

คำถามการบ้าน:

พิจารณาโมเดลไอซิ่ง 1-d

ให้x_d) คือ -1 หรือ +1$x = (x_1,...x_d)$$x_i$

$\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

ออกแบบกิ๊บส์เป็นตัวอย่างขั้นตอนวิธีการในการสร้างตัวอย่างประมาณจากการกระจายเป้าหมาย(x)$\pi(x)$

ความพยายามของฉัน:

สุ่มเลือกค่า (ทั้ง -1 หรือ 1) เพื่อเติมเต็มเวกเตอร์{40}) ดังนั้นบางที1) ดังนั้นนี่คือ 0$x = (x_1,...x_{40})$$x = (-1, -1, 1, 1, 1, -1, 1, 1,...,1)$$x^0$

ดังนั้นตอนนี้เราต้องดำเนินการต่อและทำซ้ำครั้งแรก เราต้องวาด 40 x ที่แตกต่างกันสำหรับแยกกัน ดังนั้น...$x^1$

วาดจาก$x_1^1$$\pi(x_1 | x_2^0,...,x_{40}^0)$

วาดจาก$x_2^1$$\pi(x_2 | x_1^1, x_3^0,...,x_{40}^0)$

วาดจาก$x_3^1$$\pi(x_3 | x_1^1, x_2^1, x_4^0,...,x_{40}^0)$

ฯลฯ ..

ส่วนที่สะดุดฉันคือเราจะดึงออกมาจากการกระจายตามเงื่อนไขได้อย่างไร อย่างไรเข้ามาเล่น? บางทีตัวอย่างของการวาดหนึ่งครั้งจะทำให้สิ่งต่างๆชัดเจน$\pi(x) \propto e^{\sum_{i=1}^{39}x_ix_{i+1}}$

ดูกรณีนี้ก่อน การวางข้อกำหนดที่ไม่ขึ้นอยู่กับเรามี $x_1$

$$\pi(x_1\mid x_2,\dots,x_d) = \frac{\pi(x_1,x_2,\dots,x_d)}{\pi(x_2,\dots,x_d)} \propto e^{x_1 x_2}$$ $$P(X_1=-1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{-x_2}}{C}$$ $$P(X_1=1\mid X_2 = x_2, \dots, X_n=x_n) = \frac{e^{x_2}}{C}$$ $$\frac{e^{-x_2}}{C} + \frac{e^{x_2}}{C} = 1 \Rightarrow C = 2 \cosh x_2$$

x_1 <- sample(c(-1, 1), 1, prob = c(exp(-x_2), exp(x_2)) / (2*cosh(x_2)))

พูดคุยกับ (สังเกตความแตกต่างดูที่การร้องแสดงความคิดเห็นของ Ilmari)$x_2,\dots,x_{40}$

คุณสามารถใช้ผลการวิเคราะห์ของ Ising เพื่อตรวจสอบสถานการณ์จำลองได้หรือไม่?