หน้าที่ของตัวแปรสุ่มอิสระ

การอ้างว่าฟังก์ชันของตัวแปรสุ่มอิสระนั้นเป็นอิสระหรือไม่จริงหรือ

ฉันเห็นว่าผลลัพธ์มักจะใช้โดยนัยในการพิสูจน์บางอย่างเช่นในการพิสูจน์ความเป็นอิสระระหว่างค่าเฉลี่ยตัวอย่างและความแปรปรวนตัวอย่างของการแจกแจงแบบปกติ แต่ฉันไม่สามารถหาเหตุผลได้ ดูเหมือนว่าผู้เขียนบางคนใช้มันตามที่กำหนด แต่ฉันไม่แน่ใจว่าเป็นเช่นนี้เสมอ

นิยามทั่วไปและนามธรรมมากที่สุดของความเป็นอิสระทำให้การยืนยันนี้น่ารำคาญในขณะที่การจัดหาที่สำคัญสภาพที่มีคุณสมบัติ: ว่าทั้งสองตัวแปรสุ่มจะหมายถึงอิสระ Sigma-จีบพวกเขาสร้างความเป็นอิสระ เพราะพีชคณิตซิกมาที่สร้างโดยวัดได้ฟังก์ชั่นของพีชคณิตซิกมาเป็นย่อยพีชคณิตfortioriฟังก์ชั่นที่วัดใด ๆ ของตัวแปรสุ่มเหล่านั้นมีจีบอิสระไหนฟังก์ชันเหล่านั้นมีความเป็นอิสระ

(เมื่อฟังก์ชั่นนั้นไม่สามารถวัดได้มันมักจะไม่สร้างตัวแปรสุ่มใหม่ดังนั้นแนวคิดของความเป็นอิสระจะไม่ถูกนำมาใช้)

---

ลองแกะคำจำกัดความเพื่อดูว่ามันง่ายแค่ไหน จำได้ว่าตัวแปรสุ่มเป็นฟังก์ชั่นมูลค่าจริงที่กำหนดไว้ใน "พื้นที่ตัวอย่าง" (ชุดของผลลัพธ์ที่ได้รับการศึกษาผ่านความน่าจะเป็น)$X$$\Omega$

1. ตัวแปรสุ่มถูกศึกษาโดยความน่าจะเป็นที่ค่าของมันอยู่ในช่วงเวลาที่แตกต่างกันของจำนวนจริง (หรือโดยทั่วไปแล้วชุดที่สร้างขึ้นด้วยวิธีง่าย ๆ ออกจากช่วงเวลา: นี่คือชุดของตัวเลขจริงของ Borel)$X$

2. ที่สอดคล้องกับการใด ๆ ชุดที่วัดโบเรลเป็นเหตุการณ์ซึ่งประกอบด้วยทั้งหมดผลที่โกหกในฉัน$I$ $X^{*}(I)$$\omega$$X(\omega)$$I$

3. ซิกม่า - พีชคณิตที่สร้างโดยถูกกำหนดโดยการรวบรวมเหตุการณ์ดังกล่าวทั้งหมด$X$

4. คำจำกัดความไร้เดียงสากล่าวว่าตัวแปรสุ่มสองตัวคือและเป็นอิสระ "เมื่อความน่าจะเป็นของพวกเขาคูณ นั่นคือเมื่อเป็นชุด Borel ที่วัดได้และเป็นอีกชุด$X$$Y$$I$$J$

   $\Pr(X(\omega)\in I\text{ and }Y(\omega)\in J) = \Pr(X(\omega)\in I)\Pr(Y(\omega)\in J).$

5. แต่ในภาษาของเหตุการณ์ (และ Sigge algebras) นั่นก็เหมือนกับ

   $\Pr(\omega \in X^{*}(I)\text{ and }\omega \in Y^{*}(J)) = \Pr(\omega\in X^{*}(I))\Pr(\omega\in Y^{*}(J)).$

ลองพิจารณาสองฟังก์ชันและสมมติว่าและเป็นตัวแปรสุ่ม (วงกลมเป็นองค์ประกอบการทำงาน:นี่คือความหมายสำหรับที่จะเป็น "ฟังก์ชั่นของตัวแปรสุ่ม") สังเกต - นี้ เป็นเพียงทฤษฎีเซตเบื้องต้น - นั่นก็คือ$f, g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$f \circ X$$g\circ Y$$(f\circ X)(\omega) = f(X(\omega))$$f$

$$(f\circ X)^{*}(I) = X^{*}(f^{*}(I)).$$

กล่าวอีกนัยหนึ่งทุกเหตุการณ์ที่สร้างขึ้นโดย (ซึ่งอยู่ทางซ้าย) จะเป็นเหตุการณ์ที่สร้างขึ้นโดยโดยอัตโนมัติ$f\circ X$$X$ (ดังที่แสดงโดยรูปแบบของด้านขวามือ) ดังนั้น (5) ถือโดยอัตโนมัติสำหรับและ : ไม่มีอะไรให้ตรวจสอบ!$f\circ X$$g\circ Y$

---

หมายเหตุคุณสามารถแทนที่ "มูลค่าจริง" ทุกที่ด้วย "ด้วยค่าใน " โดยไม่จำเป็นต้องเปลี่ยนแปลงสิ่งใดในทางวัตถุ สิ่งนี้ครอบคลุมกรณีของตัวแปรสุ่มที่มีค่าเวกเตอร์$\mathbb{R}^d$

พิจารณาข้อพิสูจน์ "ความก้าวหน้าขั้นต่ำ" นี้:

ปล่อยโดยที่เป็นตัวแปรสุ่มแบบอิสระและเป็นฟังก์ชันที่วัดได้ จากนั้น: ใช้ความเป็นอิสระของและ , $X:\Omega_X\to\mathbb{R}^n,Y:\Omega_Y\to\mathbb{R}^m,f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^k,g:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^p$$X,Y$$f,g$

$$P\{f(X)\leq x \text{ and } g(Y)\leq y\}\\=P(\{f(X)\leq x\}\cap\{g(Y)\leq y\})\\=P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\}).$$ $X$$Y$ $$P(\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\}\cap\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\})=\\=P\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\cdot P\{Y\in\{w\in\mathbb{R}^m:g(w)\leq y\}\} \\=P\{f(X)\leq x\}\cdot P\{g(Y)\leq y\}.$$

แนวคิดคือสังเกตว่าชุด ดังนั้นคุณสมบัติที่ถูกต้องสำหรับจะขยายไปยังและเดียวกันที่เกิดขึ้นสำหรับY

$$\{f(X)\leq x\}\equiv\{w\in\Omega_X:f(X(w))\leq x\}=\{X\in\{w\in\mathbb{R}^n:f(w)\leq x\}\},$$ $X$$f(X)$$Y$

ใช่และเป็นอิสระสำหรับฟังก์ชั่นใด ๆและตราบใดที่และเป็นอิสระ มันเป็นผลลัพธ์ที่รู้จักกันดีซึ่งถูกศึกษาในหลักสูตรทฤษฎีความน่าจะเป็น ฉันแน่ใจว่าคุณสามารถค้นหาได้ในข้อความมาตรฐานใด ๆ เช่น Billingsley's$g(X)$$h(Y)$$g$$h$$X$$Y$

ไม่ใช่เป็นทางเลือก แต่เป็นส่วนเพิ่มเติมของคำตอบที่ยอดเยี่ยมก่อนหน้านี้โปรดทราบว่าผลลัพธ์นี้ใช้งานง่ายมาก

โดยปกติเราคิดว่าและเป็นอิสระหมายความว่าการรู้คุณค่าของไม่ได้ให้ข้อมูลเกี่ยวกับคุณค่าของและในทางกลับกัน เห็นได้ชัดว่าการตีความนี้แปลว่าคุณไม่สามารถ "บีบ" ข้อมูลโดยใช้ฟังก์ชั่น (หรือโดยวิธีอื่นใด)$X$$Y$$X$$Y$