คุณสังเกตหัว k จากการโยน n เหรียญยุติธรรมหรือไม่

ฉันถูกถามคำถามนี้ด้วยในการสัมภาษณ์ มีคำตอบ "ถูกต้อง" หรือไม่?$(n, k) = (400, 220)$

สมมติกลมๆมี IID และความน่าจะเป็นของหัวคือpการกระจายจำนวนหัวในการทอย 400 ครั้งควรใกล้เคียงกับ Normal (200, 10 ^ 2) ดังนั้น 220 หัวเป็น 2 ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย ความน่าจะเป็นของการสังเกตผลลัพธ์ดังกล่าว (เช่น 2 SDs เพิ่มเติมจากค่าเฉลี่ยในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง) น้อยกว่า 5% เล็กน้อย$p=0.5$

ผู้สัมภาษณ์บอกฉันว่า "ถ้าฉันสังเกตอะไร> = 2 SDs จากค่าเฉลี่ยฉันสรุปได้ว่ามีบางอย่างเกิดขึ้นฉันจะพนันกับเหรียญที่ยุติธรรม" นั่นคือเหตุผล - หลังจากทั้งหมดนั่นคือสิ่งที่การทดสอบสมมติฐานส่วนใหญ่ทำ แต่นั่นคือจุดจบของเรื่องราวหรือไม่ สำหรับผู้สัมภาษณ์ที่ดูเหมือนจะเป็นคำตอบที่ "ถูกต้อง" สิ่งที่ฉันถามที่นี่คือความแตกต่างแตกต่างกันนิดหน่อย

ฉันอดไม่ได้ที่จะชี้ให้เห็นว่าการตัดสินใจว่าเหรียญไม่ยุติธรรมเป็นข้อสรุปที่แปลกประหลาดในบริบทการโยนเหรียญ ฉันพูดถูกมั้ย ฉันจะพยายามอธิบายด้านล่าง

ก่อนอื่นฉัน - และฉันจะถือว่าคนส่วนใหญ่เช่นกัน - มีความแข็งแกร่งมาก่อนเกี่ยวกับเหรียญ: พวกเขามีแนวโน้มที่จะยุติธรรม แน่นอนว่าขึ้นอยู่กับสิ่งที่เราหมายถึงโดยยุติธรรม - ความเป็นไปได้อย่างหนึ่งที่จะกำหนด "ยุติธรรม" เป็น "มีความน่าจะเป็นของการ 'ปิด' หัวถึง 0.5 พูดระหว่าง 0.49 และ 0.51

(คุณสามารถนิยาม 'ยุติธรรม' ได้ซึ่งหมายความว่าความน่าจะเป็นของหัวเท่ากับ 0.50 ซึ่งในกรณีนี้การมีเหรียญที่สมบูรณ์แบบในตอนนี้ดูเหมือนจะไม่น่าจะเป็นไปได้)

ก่อนหน้าของคุณอาจขึ้นอยู่กับความเชื่อทั่วไปของคุณเกี่ยวกับเหรียญ แต่ยังขึ้นอยู่กับบริบทด้วย หากคุณดึงเหรียญออกมาจากกระเป๋าของคุณเองคุณอาจมั่นใจได้ว่ามันยุติธรรม หากเพื่อนนักมายากลของคุณดึงมันออกมาจากเขาก่อนหน้านี้คุณอาจเพิ่มน้ำหนักให้กับเหรียญสองหัว

ไม่ว่าในกรณีใดมันง่ายที่จะเกิดขึ้นกับนักบวชที่มีเหตุผลซึ่ง (i) ใส่ความน่าจะเป็นขนาดใหญ่บนเหรียญที่มีความยุติธรรมและ (ii) ทำให้หลังของคุณมีความคล้ายคลึงกันมาก จากนั้นคุณสรุปได้ว่าเหรียญมีแนวโน้มที่จะยุติธรรมแม้ว่าจะสังเกตผลลัพธ์ 2 SD จากค่าเฉลี่ย

ในความเป็นจริงคุณยังสามารถสร้างตัวอย่างที่สังเกต 220 หัวใน 400 กลมๆทำให้หลังของคุณใส่มากขึ้นน้ำหนักบนเหรียญเป็นธรรมเช่นถ้าทุกเหรียญที่ไม่เป็นธรรมมีความน่าจะเป็นของหัวใน\}$\{0, 1\}$

มีใครบ้างไหมที่ให้แสงนี้กับฉัน

หลังจากเขียนคำถามนี้ฉันจำได้ว่าฉันเคยได้ยินเกี่ยวกับสถานการณ์ทั่วไปนี้มาก่อน - ไม่ใช่"ความขัดแย้ง" ของลินด์ลีย์ใช่หรือไม่

Whuber ใส่ลิงค์ที่น่าสนใจมากในความคิดเห็น: คุณสามารถโหลด Die แต่คุณไม่สามารถ Bias a Coinได้ จากหน้า 3:

มันไม่สมเหตุสมผลที่จะบอกว่าเหรียญมีความน่าจะเป็น p ของหัวเพราะมันสามารถกำหนดได้อย่างสมบูรณ์โดยวิธีที่มันถูกโยน - เว้นแต่ว่ามันจะถูกโยนสูงในอากาศด้วยการหมุนอย่างรวดเร็วและติดอยู่ในอากาศด้วย ไม่มีการตีกลับซึ่งในกรณีนี้ p = 1/2

สวยเท่ห์! สิ่งนี้เชื่อมโยงกับคำถามของฉันในวิธีที่น่าสนใจ: สมมติว่าเรารู้ว่าเหรียญกำลัง "โยนสูงขึ้นไปในอากาศด้วยการหมุนอย่างรวดเร็วและติดอยู่ในอากาศโดยไม่มีการกระดอน" จากนั้นเราก็ไม่ควรปฏิเสธสมมติฐานที่ว่าเหรียญมีความยุติธรรม (ซึ่ง "ยุติธรรม" ตอนนี้หมายถึง "มี p = 1/2 เมื่อโยนตามวิธีที่อธิบายไว้ข้างต้น") เพราะเรามีก่อนหน้านี้ที่มีประสิทธิภาพ เหรียญกำลังยุติธรรม บางทีนั่นอาจเป็นเหตุผลที่ทำให้ฉันรู้สึกไม่สบายใจที่จะปฏิเสธค่า Null หลังจากสังเกตหัวได้ 220 ครั้ง

วิธีเบส์แบบมาตรฐานในการแก้ปัญหานี้ (โดยไม่ต้องมีการประมาณค่าปกติ) คือการระบุก่อนหน้าของคุณอย่างชัดเจนรวมกับความเป็นไปได้ของคุณซึ่งมีการแจกแจงแบบเบต้า จากนั้นรวมส่วนหลังของคุณเข้าด้วยกันประมาณ 50% พูดความเบี่ยงเบนมาตรฐานสองค่าหรือจาก 49% –51% หรืออะไรก็ได้ที่คุณต้องการ

หากความเชื่อเดิมของคุณต่อเนื่องใน [0,1] - เช่นเบต้า (100,100) (อันนี้ทำให้มวลจำนวนมากบนเหรียญที่ค่อนข้างเกะกะ) - ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะเป็นศูนย์เพราะโอกาสนั้นต่อเนื่อง [0 , 1].

แม้ว่าความน่าจะเป็นที่เหรียญจะยุติธรรมนั้นเป็นศูนย์คุณก็สามารถตอบคำถามใด ๆ ก็ตามที่คุณจะตอบกับคนหลังอคติ ตัวอย่างเช่นอะไรคือขอบคาสิโนให้กระจายหลังความน่าจะเป็นเหรียญ

สมมุติว่าการกระจายตัวของเบอร์นูลีในกรณีนี้การโยนเหรียญ

$B(n=400,p=0.5)$$N(\mu=200,\sigma^2=100)$

$k$$95\%$$B(n=400,p=0.5)$$p$$B(n=400,p=0.5,k=220)$

$p=0.5$$\pi(p=0.5)=0.5$$\pi(p\neq0.5)=0.5$

$\pi(0.49\leq p\leq0.51)=0.9$$\pi(p<0.49 \cup p>0.51)=0.1$$p$

$P(0.49\leq p\leq0.51|k=220)$

$p$$N(\mu=0.5,\sigma^2=0.25)$$\sigma^2=0.1$

$p$$f(p|k=220)$

ชื่อเสียงของฉันไม่เพียงพอสำหรับฉันที่จะแสดงความคิดเห็นภายใต้คำถาม แต่ผมจะเขียนเกี่ยวกับบางสิ่งบางอย่างที่นี่คุณไม่สามารถอคติเหรียญ @Adrian

นี่คือสิ่งที่เรามี

1. $B(n=400,k=220,p=\theta)$
2. การศึกษาเชิงทฤษฎีและการทดลองคุณไม่สามารถมีอคติเหรียญ

นี่คือสมมติฐานของเรา

$H_0:$$\hat\theta=0.5$

$H_1$

นี่คือผลลัพธ์ของเรา

1. $H_0$
2. $H_1$

$p$$H_0$$H_1$

มิฉะนั้นเราสร้างสองมาตรฐานสำหรับการทดสอบสมมติฐานที่นี่ เราไม่สามารถยอมรับสมมติฐานที่โยนเหรียญเป็นธรรมและข้อมูลการทดสอบจะถูกบันทึกไว้อย่างถูกต้อง

มันไม่สมเหตุสมผลที่จะพูดว่าเหรียญมีความน่าจะเป็นที่ p ของหัว

เรามีผลการทดสอบเพื่อสำรองสมมติฐานนี้

$p$$N(\mu=0.5,\sigma^2)$

$\sigma^s$