ทุกคนสามารถอธิบายแนวคิดของ "ผลรวมของตัวแปรสุ่ม"

ในชั้นความน่าจะเป็นของฉันคำว่า "ผลรวมของตัวแปรสุ่ม" ถูกนำมาใช้อย่างต่อเนื่อง อย่างไรก็ตามฉันติดอยู่กับสิ่งที่ว่าหมายถึงอะไร?

เรากำลังพูดถึงผลรวมของกลุ่มของการรับรู้จากตัวแปรสุ่มหรือไม่? ถ้าใช่นั่นจะไม่รวมกันเป็นตัวเลขเดียวใช่หรือไม่ ผลรวมของการรับรู้ตัวแปรแบบสุ่มนำเราไปสู่การแจกแจงอย่างไรหรือ cdf / pdf / ฟังก์ชันทุกชนิด และถ้าไม่ใช่การรับรู้ตัวแปรแบบสุ่มแล้วจะมีอะไรเพิ่มเข้ามาบ้าง?

แบบจำลองทางกายภาพที่ใช้งานง่ายของตัวแปรสุ่มคือการเขียนชื่อของสมาชิกทุกคนของประชากรลงบนกระดาษหนึ่งใบหรือมากกว่า - "ตั๋ว" - แล้วใส่ตั๋วเหล่านั้นลงในกล่อง กระบวนการผสมเนื้อหาของกล่องอย่างละเอียดแล้วตามด้วยการดึงตั๋วออกหนึ่งใบ - อย่างลอตเตอรี - สุ่มแบบจำลอง ความน่าจะเป็นแบบไม่สม่ำเสมอมีการจำลองโดยการแนะนำจำนวนตัวแปรของตั๋วในกล่อง: ตั๋วเพิ่มเติมสำหรับสมาชิกที่น่าจะเป็นมากขึ้นน้อยลงสำหรับโอกาสที่น้อยลง

ตัวแปรสุ่มเป็นหมายเลขที่เกี่ยวข้องกับสมาชิกของประชากรในแต่ละ (ดังนั้นเพื่อความสอดคล้องตั๋วทุกใบสำหรับสมาชิกที่กำหนดจะต้องมีหมายเลขเดียวกันเขียนไว้) ตัวแปรสุ่มหลายรายการจะถูกสร้างแบบจำลองโดยการจองพื้นที่บนตั๋วมากกว่าหนึ่งหมายเลข เรามักจะให้ผู้ที่ชื่อพื้นที่เช่นและZผลรวมของตัวแปรสุ่มผู้ที่เป็นผลรวมปกติ: จองพื้นที่ใหม่บนตั๋วรวมทุกอ่านออกค่าของฯลฯในแต่ละตั๋วและเขียนรวมพวกเขาในพื้นที่ใหม่ที่ นี่เป็นวิธีที่สอดคล้องกันในการเขียนตัวเลขบนตั๋วดังนั้นมันจึงเป็นตัวแปรสุ่มอีกแบบ$X,$ $Y,$$Z$$X,$ $Y,$

ตัวเลขนี้ portrays กล่องคิดเป็นประชากรและสามตัวแปรสุ่ม ,และ Y มันมีตั๋วหกใบ: สามใบสำหรับ (สีน้ำเงิน) ให้ความน่าจะเป็น , สองใบสำหรับ (สีเหลือง) ให้ความน่าจะเป็นและอันหนึ่งสำหรับ (สีเขียว) ให้มัน ความน่าจะเป็นของ1/6เพื่อแสดงสิ่งที่เขียนบนตั๋วพวกเขาจะแสดงก่อนที่จะผสมX Y X + Y α 3 / 6 β 2 / 6 γ 1 /$\Omega=\{\alpha,\beta,\gamma\}$$X$$Y$$X+Y$$\alpha$$3/6$$\beta$$2/6$$\gamma$$1/6$

ความสวยงามของวิธีนี้คือทุกส่วนที่ขัดแย้งกันของคำถามกลายเป็นถูกต้อง:

• ผลรวมของตัวแปรสุ่มแน่นอนจำนวนเดียวแน่นอน (สำหรับสมาชิกแต่ละคนของประชากร)

• แต่มันยังนำไปสู่การแจกแจง (กำหนดโดยความถี่ที่ผลรวมปรากฏในกล่อง) และ

• มันยังคงรูปแบบการสุ่มอย่างมีประสิทธิภาพ(เพราะตั๋วยังถูกสุ่มสี่สุ่มห้าจากกล่อง)

ในวิธีนี้จำนวนรวมสามารถมีค่าที่แน่นอน (กำหนดโดยกฎการเพิ่มตามที่ใช้กับตัวเลขในแต่ละตั๋ว) ในขณะที่การรับรู้ -ซึ่งจะเป็นตั๋วที่ดึงออกจากกล่อง - ไม่มีค่าจนกว่า มันจะดำเนินการ

แบบจำลองทางกายภาพของตั๋ววาดภาพจากกล่องถูกนำมาใช้ในวรรณคดีเชิงทฤษฎีและทำอย่างเข้มงวดกับคำจำกัดความของพื้นที่ตัวอย่าง (ประชากร), ซิกม่าอัลฟาราส (ด้วยการวัดความน่าจะเป็นที่เชื่อมโยงกัน) และตัวแปรสุ่ม .

บัญชีของตัวแปรสุ่มนี้มีเนื้อหาพร้อมตัวอย่างจริงที่"ตัวแปรสุ่มหมายถึงอะไร" .

ไม่มีความลับเบื้องหลังวลีนี้มันง่ายอย่างที่คุณคิด: ถ้า X และ Y เป็นตัวแปรสุ่มสองตัวผลรวมของพวกเขาคือ X + Y และผลรวมนี้ก็เป็นตัวแปรสุ่มเช่นกัน หาก X_1, X_2, X_3, ... , X_n และเป็นตัวแปรสุ่ม n ผลรวมของพวกเขาคือ X_1 + X_2 + X_3 + ... + X_n และผลรวมนี้ยังเป็นตัวแปรสุ่ม (และการรับรู้ของผลรวมนี้เป็นหนึ่งเดียว จำนวนคือผลรวมของการรับรู้ n

ทำไมคุณถึงพูดถึงตัวแปรสุ่มจำนวนมากในชั้นเรียน? เหตุผลหนึ่งคือทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง (น่าทึ่ง): ถ้าเรารวมตัวแปรสุ่มแบบอิสระมากมายกว่าที่เราจะสามารถ "ทำนาย" การกระจายตัวของผลรวมนี้ (เกือบ) เป็นอิสระจากการกระจายตัวของตัวแปรเดี่ยวในผลรวม! ยอดรวมมีแนวโน้มที่จะกระจายตัวแบบปกติและนี่คือเหตุผลที่เป็นไปได้ว่าทำไมเราสังเกตการกระจายตัวแบบปกติบ่อยครั้งในโลกแห่งความจริง

rv คือความสัมพันธ์ระหว่างการเกิดเหตุการณ์และจำนวนจริง บอกว่าถ้าฝนตกค่า X คือ 1 ถ้าไม่ใช่ 0 คุณสามารถมี rv Y ได้เท่ากับ 10 ตอนที่มันหนาวและ 100 เมื่อมันร้อน ดังนั้นถ้าฝนตกและเย็นแล้ว X = 1, Y = 10 และ X + Y = 11

ค่า X + Y คือ 10 (ไม่ใช่ฝนตก) 11 (ฝนตก, เย็น), 100 (ไม่ฝนตก, ร้อน) และ 110 (ฝนตก, ร้อน) หากคุณเห็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คุณจะได้รับ PMF สำหรับ rv X + Y ใหม่นี้

$X,Y$$X+Y$$\Omega_1\times \Omega_2$$X,Y$$\Omega=\{Head,Tail\}$$X(Head)=Y(Head)=1, X(Tail)=Y(Tail)=0$$(X+Y)$$X,Y$$\sigma-$$X,Y$