สามารถใช้ไคสแควร์เพื่อเปรียบเทียบสัดส่วนได้หรือไม่?

13

ฉันได้อ่านว่าการทดสอบไคสแควร์มีประโยชน์เพื่อดูว่าตัวอย่างแตกต่างจากชุดของค่าที่คาดหวังอย่างมีนัยสำคัญหรือไม่

ตัวอย่างเช่นนี่คือตารางผลการสำรวจเกี่ยวกับสีโปรดของผู้คน (n = 15 + 13 + 10 + 17 = 55 ผู้ตอบแบบสอบถามทั้งหมด):

red,blue,green,yellow

15,13,10,17

การทดสอบไคสแควร์สามารถบอกฉันได้ว่าตัวอย่างนี้แตกต่างจากสมมุติฐานว่างของความน่าจะเป็นที่เท่ากันของผู้ที่ชื่นชอบแต่ละสีหรือไม่

คำถาม: สามารถทำการทดสอบตามสัดส่วนของผู้ตอบแบบสอบถามทั้งหมดที่ชอบสีที่ต้องการได้หรือไม่? ชอบด้านล่าง:

red,blue,green,yellow

0.273,0.236,0.182,0.309

แน่นอนที่ 0.273 + 0.236 + 0.182 + 0.309 = 1

หากการทดสอบไคสแควร์ไม่เหมาะในกรณีนี้การทดสอบแบบใดจะเป็นอย่างไร ขอบคุณ!

แก้ไข: ฉันลอง @Roman Luštrikคำตอบด้านล่างและได้ผลลัพธ์ต่อไปนี้เหตุใดฉันจึงไม่ได้รับค่า p และทำไม R บอกว่า "การประมาณ Chi-squared อาจไม่ถูกต้อง"?

> chisq.test(c(0,0,0,8,6,2,0,0),p = c(0.406197174,0.088746395,0.025193306,0.42041479,0.03192905,0.018328576,0.009190708,0))

    Chi-squared test for given probabilities

data:  c(0, 0, 0, 8, 6, 2, 0, 0) 
X-squared = NaN, df = 7, p-value = NA

Warning message:
In chisq.test(c(0, 0, 0, 8, 6, 2, 0, 0), p = c(0.406197174, 0.088746395,  :
  Chi-squared approximation may be incorrect

chi-squared hypothesis-testing proportion

— HPY
แหล่งที่มา

1

ในกรณีที่สองคุณสมมติว่าคุณรู้ขนาดตัวอย่างทั้งหมดหรือไม่ หรือไม่?

— พระคาร์ดินัล

@ cardinal: ใช่ฉันรู้ขนาดตัวอย่างทั้งหมดแล้ว

— hpy

3

จากนั้นเพียงแค่คูณสัดส่วนด้วยขนาดตัวอย่างทั้งหมดเพื่อแปลงเป็นตารางนับแล้วใช้ไคสแควร์ วิธีการที่สอดคล้องกับตัวอย่างแรกของคุณ

— แอรอน

ฉันสงสัยว่าคุณกำลังถามเกี่ยวกับการทดสอบ "คุณงามความพอดี" (โดยใช้ไคสแควร์) การใช้ซึ่งถูกอธิบายร้อง ไชโย, Tal

— Tal Galili

7

แก้ไขฉันถ้าฉันผิด แต่ฉันคิดว่าสิ่งนี้สามารถทำได้ใน R โดยใช้คำสั่งนี้

> chisq.test(c(15,13,10,17))

    Chi-squared test for given probabilities

data:  c(15, 13, 10, 17) 
X-squared = 1.9455, df = 3, p-value = 0.5838

นี่จะถือว่าสัดส่วน 1/4 แต่ละอัน pคุณสามารถปรับเปลี่ยนค่าคาดว่าผ่านการโต้แย้ง ตัวอย่างเช่นคุณคิดว่าผู้คนอาจชอบสีใดสีหนึ่งมากกว่าสีอื่น

> chisq.test(c(15,13,10,17), p = c(0.5, 0.3, 0.1, 0.1))

    Chi-squared test for given probabilities

data:  c(15, 13, 10, 17) 
X-squared = 34.1515, df = 3, p-value = 1.841e-07

— Roman Luštrik
แหล่งที่มา

2

ฉันสงสัยว่าคุณเห็นสิ่งนี้เพราะมีจำนวนเซลล์น้อย (หนังสือบางเล่มที่ฉันอ่านแนะนำให้ใช้เวลา 5 นาทีต่อเซลล์) อาจมีคนที่มีความรู้ในเรื่องสามารถชิปใน

— Roman Luštrik

1

นอกจากนี้โปรดสังเกตว่าคุณสามารถรับค่า ap ถ้าคุณทำให้ความน่าจะเป็นสุดท้ายของคุณมากกว่าศูนย์ (แต่คำเตือนยังคงอยู่)

— Roman Luštrik

1

Ott & Longnecker (แนะนำวิธีการทางสถิติและการวิเคราะห์ข้อมูลรุ่นที่ 5) ในหน้า 504 ว่าแต่ละเซลล์ควรมีอย่างน้อยห้าเซลล์เพื่อใช้การประมาณค่าอย่างสะดวกสบาย

— Roman Luštrik

1

@ ปากกาหยวน: คุณควรจะพูดถึงว่าคุณมีจำนวนที่ค่อนข้างเป็นศูนย์ โรมันถูกต้องการใช้ Chi-square ในกรณีนี้ใช้ไม่ได้กับเหตุผลที่เขาพูดถึง

— Joris Meys

1

@ ปากกาหยวน: ฉันได้เพิ่มคำตอบเพื่อให้ตัวเลือกแก่คุณ

— Joris Meys

6

เมื่อใช้ข้อมูลเพิ่มเติมที่คุณให้ (ซึ่งมีค่าบางส่วนอยู่ที่ 0) มันค่อนข้างชัดเจนว่าทำไมโซลูชันของคุณจึงไม่ส่งคืนอะไรเลย สำหรับหนึ่งคุณมีความน่าจะเป็นที่ 0 ดังนั้น:

ในคำตอบของ Henry คือ 0 สำหรับอย่างน้อยหนึ่ง i $e_i$
ในคำตอบของความน่าจะเป็นคือ 0 สำหรับอย่างน้อยหนึ่ง i $np_i$

ซึ่งทำให้การแบ่งเป็นไปไม่ได้ ตอนนี้บอกว่าหมายความว่ามันเป็นไปไม่ได้ที่จะมีผลลัพธ์นั้น ถ้าเป็นเช่นนั้นคุณก็อาจจะลบมันออกจากข้อมูล (ดูความคิดเห็นของ @cardinal) หากคุณหมายถึงไม่น่าจะเป็นไปได้สูงคำตอบแรกอาจเพิ่มโอกาส 0 นั้นด้วยจำนวนที่น้อยมาก $p=0$

ให้:

X <- c(0,0,0,8,6,2,0,0)
p <- c(0.406197174,0.088746395,0.025193306,0.42041479,0.03192905,0.018328576,0.009190708,0)

คุณสามารถทำได้:

> p2 <- p + 1e-6
> chisq.test(X,p2)

        Pearson's Chi-squared test

data:  X and p2 
X-squared = 24, df = 21, p-value = 0.2931

แต่นี่ไม่ใช่ผลลัพธ์ที่ถูกต้อง ไม่ว่าในกรณีใดควรหลีกเลี่ยงการใช้การทดสอบไคสแควร์ในกรณีแนวเขตเหล่านี้ วิธีที่ดีกว่าคือการใช้วิธีบูตสแตรปการคำนวณสถิติการทดสอบที่ดัดแปลงและการเปรียบเทียบจากตัวอย่างกับการกระจายที่ได้รับจากบู๊ตสแตรป

ในรหัส R อาจเป็น (ทีละขั้นตอน):

# The function to calculate the adapted statistic.
# We add 0.5 to the expected value to avoid dividing by 0
Statistic <- function(o,e){
    e <- e+0.5
    sum(((o-e)^2)/e)
}

# Set up the bootstraps, based on the multinomial distribution
n <- 10000
bootstraps <- rmultinom(n,size=sum(X),p=p)

# calculate the expected values
expected <- p*sum(X)

# calculate the statistic for the sample and the bootstrap
ChisqSamp <- Statistic(X,expected)
ChisqDist <- apply(bootstraps,2,Statistic,expected)

# calculate the p-value
p.value <- sum(ChisqSamp < sort(ChisqDist))/n
p.value

สิ่งนี้ให้ค่า p เป็น 0 ซึ่งมากขึ้นสอดคล้องกับความแตกต่างระหว่างการสังเกตและการคาดหวัง โปรดทราบว่าวิธีการนี้ถือว่าข้อมูลของคุณมาจากการกระจายแบบหลายส่วน หากสมมติฐานนี้ไม่เก็บค่า p-value ก็จะไม่ถือเช่นกัน

— Joris Meys
แหล่งที่มา

1

p_{i} = 0

$p_i = 0$

i

$i$

i

$i$

p_{i} = 0

$p_i = 0$

p_{i} = 1 / 6

$p_i = 1/6$

i \leq 6

$i \leq 6$

1, \dots, 10

$1,\ldots,10$

@ cardinal: ฉันเพิ่งอธิบายข้อมูลโดยที่ค่าที่คาดไว้คือ 0 แต่สิ่งที่สังเกตไม่จำเป็นต้องเป็น มันเป็นสิ่งที่ OP ให้เรา (แม้ว่าในครั้งที่สองคิดว่ามันฟังดูไม่สมจริงเลยทีเดียว) ดังนั้นการเพิ่มค่า p เล็กน้อยเพื่อทำให้ไม่น่าเป็นไปได้สูงกว่าที่เป็นไปไม่ได้จะช่วยได้ แต่ถึงอย่างนั้นไคสแควร์ก็ยังไม่ถูกต้องเนื่องจากเซลล์ตารางจำนวนมากมีค่าน้อยกว่า 5 (ดังที่แสดงโดย รหัส). ฉันเพิ่มการพิจารณาในคำตอบของฉันขอบคุณสำหรับตัวชี้

— Joris Meys

p_{i} = 0

$p_i = 0$

4

$\frac{1}{E(x_{i})}$

ψ = \sum_{i} x_{i} \log (\frac{x_{i}}{n p_{i}})

$\psi=\sum_{i}x_{i}\log\left(\frac{x_{i}}{np_{i}}\right)$

$x_{i}$ $i$ $i\in \{\text{red, blue, green, yellow}\}$ $n$ $55$ $p_i$ $p_i=p_j$

χ^{2} = \sum_{i} \frac{(x_{i} - n p_{i})^{2}}{n p_{i}} \approx 2 ψ

$\chi^{2}=\sum_{i}\frac{(x_{i}-np_{i})^{2}}{np_{i}}\approx 2\psi$

$f_{i}=\frac{x_{i}}{n}$

ψ = n \sum_{i} f_{i} \log (\frac{f_{i}}{p_{i}})

$\psi=n\sum_{i}f_{i}\log\left(\frac{f_{i}}{p_{i}}\right)$

χ^{2} = n \sum_{i} \frac{(f_{i} - p_{i})^{2}}{p_{i}}

$\chi^{2}=n\sum_{i}\frac{(f_{i}-p_{i})^{2}}{p_{i}}$

$\psi$ $\psi$ $p_{i}$ $\frac{1}{p_{i}}$ $\psi$

$H_{1}$ $H_{2}$ $p_i$ $\psi_{1}$ $\psi_{2}$ $\exp\left(\psi_{1}-\psi_{2}\right)$ $H_{2}$ $H_{1}$ $\exp\left(\frac{1}{2}\chi_{1}^{2}-\frac{1}{2}\chi_{2}^{2}\right)$

$H_{2}$ $\psi_{2}=\chi^{2}_{2}=0$

$\chi_{2}^{2}$ $np_{i}<10$ $\psi$

— probabilityislogic
แหล่งที่มา

1

ฉันค่อนข้างมั่นใจว่าความถี่ที่คาดหวังจะไม่สามารถมีขนาดใหญ่กว่า 10 ได้ :) :)

— พระคาร์ดินัล

@cardinal - ดีใจที่นี่เป็นคำคัดค้านของคุณ - เพราะนั่นหมายถึงคำตอบที่เหลือของฉันจะต้องดี :)

— ความน่าจะเป็นทาง

ว้าวฉันหวังว่าฉันจะไม่ได้รับชื่อเสียงจากการจู้จี้จุกจิก / ไม่พอใจ

— พระคาร์ดินัล

1

ψ

$\psi$

2 ψ

$2 \psi$

χ^{2}

$\chi^2$

χ^{2} - 2 ψ \to 0

$\chi^2 - 2 \psi \to 0$

χ^{2}

$\chi^2$

2 ψ

$2\psi$

χ^{2}

$\chi^2$

— พระคาร์ดินัล

χ^{2}

$\chi^2$

2 ψ

$2 \psi$

3

ใช่คุณสามารถทดสอบสมมติฐานว่าง: "H0: prop (แดง) = prop (สีน้ำเงิน) = prop (สีเขียว) = prop (สีเหลือง) = 1/4" โดยใช้การทดสอบไคสแควร์ที่เปรียบเทียบสัดส่วนของการสำรวจ (0.273 , ... ) ตามสัดส่วนที่คาดหวัง (1/4, 1/4, 1/4, 1/4)

เพื่อยืนยันว่ามันจะทำงานกับสัดส่วนที่คาดหวังซึ่งไม่เท่ากันหรือไม่

— hpy

4

การทดสอบจะไม่มีความหมายหากคุณไม่ทราบขนาดตัวอย่างเต็มรูปแบบ สัดส่วนของ 1.0 / 0.0 / 0.0 / 0.0 หมายถึงสิ่งที่แตกต่างกันมากถ้าพวกเขามาจากกลุ่มตัวอย่างที่ 1 เมื่อเทียบกับขนาด 100 ตัวอย่าง

— Aaron

ใช่ฉันรู้ขนาดตัวอย่างทั้งหมดแล้ว

— hpy

2

สถิติการทดสอบสำหรับการทดสอบไคสแควร์ของเพียร์สันคือ

\sum_{i = 1}^{n} \frac{(O_{i} - E_{i})^{2}}{E_{i}}

$\sum_{i=1}^{n} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

$o_i = \dfrac{O_i}{n}$ $e_i = \dfrac{E_i}{n}$ $n=\sum_{i=1}^{n} O_i$ $\sum_{i=1}^{n} e_i =1$

n \sum_{i = 1}^{n} \frac{(o_{i} - e_{i})^{2}}{e_{i}}

$n \sum_{i=1}^{n} \frac{(o_i - e_i)^2}{e_i}$

ดังนั้นการทดสอบความสำคัญของสัดส่วนที่สังเกตได้นั้นขึ้นอยู่กับขนาดตัวอย่างให้มากที่สุดเท่าที่จะทำได้

— เฮนรี่
แหล่งที่มา