การกระจายของค่าสุดขั้ว

ถ้ารายการใดรายการหนึ่งเป็นไปตามการแจกแจงแบบปกติค่าเฉลี่ยจะเป็นไปตามการแจกแจงแบบปกติ สิ่งที่เกี่ยวกับขั้นต่ำและสูงสุด?

คุณควรมีลักษณะที่เป็นสถิติการสั่งซื้อ นี่เป็นภาพรวมโดยย่อ

ให้เป็นตัวอย่าง IID ขนาดมาจากประชากรที่มีฟังก์ชั่นการกระจายและฟังก์ชั่นความหนาแน่นฉกำหนดโดยที่หมายถึงสถิติลำดับที่ของตัวอย่างนั่นคือค่าที่เล็กที่สุดของมันลำดับที่$X_{1}, \ldots X_{n}$$n$$F$$f$$Y_{1}=X_{(1)}, \ldots, Y_{r} = X_{(r)}, \ldots, Y_{n}=X_{(n)}$$X_{(r)}$$r$$X_{1}, \ldots X_{n}$$r$

สามารถแสดงให้เห็นว่าฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นร่วมกันของคือ$Y_{1}, \ldots, Y_{n}$

$f_{X_{(1)}, \ldots, X_{(n)}}(y_{1}, \ldots, y_{n}) = n! \prod_{i=1}^{n} f(y_{i})$ถ้าและอย่างอื่น$y_{1} < y_{2} < \ldots < y_{n}$$0$

โดยการรวมสมการก่อนหน้านี้เข้าด้วยกัน

$f_{X_{(r)}}(x) = \frac{n!}{(r - 1)! (n - r)!} f(x) (F(x))^{r-1} (1 - F(x))^{n - r}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับขั้นต่ำและสูงสุดเราตามลำดับมี

$f_{X_{(1)}}(x) = n f(x) (1 - F(x))^{n-1}$

$f_{X_{(n)}}(x) = n f(x) (F(x))^{n - 1}$

นอกจากนี้คุณยังอาจต้องการที่จะอ่านได้ในที่สุดตามตัวอักษรทั่วไป (GEV) กระจาย ปรากฎว่าเมื่อการกระจาย (เลื่อนและปรับขนาด) ของค่าสูงสุดของตัวอย่างมารวมกันเป็นหนึ่งในสามกรณีพิเศษของการกระจาย GEV$n\rightarrow\infty$

ผลรวมของ Gaussians คือ Gaussian นั่นคือเหตุผลที่ค่าเฉลี่ยเป็นเรื่องปกติ การกระจายของฟังก์ชันที่ไม่ใช่เชิงเส้นของ Gaussians (มีขอบเขต จำกัด ) ไม่จำเป็นต้องเป็น Gaussian และมันมักจะไม่ใช่ นี่เป็นกรณีของฟังก์ชั่นสูงสุด ในการประมาณค่าสูงสุดของ Gaussian หลายตัวแปรHothornเป็นจุดเริ่มต้นที่ดี