วิธีตีความพารามิเตอร์ใน GLM with family = Gamma

21

ฉันมีคำถามเกี่ยวกับการตีความพารามิเตอร์สำหรับ GLM ที่มีตัวแปรตามการกระจายแกมม่า นี่คือสิ่งที่ R ส่งคืนสำหรับ GLM ของฉันด้วยล็อกลิงค์:

Call:
glm(formula = income ~ height + age + educat + married + sex + language + highschool, 
    family = Gamma(link = log), data = fakesoep)

Deviance Residuals: 
       Min        1Q    Median        3Q       Max  
  -1.47399  -0.31490  -0.05961   0.18374   1.94176  

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  6.2202325  0.2182771  28.497  < 2e-16 ***
height       0.0082530  0.0011930   6.918 5.58e-12 ***
age          0.0001786  0.0009345   0.191    0.848    
educat       0.0119425  0.0009816  12.166  < 2e-16 ***
married     -0.0178813  0.0173453  -1.031    0.303    
sex         -0.3179608  0.0216168 -14.709  < 2e-16 ***
language     0.0050755  0.0279452   0.182    0.856    
highschool   0.3466434  0.0167621  20.680  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for Gamma family taken to be 0.1747557)

Null deviance: 757.46  on 2999  degrees of freedom
Residual deviance: 502.50  on 2992  degrees of freedom
AIC: 49184

ฉันจะตีความพารามิเตอร์ได้อย่างไร ถ้าฉันคำนวณexp(coef())แบบจำลองของฉันฉันจะได้รับ ~ 500 สำหรับการสกัดกั้น ตอนนี้ฉันเชื่อว่านั่นไม่ได้หมายถึงรายได้ที่คาดหวังหากตัวแปรอื่น ๆ ทั้งหมดคงที่ใช่ไหม เนื่องจากค่าเฉลี่ยหรือmean(age)อยู่ที่ ~ 2000 นอกจากนี้ฉันไม่มีเงื่อนงำที่จะตีความทิศทางและคุณค่าของสัมประสิทธิ์ covariates

r generalized-linear-model interpretation gamma-distribution

— gung - Reinstate Monica
แหล่งที่มา

6

500 จะใกล้เคียงกับรายได้ที่คาดหวังหากตัวแปรอื่น ๆ ทั้งหมดเป็นศูนย์อย่างแน่นอน(ไม่ใช่แค่ค่าคงที่) --- เหมือนกับในการถดถอยจริง ๆ

— Glen_b

@Glen_b เหตุใดจึงเป็นรายได้ที่คาดว่าจะเกิดขึ้นเมื่อค่าสัมประสิทธิ์เลขชี้กำลังเป็นผลคูณทวีคูณต่อรายได้เมื่อมีการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรอธิบาย?

— เสื่อทาทามิ

กรณีภายใต้การสนทนาเป็นค่าเฉลี่ยตามเงื่อนไขเมื่อตัวแปรอธิบายทั้งหมดเป็น 0

— Glen_b

25

ข้อมูลจำเพาะ GLM แกมม่าที่เชื่อมโยงกับบันทึกนั้นเหมือนกับการถดถอยแบบเลขชี้กำลัง:

E [y | x, z] = \exp (α + β \cdot x + γ \cdot z) = \hat{y}

$E[y \vert x,z] = \exp \left( \alpha + \beta \cdot x +\gamma \cdot z \right)=\hat y$

ซึ่งหมายความว่า )นั่นไม่ใช่ค่าที่มีความหมายมาก (นอกเสียจากว่าคุณจะให้ตัวแปรอยู่ตรงกลางเป็นศูนย์ก่อน) $E[y \vert x=0,z=0]=\exp(\alpha)$

มีอย่างน้อยสามวิธีในการตีความแบบจำลองของคุณ สิ่งแรกคือการหาอนุพันธ์ของค่าคาดหวังของได้รับเทียบกับ : $y$ $x$ $x$

\frac{\partial E [y | x, z]}{\partial x} = \exp (α + β \cdot x + γ \cdot z) \cdot β = \hat{y} \cdot β

$\frac{\partial E[y \vert x,z]}{\partial x} = \exp \left( \alpha + \beta \cdot x +\gamma \cdot z\right)\cdot \beta=\hat y \cdot \beta$

$x$ $z$ $x$ $z$ $\hat y \cdot \beta$ $x$ $y$

$x$

E [y | z, x = 1] - E [y | z, x = 0] = \exp (α + β + γ \cdot z) - \exp (α + γ \cdot z) = \exp (α + γ \cdot z) \cdot (\exp (β) - 1)

$E[y \vert z,x=1]-E[y \vert z,x=0]=\exp \left( \alpha + \beta +\gamma \cdot z\right) - \exp \left( \alpha +\gamma \cdot z\right)= \exp \left( \alpha +\gamma \cdot z\right) \cdot\left( \exp(\beta)-1 \right)$

$x$

วิธีที่สามคือการยกกำลังสัมประสิทธิ์ โปรดทราบว่า:

\begin{matrix} E [y | z, x + 1] & = \exp (α + β \cdot (x + 1) + γ \cdot z) \\ = \exp (α + β \cdot x + β + γ \cdot z) \\ = \exp (α + β \cdot x + γ \cdot z) \cdot \exp (β) \\ = E [y | z, x] \cdot \exp (β) \end{matrix}

$\begin{array} _E[y \vert z,x+1] &= \exp \left( \alpha + \beta \cdot (x+1) +\gamma \cdot z \right) \\ &=\exp \left( \alpha + \beta \cdot x+\beta +\gamma \cdot z \right)\\ &=\exp \left( \alpha + \beta \cdot x +\gamma \cdot z \right)\cdot \exp(\beta) \\ &= E[y \vert z,x]\cdot \exp(\beta) \end{array}$

ซึ่งหมายความว่าคุณสามารถตีความค่าสัมประสิทธิ์เลขยกกำลังทวีคูณมากกว่าที่จะเพิ่ม พวกมันให้ตัวคูณกับค่าที่คาดหวังเมื่อเปลี่ยนเป็น 1 $x$

— Dimitriy V. Masterov
แหล่งที่มา

1

คุณจะสามารถอธิบายการตีความที่สองได้หรือไม่?

— เสื่อทาทามิ

@tatami ฉันแก้ไขข้อผิดพลาดในกรณีไบนารี ตอนนี้มันสมเหตุสมผลมากขึ้นแล้วเหรอ?

— Dimitriy V. Masterov

2

ก่อนอื่นฉันจะดูส่วนที่เหลือเพื่อดูว่าแบบจำลองนั้นเข้ากันได้ดีเพียงใด ถ้ามันใช้ได้ฉันจะลองใช้ฟังก์ชั่นลิงค์อื่น ๆ ยกเว้นว่าฉันมีเหตุผลที่เชื่อได้ว่ามันมาจากการกระจายแกมม่า หากแกมม่ายังดูน่าเชื่อถือฉันจะสรุปได้ว่าคำศัพท์ที่สำคัญทางสถิติคือการสกัดกั้นความสูงการศึกษาเพศและโรงเรียนมัธยม (อันที่มีดาวสามดวง) ในหมู่พวกเขาเองไม่มีใครสามารถพูดได้มากกว่านี้เว้นแต่พวกเขาจะได้มาตรฐาน

การตอบกลับความคิดเห็น: ฉันเข้าใจคำถามของคุณดีขึ้นแล้ว คุณสามารถทำสิ่งนั้นได้! การเพิ่มหน่วยความสูงทำให้ exp (0.0082530) -1 ~ = 0.0082530 (โดยใช้ exp x = 1 + x การประมาณสำหรับ x เล็ก) การเปลี่ยนแปลงสัมพัทธ์ในรายได้ ง่ายมากที่จะตีความใช่มั้ย

— เอ็ม
แหล่งที่มา

1

ดังนั้นฉันไม่สามารถตีความพารามิเตอร์เช่นรายได้เพิ่มขึ้นตาม xy หากความสูงเพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง?

1

ตอนนี้ฉันเชื่อว่าฉันต้องตีความมันทวีคูณ: exp (สกัดกั้น) * exp (สูง) จะเป็นรายได้ที่มีความสูงเพิ่มขึ้น 1 หน่วย อย่างไรก็ตามขอขอบคุณ! :)