เกิดอะไรขึ้นถ้าความน่าจะเป็นไม่เท่ากันใน“ .632 กฎ”

คำถามนี้ได้มาจากคำถามนี้เกี่ยวกับ".632 Rule" ฉันกำลังเขียนโดยมีการอ้างอิงโดยเฉพาะกับคำตอบ / สัญกรณ์ของ user603 เท่าที่มันง่ายขึ้นเรื่อง

คำตอบที่ขึ้นต้นด้วยตัวอย่างที่มีขนาดด้วยการเปลี่ยนจากรายการที่แตกต่างกันในคอลเลกชัน (โทร) มัน N. ความน่าจะเป็นว่าตัวอย่างจะแตกต่างจากองค์ประกอบเฉพาะของ N คือแล้ว $n,$ $n$ $i^{th}$ $s_i$ $m$ $(1 - 1/n).$

ในคำตอบนั้นองค์ประกอบทั้งหมดของ N มีโอกาสเท่าเทียมกันในการถูกสุ่มจับ

คำถามของฉันคือ: สมมติว่าในคำถามข้างต้นรายการที่จะวาดนั้นเป็นสิ่งที่พวกเขามีการกระจายตามปกติ นั่นคือเราแบ่งเส้นโค้งปกติมาตรฐานจากถึงเป็น (พูด) 100 ช่วงเวลาที่มีความยาวเท่ากัน แต่ละรายการ 100 ใน N มีความน่าจะเป็นที่จะถูกดึงที่เท่ากับพื้นที่ subtended โดยเส้นโค้งในช่วงเวลาที่เกี่ยวข้อง $Z = -4$ $Z = 4$

ความคิดของฉันเป็นดังนี้:

การให้เหตุผลมีความคล้ายคลึงกับคำตอบที่ฉันคิดไว้ ความน่าจะเป็นที่โดยที่เป็นองค์ประกอบของ N คือซึ่งคือความน่าจะเป็นของการวาด $s_i \ne m$ $m$ $P(s_i \neq m) = (1 - F_i)$ $F_i$ $s_i.$

ความน่าจะเป็นที่องค์ประกอบเฉพาะ m อยู่ในตัวอย่าง S ของขนาด n คือ

P (m \in S) = 1 - P (m \notin S) = 1 - \prod_{1}^{n} P (s_{i} \neq m)

$P(m \in S) = 1 - P(m \notin S) = 1 - \prod_1^n P(s_i \neq m)$

= 1 - \prod_{1}^{n} (1 - F_{i}) .

$= 1 - \prod_1^n(1 - F_i).$

ดูเหมือนว่าการคำนวณจะแสดงให้เห็นว่าเมื่อความยาวของช่วงย่อยมีขนาดเล็กคำตอบก็จะรวมเป็นจำนวนเดียวกันกับในกรณีแรก (ความน่าจะเป็นที่เท่ากันทั้งหมด) $s_i$

สิ่งนี้ดูเหมือนจะเป็นเรื่องง่าย (สำหรับฉัน) เพราะการก่อสร้างดูเหมือนจะโยนองค์ประกอบของ N ซึ่งหายากดังนั้นฉันคาดว่าจะมีจำนวนน้อยกว่า. 632

นอกจากนี้ถ้านี่ถูกต้องฉันคิดว่าเราคงมี

lim_{n \to \infty} \prod_{1}^{n} (1 - F_{i}) = lim (1 - 1 / n)^{n} = 1 / e,

$\lim_{n \to \infty} \prod_1^n(1 - F_i) =\lim (1- 1/n)^n = 1/e,$

ซึ่งฉันยังไม่รู้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ

แก้ไข: ถ้าเป็นจริงมันอาจจะพูดทั่วไป

ขอบคุณสำหรับข้อมูลเชิงลึกใด ๆ

probability sampling

— แดเนียล
แหล่งที่มา

ฉันเพิ่งถามเกี่ยวกับสมการสุดท้ายของคณิตศาสตร์ SE (คำถามที่ 791114) เพราะฉันก็สนใจว่ามันพูดถึงเรื่องทั่วไปได้อย่างไร

— daniel

... และคำตอบสั้น ๆ ก็คือความเท่าเทียมกันสุดท้ายนั้นถูกต้องสำหรับไฟล์ PDF ที่มีพฤติกรรมดีดังนั้นคำตอบของคำถามก็คือกฎ.. 632 มีไว้สำหรับการแจกแจงพื้นฐานที่หลากหลาย

— daniel

ฉันสามารถยกคำตอบของคนอื่นจากเว็บไซต์อื่นและโพสต์ที่นี่เป็นของฉันได้หรือไม่ นั่นเป็นเหตุผลที่ฉันโพสต์ความคิดเห็นสั้น ๆ อาจมีวิธีที่ยอมรับได้ในการทำเช่นนี้ถ้าเป็นเช่นนั้น

— daniel

แน่นอนคุณสามารถเพียงแค่พูดถึงแหล่งที่มาในบางจุด :)

— Firebug

@Firebug: คุณสามารถชี้ไปที่อินสแตนซ์ที่ทำสิ่งนี้เพื่อให้ฉันสามารถเห็นสิ่งที่คุณหมายถึง? ขอบคุณ

— daniel

คำถามถามเกี่ยวกับพฤติกรรมการ จำกัด ของ

\begin{matrix} (1) & = 1 - \prod_{i = 1}^{n} (1 - F_{i}) \end{matrix}

$= 1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\tag{1}$

เมื่อเติบโตและลดขนาดลงอย่างสม่ำเสมอในลักษณะที่ (a) ทั้งหมดไม่เป็นลบและ (b) รวมเป็นเอกภาพ (สิ่งเหล่านี้มาจากการสร้างและสัจพจน์ของความน่าจะเป็น) $n$ $F_i$ $F_i$

ตามคำนิยามผลิตภัณฑ์นี้เป็นเลขชี้กำลังของลอการิทึม:

\prod_{i = 1}^{n} (1 - F_{i}) = \exp (\sum_{i = 1}^{n} \log (1 - F_{i})) .

$\prod_{i=1}^n(1 - F_i) = \exp\left(\sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right)\right).$

ทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ (ที่มีรูปแบบลากรองจ์ของส่วนที่เหลือ)ซึ่งนำไปใช้กับได้กำหนดว่า $\log$

\log (1 - F_{i}) = - F_{i} - \frac{1}{2} ϕ_{i}^{2} \geq - F_{i} - \frac{1}{2} F_{i}^{2}

$\log\left(1-F_i\right) = -F_i - \frac{1}{2}\phi_i^2 \ge -F_i - \frac{1}{2}F_i^2$

สำหรับบางในช่วงF_i] ในคำอื่น ๆ ลอการิทึมเหล่านี้เท่ากับถึงคำที่มีบางส่วนที่มากที่สุดครั้ง 2 แต่เมื่อมีขนาดใหญ่พอที่จะรับรองได้ว่าทั้งหมดจะเล็กกว่าที่ได้รับ (เงื่อนไขที่แน่นอนโดยการหดตัวอย่างสม่ำเสมอของ ) จากนั้น (b) หมายถึงและดังนั้นจึง $\phi_i$ $[0, F_i]$ $-F_i$ $1/2$ $F_i^2$ $n$ $F_i$ $\epsilon\gt 0$ $F_i$ $n\epsilon \gt \sum F_i = 1$

\sum_{i = 1}^{n} F_{i}^{2} \leq \sum_{i = 1}^{n} ϵ^{2} < \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{1}{n})}^{2} = \frac{1}{n} .

$\sum_{i=1}^n F_i^2 \le \sum_{i=1}^n \epsilon^2 \lt \sum_{i=1}^n \left(\frac{1}{n}\right)^2 =\frac{1}{n}.$

ดังนั้น

- 1 = - \sum_{i = 1}^{n} F_{i} \geq \sum_{i = 1}^{n} \log (1 - F_{i}) \geq - \sum_{i = 1}^{n} F_{i} - \frac{1}{2} \frac{1}{n} = - 1 - \frac{1}{2 n}

$-1 = -\sum_{i=1}^n F_i \ge \sum_{i=1}^n\log\left(1-F_i\right) \ge -\sum_{i=1}^n F_i - \frac{1}{2}\frac{1}{n} = -1 - \frac{1}{2n}$

บีบลอการิทึมระหว่างสองลำดับบรรจบกับ-1ตั้งแต่อย่างต่อเนื่องของผลิตภัณฑ์ลู่เพื่อชี้แจงของขีด จำกัด นี้,(-1) ดังนั้น $-1$ $\exp$ $\prod_{i=1}^n(1 - F_i)$ $\exp(-1)$

lim_{n \to \infty} (1 - \prod_{i = 1}^{n} (1 - F_{i})) = 1 - \exp (- 1) \approx 0.632,

$\lim_{n\to\infty} \left(1 - \prod_{i=1}^n(1 - F_i)\right) = 1 - \exp(-1) \approx 0.632,$

QED

การวิเคราะห์นี้ดูอย่างละเอียดยิ่งขึ้นแสดงให้เห็นว่าข้อผิดพลาดในการประมาณนี้ (ซึ่งจะเป็นขอบเขตที่ต่ำกว่า ) จะไม่ใหญ่กว่า ตัวอย่างเช่นการหารของการแจกแจงแบบปกติมาตรฐานไปยังระหว่างและจะให้ค่าสูงสุดใกล้กับโหมดซึ่งจะมีค่าเท่ากับพื้นที่ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่นั่น0.012 ขอบเขตที่กล่าวถึงข้างต้นกำหนดค่าของสูตรจะอยู่ภายในของค่า จำกัด ข้อผิดพลาดที่แท้จริงคือลำดับความสำคัญน้อยกว่า

(\exp ((n / 2) max (F_{i}^{2})) - 1) \exp (- 1) .

$\left(\exp\left((n/2)\max(F_i^2)\right) - 1\right)\exp(-1).$

n = 400

$n=400$

- 4

$-4$

4

$4$

F_{i}

$F_i$

0

$0$

\exp (- 1 / 2) / 50 \approx 0.012

$\exp(-1/2)/50 \approx 0.012$

(1)

$(1)$

0.011

$0.011$

0.001041

$0.001041$ 0.001041นี่คือการคำนวณในR(ซึ่งเราสามารถเชื่อถือได้เพราะไม่มีใด ๆ ที่ค่อนข้างเล็กเมื่อเทียบกับ ):

f_{i}

$f_i$

1

$1$

f <- diff(pnorm(seq(-4, 4, length.out=401))) # The normal "slices".
f <- f / sum(f)                              # Make them sum to unity.
exp(-1) - prod(1 - f)                        # Compute the error.

แท้จริง1 - prod(1-f)คือขณะที่คือ0.6321206 $0.6331615\ldots$ $1-\exp(-1)$ $0.6321206\ldots$

— whuber
แหล่งที่มา

การวิเคราะห์ข้อผิดพลาดเป็นสิ่งที่มีประโยชน์มากสำหรับคำตอบนี้

— แด