มีทฤษฎีบทหนึ่งที่บอกว่าลู่เข้าหากันอย่างเป็นปกติเมื่อไปถึงอินฟินิตี้หรือไม่?

Let $X$ จะกระจายใด ๆ กับการกำหนดค่าเฉลี่ย $\mu$ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน\ $\sigma$ ทฤษฎีขีด จำกัด กลางบอกว่า

\sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{σ}

$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$ ลู่เข้าสู่การแจกแจงแบบปกติ ถ้าเราแทนที่

σ

$\sigma$ ด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่าง

S

$S$ มีทฤษฎีที่ระบุว่า

\sqrt{n} \frac{\bar{X} - μ}{S}

$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{S}$ ลู่เข้าหากันเพื่อการกระจายตัวหรือไม่? ตั้งแต่ขนาดใหญ่

n

$n$ การแจกแจงแบบ t ใกล้ถึงระดับปกติทฤษฏีถ้ามีอยู่อาจระบุว่าขีด จำกัด เป็นการแจกแจงแบบปกติมาตรฐาน ดังนั้นฉันจึงเห็นว่าการแจกแจงแบบทีไม่มีประโยชน์อย่างมาก - พวกมันมีประโยชน์เฉพาะเมื่อ

X

$X$ เป็นปกติโดยประมาณ เป็นกรณีนี้หรือไม่?

หากเป็นไปได้คุณจะระบุการอ้างอิงที่มีหลักฐานของ CLT นี้เมื่อ $\sigma$ ถูกแทนที่โดย $S$ หรือไม่ การอ้างอิงเช่นนี้ควรใช้แนวคิดทฤษฎีการวัด แต่จะมีอะไรดีสำหรับฉัน ณ จุดนี้

— Esp Flo
แหล่งที่มา

แอพพลิเคชั่นของทฤษฎีบทของ Slutsky ซึ่งบางครั้งเรียกว่าการรวมเข้าด้วยกันบทแทรกแสดงให้เห็นว่าขีด จำกัด เป็นมาตรฐานปกติ

— พระคาร์ดินัล

การทำอย่างละเอียดใน @cardinal ความคิดเห็นของพิจารณาตัวอย่าง IID ขนาดจากตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายบางและช่วงเวลาที่ จำกัด ค่าเฉลี่ยและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน\กำหนดตัวแปรสุ่ม $n$ $X$ $\mu$ $\sigma$

Z_{n} = \sqrt{n} ({\bar{X}}_{n} - μ)

$Z_n = \sqrt {n}\left(\bar X_n -\mu\right)$ ทฤษฎีบทกลาง จำกัด ขั้นพื้นฐานบอกว่า

Z_{n} \to_{d} Z \sim N (0, σ^{2})

$Z_n \rightarrow_{d} Z \sim N(0,\sigma^2)$

ตอนนี้พิจารณาตัวแปรสุ่มที่เป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างX $Y_n = \frac 1{S_n}$ $S_n$ $X$

ตัวอย่างคือ iid ดังนั้นช่วงเวลาตัวอย่างจะประมาณช่วงเวลาของประชากรอย่างสม่ำเสมอ ดังนั้น

Y_{n} \to_{p} \frac{1}{σ}

$Y_n \rightarrow_{p} \frac 1{\sigma}$

ใส่ @ cardinal: ทฤษฎีบทของ Slutsky (หรือบทแทรก) กล่าวว่าเหนือสิ่งอื่นใด ที่คือค่าคงที่ . นี่คือกรณีของเราดังนั้น

{Z_{n} \to_{d} Z, Y_{n} \to_{p} c} \Rightarrow Z_{n} Y_{n} \to_{d} c Z

$\{Z_n \rightarrow_{d} Z, Y_n\rightarrow_{p} c\} \Rightarrow Z_nY_n\rightarrow_{d} cZ$

c

$c$

Z_{n} Y_{n} = \sqrt{n} \frac{\bar{X_{n}} - μ}{S_{n}} \to_{d} \frac{1}{σ} Z \sim N (0, 1)

$Z_nY_n = \sqrt{n}\frac{\bar{X_n} - \mu}{S_n}\rightarrow_{d} \frac 1{\sigma}Z \sim N(0,1)$

สำหรับประโยชน์ของการกระจายตัวของนักเรียนฉันแค่พูดถึงว่าใน "การใช้แบบดั้งเดิม" ที่เกี่ยวข้องกับการทดสอบทางสถิติมันยังคงเป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้เมื่อขนาดตัวอย่างมีขนาดเล็กมาก (และเรายังคงเผชิญกับกรณีดังกล่าว) แต่ก็มี ถูกนำไปใช้อย่างกว้างขวางกับโมเดล autoregressive ซีรีย์ด้วย heteroskedasticity (มีเงื่อนไข) โดยเฉพาะอย่างยิ่งในบริบทของเศรษฐมิติการเงินซึ่งข้อมูลดังกล่าวเกิดขึ้นบ่อยครั้ง

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

+1, ดีเสมอที่เห็นเมื่อคำตอบสำหรับคำถามเชิงทฤษฎีเกี่ยวข้องกับประโยชน์ในทางปฏิบัติ

— Andy

@Andy ฉันเห็นด้วยนั่นคืออุดมคติ

— Alecos Papadopoulos