ทำไมการวัดซ้ำ ANOVA จึงถือว่าเป็นทรงกลม?

โดยความกลมกลืนฉันหมายถึงการสันนิษฐานว่าความแปรปรวนของความแตกต่างของจำนวนคู่ระหว่างกลุ่มควรจะเท่ากัน

โดยเฉพาะอย่างยิ่งฉันไม่เข้าใจว่าทำไมสิ่งนี้จึงควรเป็นข้อสันนิษฐานและไม่ใช่ว่าความแปรปรวนของกลุ่มที่สังเกตได้นั้นเหมือนกัน

— user1205901 - Reinstate Monica
แหล่งที่มา

ดังที่ฉันได้แสดงความคิดเห็นไว้ที่นี่เนื่องจากความแตกต่างของตัวแปรระหว่างระดับ RM นั้นเกิดขึ้นจากการกำเนิดของพวกเขาความกลมกลืนจึงบอกเป็นนัยว่าพวกเขามีความแปรปรวนเดียวกัน

— ttnphns

ก่อนที่จะตอบจะเป็นประโยชน์ถ้ารู้ว่าคุณเข้าใจหรือไม่ว่าทำไมมาตรการอิสระ ANOVA จึงมีข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับความแปรปรวนแบบเดียวกัน

— จอห์น

@John ความเข้าใจของฉันคือคำตอบที่stats.stackexchange.com/questions/81914/…ตอบคำถามอย่างถูกต้อง

— user1205901 - Reinstate Monica

@ttnphns น่าเสียดายที่ฉันไม่เข้าใจคำตอบของคุณ คุณหรือผู้โพสต์อื่น ๆ สนใจที่จะหมุนมันออกเป็นการตอบสนองที่ละเอียดกว่านี้ไหม?

— user1205901 - Reinstate Monica

คำตอบ:

สัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลังการสันนิษฐานว่าเป็นทรงกลม

หนึ่งในข้อสันนิษฐานของมาตรการทั่วไปที่ไม่ได้ทำซ้ำ ANOVA คือความแปรปรวนที่เท่าเทียมกันในทุกกลุ่ม

(เราสามารถเข้าใจได้เพราะความแปรปรวนเท่ากันหรือที่เรียกว่าhomoscedasticityเป็นสิ่งจำเป็นสำหรับตัวประมาณ OLS ในการถดถอยเชิงเส้นจะเป็นสีน้ำเงินและสำหรับการทดสอบ t ที่สอดคล้องกันจะถูกต้องดูทฤษฎีบทเกาส์ - มาร์กอฟและ ANOVA การถดถอย.)

งั้นลองลดกรณี RM-ANOVA เป็นกรณีที่ไม่ใช่ RM เพื่อความเรียบง่ายฉันจะจัดการกับปัจจัยหนึ่ง RM-ANOVA (โดยไม่มีผลกระทบระหว่างเรื่องใด ๆ ) ที่มีวิชาที่บันทึกในเงื่อนไข RM $n$ $k$

แต่ละวิชาสามารถมีออฟเซ็ตเฉพาะเรื่องของตนเองหรือสกัดกั้น หากเราลบค่าในกลุ่มหนึ่งจากค่าในกลุ่มอื่นทั้งหมดเราจะยกเลิกการสกัดกั้นเหล่านี้และมาถึงสถานการณ์เมื่อเราสามารถใช้ non-RM-ANOVA เพื่อทดสอบแตกต่างของกลุ่มเป็นศูนย์ทั้งหมดหรือไม่ สำหรับการทดสอบนี้จะเป็นที่ถูกต้องเราต้องสมมติฐานของความแปรปรวนที่เท่ากันของเหล่าความแตกต่าง $k-1$ $k-1$

ตอนนี้เราสามารถลบกลุ่ม # 2 จากกลุ่มอื่นทั้งหมดมาถึงความแตกต่างที่ควรมีความแปรปรวนเท่ากัน สำหรับแต่ละกลุ่มจากความแปรปรวนของความแตกต่างสอดคล้องกันควรเท่ากัน ตามมาอย่างรวดเร็วว่าความแตกต่างที่เป็นไปได้ควรเท่ากัน $k-1$ $k$ $k-1$ $k(k-1)/2$

ซึ่งเป็นข้อสันนิษฐานที่แม่นยำของทรงกลม

ทำไมความแตกต่างของกลุ่มไม่ควรเท่ากัน?

เมื่อเราคิดว่า RM-ANOVA เรามักจะคิดว่ารูปแบบการผสมรูปแบบสไตล์ที่เรียบง่ายสารเติมแต่งในรูปแบบที่ที่มีผลกระทบเรื่องมี ผลกระทบสภาพและ )

Y_{ผม J} = μ + α_{ผม} + β_{J} + ε_{ผม J},

$y_{ij}=\mu+\alpha_i + \beta_j + \epsilon_{ij},$

α_{i}

$\alpha_i$

β_{j}

$\beta_j$

ϵ \sim N (0, σ^{2})

$\epsilon\sim\mathcal N(0,\sigma^2)$

สำหรับรุ่นนี้แตกต่างจะเป็นไปตามกลุ่มคือทุกคนจะมีความแปรปรวนเดียวกันเพื่อให้เป็นทรงกลมถือ แต่แต่ละกลุ่มจะตามด้วยส่วนผสมของ Gaussians ด้วยค่าเฉลี่ยที่และค่าความแปรปรวนซึ่งเป็นการกระจายที่ซับซ้อนด้วยความแปรปรวนที่คงที่ตลอดทั้งกลุ่ม $\mathcal N(\beta_{j_1} - \beta_{j_2}, 2\sigma^2)$ $2\sigma^2$ $n$ $\alpha_i$ $\sigma^2$ $V(\vec \alpha, \sigma^2)$

ดังนั้นในโมเดลนี้แน่นอนความแปรปรวนของกลุ่มก็เหมือนกัน covariances กลุ่มนี้ยังมีเหมือนกันที่มีความหมายว่ารูปแบบนี้หมายถึงความสมมาตรสารประกอบ นี่คือเงื่อนไขที่เข้มงวดมากขึ้นเมื่อเทียบกับความกลม เป็นอาร์กิวเมนต์ที่ใช้งานง่ายของฉันข้างต้นแสดงให้เห็นว่า RM-ANOVA สามารถทำงานได้ดีในสถานการณ์ทั่วไปมากขึ้นเมื่อรูปแบบสารเติมแต่งที่เขียนข้างต้นไม่ได้ถือ

คำสั่งทางคณิตศาสตร์ที่แม่นยำ

ฉันจะไปเพิ่มที่นี่บางสิ่งบางอย่างจากHuynh & Feldt 1970 อัตราส่วนภายใต้เงื่อนไขที่ Mean Square ในวัดซ้ำ Designs มีแน่นอน $F$ -Distributions

จะเกิดอะไรขึ้นเมื่อทรงกลมแตก

เมื่อทรงกลมไม่ถือเราอาจคาดหวังว่า RM-ANOVA ถึง (i) มีขนาดที่สูงเกินจริง (ข้อผิดพลาดประเภทที่ 1 มากขึ้น) (ii) มีพลังงานลดลง (ข้อผิดพลาดประเภท II เพิ่มเติม) เราสามารถสำรวจได้โดยการจำลองสถานการณ์ แต่ฉันจะไม่ทำที่นี่

— อะมีบา
แหล่งที่มา

ปรากฎว่าผลของการละเมิด sphericity คือการสูญเสียพลังงาน (เช่นความน่าจะเป็นที่เพิ่มขึ้นของข้อผิดพลาด Type II) และสถิติทดสอบ (F-ratio) ที่ไม่สามารถเปรียบเทียบกับค่า tabulated ของการแจกแจงแบบ F การทดสอบ F กลายเป็นเสรีนิยมเกินไป (เช่นสัดส่วนการปฏิเสธสมมติฐานว่างใหญ่กว่าระดับอัลฟ่าเมื่อสมมติฐานว่างเป็นจริง

การตรวจสอบที่แม่นยำของเรื่องนี้เกี่ยวข้องมาก แต่โชคดีที่ Box et al เขียนบทความเกี่ยวกับเรื่องนี้: https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.aoms/1177728786

ในระยะสั้นสถานการณ์มีดังนี้ ก่อนอื่นสมมติว่าเรามีปัจจัยหนึ่งที่วัดการออกแบบซ้ำกับอาสาสมัคร S และการทดลองทดลองในกรณีนี้ผลของตัวแปรอิสระจะถูกทดสอบโดยการคำนวณสถิติ F ซึ่งคำนวณเป็นอัตราส่วนของกำลังสองเฉลี่ยโดยกำลังสองเฉลี่ย ของการปฏิสัมพันธ์ระหว่างปัจจัยเรื่องและตัวแปรอิสระ เมื่อความกลมมีสถิตินี้มีการแจกแจงแบบฟิชเชอร์กับและองศาอิสระ $\upsilon_{1}=A-1$ $\upsilon_{2}=(A-1)(S-1)$

ในบทความข้างต้นกล่องเปิดเผยว่าเมื่อกลมล้มเหลวจำนวนที่ถูกต้องขององศาอิสระกลายเป็นอัตราส่วน F ขึ้นอยู่กับความกลมชอบโดย: $\upsilon_{1}$ $\epsilon$

υ_{1} = ε (A - 1)

$\upsilon_{1} = \epsilon(A-1)$

υ_{2} = ε (A - 1) (S - 1)

$\upsilon_{2} = \epsilon(A-1)(S-1)$

นอกจากนี้ Box ยังได้แนะนำดัชนี sphericity ซึ่งใช้กับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมของประชากร ถ้าเราเรียกรายการของตาราง Axa นี้แล้วดัชนี $\xi_{a,a}$

ε = \frac{{(Σ_{a}^{} ξ_{a, a})}^{2}}{(A - 1) Σ_{a, a^{'}}^{} ξ_{a, a^{'}}^{2}}

$\epsilon = \frac{\left ( \sum_{a}^{ }\xi_{a,a} \right )^{2}}{\left ( A-1 \right )\sum_{a,a'}^{ }\xi_{a,a'}^{2}}$

ดัชนี Box of sphericity เป็นที่เข้าใจกันดีที่สุดเกี่ยวกับค่าลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม จำได้ว่าเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเป็นคลาสของเมทริกซ์กึ่งบวกแน่นอนและดังนั้นจึงมีค่าลักษณะเฉพาะเป็นค่าว่างเสมอ ดังนั้นสภาพความเป็นทรงกลมจึงเท่ากับค่าลักษณะเฉพาะทั้งหมดเท่ากับค่าคงที่

ดังนั้นเมื่อมีการละเมิด sphericity เราควรใช้การแก้ไขบางอย่างสำหรับสถิติ F ของเราและตัวอย่างที่เด่นที่สุดของการแก้ไขนี้คือ Greenhouse-Geisser และ Huynh-Feldt

หากไม่มีการแก้ไขผลลัพธ์ของคุณจะลำเอียงและไม่น่าเชื่อถือ หวังว่านี่จะช่วยได้!

— นักวิชาการที่กว้างใหญ่
แหล่งที่มา

+1 ฉันจะแสดงความคิดเห็นเพิ่มเติมในภายหลัง แต่สำหรับตอนนี้ย่อหน้าแรกของคุณผสมผสานพลังและขนาดของการทดสอบเข้าด้วยกัน อะไรคือความผิดปกติเมื่อมีการละเมิดทรงกลม? อัตราความผิดพลาดประเภทที่ฉันเป็นโมฆะ? หรือพลัง? หรือทั้งคู่? คุณอาจหมายถึงทั้งสอง แต่สูตรไม่ชัดเจน (ฉันคิดว่า) นอกจากนี้ยังไม่ใช่ "Box et al" มันเป็น Box alone :)

— amoeba

ฉันคิดว่าพลังส่วนใหญ่จะลดลงเพราะตามที่ Box แสดงเมื่อทรงกลมถูกละเมิดเราต้องพึ่งพาสถิติที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง (ด้วยองศาอิสระอีกระดับ) หากเราไม่พึ่งพาสิ่งนั้นขึ้นอยู่กับว่าการละเมิดของเราแข็งแกร่งแค่ไหนเราจะมีสัดส่วนการปฏิเสธสมมติฐานว่างมากขึ้น

— นักวิชาการที่กว้างใหญ่

ขออภัยคุณยังสับสนในขณะนี้โดยความคิดเห็นของคุณ: "สัดส่วนที่ใหญ่กว่าของการปฏิเสธโมฆะ" - คุณหมายถึงเมื่อโมฆะจริงหรือไม่ แต่นี่ไม่เกี่ยวอะไรกับกำลังงานนี่เป็นอัตราความผิดพลาดประเภทที่ 1

— อะมีบา

+10 ฉันให้รางวัลแก่คำตอบของฉัน: มันดีและเป็นคำตอบเดียวที่ปรากฏในช่วงเวลาโปรดปราน ฉันไม่พอใจอย่างเต็มที่กับคำตอบของคุณ (และยัง?) และฉันเริ่มเขียนคำตอบของฉันเอง (ปัจจุบันยังไม่สมบูรณ์ แต่โพสต์แล้ว) แต่ฉันมีความเข้าใจเพียงบางส่วนเกี่ยวกับคณิตศาสตร์พื้นฐาน คำตอบของคุณช่วยอย่างแน่นอนและการอ้างอิงถึง Box 1954 ก็มีประโยชน์มาก

— อะมีบา

ϵ

$\epsilon$

ϵ

$\epsilon$

ξ

$\xi$

A \times A

$A\times A$

$y_{ijk}$ $i=1, ..., I; j = 1, ..., J; k = 1, ..., K.$

ค่าเฉลี่ยตัวอย่างของกลุ่ม i-th คือ

{\bar{Y}}_{ผม . .} = \frac{1}{J K} Σ_{J = 1}^{J} Σ_{k = 1}^{K} Y_{ผม J k}

$\bar{y}_{i..} = \frac{1}{JK}\sum_{j=1}^{J}\sum_{k=1}^{K}{y_{ijk}}$

และนั่นคือเรื่องของ ij-th

{\bar{Y}}_{ผม J .} = \frac{1}{K} Σ_{k = 1}^{K} Y_{ผม J k}

$\bar{y}_{ij.} = \frac{1}{K}\sum_{k=1}^{K}{y_{ijk}}$

โดยการสมมติความเป็นอิสระของอาสาสมัครความแปรปรวนของความแตกต่างระหว่างสองกลุ่มหมายความว่า

V a R ({\bar{Y}}_{ผม . .} - {\bar{Y}}_{{ผม}^{'} . .}) = \frac{1}{J^{2}} Σ_{J = 1}^{J} V a R ({\bar{Y}}_{ผม J .}) + \frac{1}{J^{2}} Σ_{J^{'} = 1}^{J} V a R ({\bar{Y}}_{{ผม}^{'} J^{'} .})

$Var(\bar{y}_{i..} - \bar{y}_{i'..}) = \frac{1}{J^2}\sum_{j=1}^JVar(\bar{y}_{ij.}) + \frac{1}{J^2}\sum_{j'=1}^JVar(\bar{y}_{i'j'.})$

$Var(\bar{y}_{ij.})$ $\sigma^{2}/K$ $\sigma^{2}$ $Var(\bar{y}_{ij.})$

ทีนี้คำถามเกี่ยวกับการทรงกลมที่เกิดขึ้น

$\bar{y}_{..k} - \bar{y}_{..k'}$

{\bar{Y}}_{. . k} = \frac{1}{ผม J} Σ_{ผม = 1}^{ผม} Σ_{J = 1}^{J} Y_{ผม J k} .

$\bar{y}_{..k} = \frac{1}{IJ}\sum_{i=1}^{I}\sum_{j=1}^{J}{y_{ijk}}.$

y_{i j k}

$y_{ijk}$

y_{i j k^{'}}

$y_{ijk'}$

V a R ({\bar{Y}}_{. . k} - {\bar{Y}}_{. . k^{'}}) = \frac{1}{(ผม J)^{2}} Σ_{ผม = 1}^{ผม} Σ_{J = 1}^{J} V a R (Y_{ผม J k} - Y_{ผม J k^{'}})

$Var(\bar{y}_{..k} - \bar{y}_{..k'}) = \frac{1}{(IJ)^2}\sum_{i=1}^I\sum_{j=1}^JVar(y_{ijk} - y_{ijk'})$

ดังนั้นการสมมติว่าค่าความแปรปรวนคงที่ของความแตกต่างของจำนวนคู่ทั้งหมดทำให้สามารถใช้การทดสอบ t ได้เมื่อประมาณค่าความแปรปรวนทั่วไป สมมติฐานนี้พร้อมกับความแปรปรวนคงที่ของการสังเกตแต่ละครั้งก็หมายความว่าค่าความแปรปรวนร่วมระหว่างคู่การวัดใด ๆ นั้นคงที่ในทุกคู่ - เซอร์จิโอมีโพสต์ที่ยอดเยี่ยมในหัวข้อนี้ สมมติฐานจึงทำให้โครงสร้างความแปรปรวนร่วม - ความแปรปรวนร่วมสำหรับการวัดซ้ำของแต่ละเรื่องเป็นเมทริกซ์ที่มีค่าคงที่ในแนวทแยงมุมและค่าคงที่นอกแนวทแยงมุมอื่น เมื่อรายการนอกแนวทแยงเป็นศูนย์ทั้งหมดมันจะลดลงเป็นโมเดลอิสระทั้งหมด (ซึ่งอาจไม่เหมาะสมสำหรับการศึกษาการวัดซ้ำหลายครั้ง) เมื่อรายการแนวทแยงออกเหมือนกันกับเส้นทแยงมุมการวัดซ้ำมีความสัมพันธ์อย่างสมบูรณ์สำหรับวัตถุหนึ่ง ๆ ซึ่งหมายความว่าการวัดเดี่ยวใด ๆ ก็ทำได้ดีเท่ากับการวัดทั้งหมดสำหรับแต่ละเรื่อง Final note - เมื่อ K = 2 ในการออกแบบการแบ่งแบบง่ายของเราสภาพทรงกลมจะถูกเติมเต็มโดยอัตโนมัติ

— ทีหลิน
แหล่งที่มา