การแจกแจงความน่าจะเป็นของฟังก์ชันของตัวแปรสุ่ม

ฉันมีข้อสงสัย: พิจารณาตัวแปรสุ่มที่มีค่าจริง $X$ และ $Z$ ทั้งสองถูกกำหนดบนพื้นที่ความน่าจะเป็น $(\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P})$ .

ปล่อย $Y:= g(X,Z)$ ที่ไหน $g(\cdot)$ เป็นฟังก์ชั่นมูลค่าที่แท้จริง ตั้งแต่ $Y$ เป็นฟังก์ชั่นของตัวแปรสุ่มมันเป็นตัวแปรสุ่ม

ปล่อย $x:=X(\omega)$ เช่นการก่อให้เกิด $X$ .

คือ $\mathbb{P}(Y|X=x)=\mathbb{P}(g(X,Z)|X=x)$ เท่ากับ $\mathbb{P}(g(x,Z))$ ?

probability random-variable

— user3285148
แหล่งที่มา

เนื่องจากสัญกรณ์ของคุณค่อนข้างยากมันอาจคุ้มค่าที่จะชี้ให้เห็นว่ามันหมายถึงชุด Borel โดยปริยาย

A

$A$ ขึ้นอยู่กับปริมาณสากลและการแสดงผลคำถามของคุณอย่างเต็มที่จะเป็นไปได้หรือไม่

\forall_{A} P (Y \in A | X = x) = P (ก. (X, Z) \in A | X = x) = P (ก. (x, Z) \in A) .

$\forall_A\ \mathbb{P}(Y\in A|X=x)=\mathbb{P}(g(X,Z)\in A|X=x)=\mathbb{P}(g(x,Z)\in A).$

— whuber

@whuber: ความเท่าเทียมกันครั้งสุดท้ายของคุณจะใช้ได้เฉพาะในกรณีที่

X

$X$ และ

Z

$Z$ มีความเป็นอิสระ

— Zen

ตกลงคุณเพียงแค่พิจารณา "ไม่ว่าจะเป็นกรณีที่ ... "

— Zen

ถ้า $g$ สามารถวัดได้แล้ว

P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) = P (g (x, Z) \in A ∣ X = x), A \in B (R)

$P(g(X,Z)\in A\mid X=x)=P(g(x,Z)\in A\mid X=x),\quad A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ ถือสำหรับ

P_{X}

$P_X$ -AA

x

$x$ . โดยเฉพาะถ้า

Z

$Z$ เป็นอิสระจาก

X

$X$ จากนั้น

P (g (X, Z) \in A ∣ X = x) = P (g (x, Z) \in A), A \in B (R)

$P(g(X,Z)\in A\mid X=x)=P(g(x,Z)\in A),\quad A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ ถือสำหรับ

P_{X}

$P_X$ -AA

x

$x$ .

สิ่งนี้ขึ้นอยู่กับผลลัพธ์ทั่วไปต่อไปนี้:

ถ้า $U,T$ และ $S$ เป็นตัวแปรสุ่มและ $P_S(\cdot \mid T=t)$ หมายถึงความน่าจะเป็นเงื่อนไขปกติของ $S$ รับ $T=t$ เช่น $P_S(A \mid T=t)=P(S\in A\mid T=t)$ จากนั้น
$\begin{matrix} (*) & E [ยู | T = เสื้อ] = \int_{R} E [ยู | T = เสื้อ, S = s] P_{S} (d s | T = เสื้อ) . \end{matrix}$ ${\rm E}[U\mid T=t]=\int_\mathbb{R} {\rm E}[U\mid T=t,S=s]\,P_S(\mathrm ds\mid T=t).\tag{*}$

พิสูจน์ : คำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขปกติทำให้มั่นใจได้ว่า

E [ψ (S, T)] = \int_{R} \int_{R} ψ (s, เสื้อ) P_{S} (d s | T = เสื้อ) P_{T} (d เสื้อ)

${\rm E}[\psi(S,T)]=\int_\mathbb{R}\int_\mathbb{R} \psi(s,t)\,P_S(\mathrm ds\mid T=t)P_T(\mathrm dt)$ สำหรับวัดและบูรณาการ

ψ

$\psi$ . ตอนนี้ขอ

ψ (s, t) = 1_{B} (t) E [U ∣ S = s, T = t]

$\psi(s,t)=\mathbf{1}_B(t){\rm E}[U\mid S=s,T=t]$ สำหรับบางชุดชุด Borel

B

$B$ . แล้วก็

\begin{aligned} \int_{T^{- 1} (B)} ยู d P & = E [1_{B} (T) ยู] = E [1_{B} (T) E [ยู | S, T]] = E [ψ (S, T)] \\ = \int_{R} \int_{R} ψ (s, เสื้อ) P_{S} (d s | T = เสื้อ) P_{T} (d เสื้อ) \\ = \int_{B} φ (เสื้อ) P_{T} (d เสื้อ) \end{aligned}

$\begin{align} \int_{T^{-1}(B)} U\,\mathrm dP&={\rm E}[\mathbf{1}_B(T)U]={\rm E}[\mathbf{1}_B(T){\rm E}[U\mid S,T]]={\rm E}[\psi(S,T)]\\ &=\int_{\mathbb{R}}\int_{\mathbb{R}}\psi(s,t)\, P_S(\mathrm ds\mid T=t)P_T(\mathrm dt)\\ &=\int_B\varphi(t)P_T(\mathrm dt) \end{align}$ กับ

φ (เสื้อ) = \int_{R} E [ยู | T = เสื้อ, S = s] P_{S} (d s | T = เสื้อ) .

$\varphi(t)=\int_\mathbb{R}{\rm E}[U\mid T=t,S=s]\,P_S(\mathrm ds\mid T=t).$ ตั้งแต่

B

$B$ โดยพลการเราสรุปได้ว่า

φ (t) = E [U ∣ T = t]

$\varphi(t)={\rm E}[U\mid T=t]$ .

ตอนนี้ขอ $A\in\mathcal{B}(\mathbb{R})$ และการใช้งาน $(*)$ กับ $U=\psi(X,Z)$ ที่ไหน $\psi(x,z)=\mathbf{1}_{g^{-1}(A)}(x,z)$ และ $S=Z$ , $T=X$ . จากนั้นเราก็สังเกตได้ว่า

E [ยู | X = x, Z = Z] = E [ψ (X, Y) | X = x, Z = Z] = ψ (x, Z)

${\rm E}[U\mid X=x,Z=z]={\rm E}[\psi(X,Y)\mid X=x,Z=z]=\psi(x,z)$ โดยคำจำกัดความของความคาดหวังตามเงื่อนไขและด้วย

(*)

$(*)$ เรามี

\begin{aligned} P (ก. (X, Z) \in A | X = x) & = E [ยู | X = x] = \int_{R} ψ (x, Z) P_{Z} (d Z | X = x) \\ = P (ก. (x, Z) \in A | X = x) . \end{aligned}

$\begin{align} P(g(X,Z)\in A\mid X=x)&={\rm E}[U\mid X=x]=\int_\mathbb{R} \psi(x,z)\,P_Z(\mathrm dz\mid X=x)\\ &=P(g(x,Z)\in A\mid X=x). \end{align}$

— สเตฟานแฮนเซน
แหล่งที่มา