MLE ของพารามิเตอร์ตำแหน่งในการแจกแจง Cauchy

หลังจากอยู่ตรงกลางทั้งสองวัด x และ −xสามารถสันนิษฐานได้ว่าเป็นอิสระจากการสังเกต Cauchy กระจายด้วยฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น:

$f(x :\theta) =$ ,-∞<x<$1\over\pi (1+(x-\theta)^2)$ $, -∞ < x < ∞$

แสดงให้เห็นว่าถ้า MLE ของเป็น 0 แต่ถ้ามีสองแห่งคือเท่ากับ±θ x 2 > 1 θ $x^2≤ 1$$\theta$$x^2>1$$\theta$$\sqrt {x^2-1}$

ฉันคิดว่าจะหา MLE ฉันต้องแยกโอกาสในการบันทึก:

=∑2(xi-θ$dl\over d\theta$ $=\sum$ =2(-x-θ$2(x_i-\theta)\over 1+(x_i-\theta)^2$ $=$ 2(x-θ$2(-x-\theta)\over 1+(-x-\theta)^2$ + =$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=0$

ดังนั้น,

=2(x+θ$2(x-\theta)\over 1+(x-\theta)^2$ $=$ $2(x+\theta)\over 1+(x-\theta)^2$

ซึ่งฉันก็ลดความซับซ้อนลงไป

$5x^2 = 3\theta^2+2\theta x+3$

ตอนนี้ฉันชนกำแพงแล้ว ฉันอาจจะผิดพลาดในบางจุด แต่อย่างใดฉันไม่แน่ใจว่าจะตอบคำถามได้อย่างไร ใครช่วยได้บ้าง

มีการพิมพ์ผิดทางคณิตศาสตร์ในการคำนวณของคุณ เงื่อนไขการสั่งซื้อครั้งแรกสำหรับสูงสุดคือ:

$$\begin{align} \frac {\partial L}{\partial \theta}= 0 &\Rightarrow \frac {2(x+\theta)}{ 1+(x+\theta)^2} - \frac{2(x-\theta)}{ 1+(x-\theta)^2}&=0 \\[5pt] &\Rightarrow (x+\theta)+(x+\theta)(x-\theta)^2 - (x-\theta)-(x-\theta)(x+\theta)^2&=0 \\[3pt] &\Rightarrow 2\theta +(x+\theta)(x-\theta)\left[x-\theta-(x+\theta\right]&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta -2\theta(x+\theta)(x-\theta) =0\Rightarrow 2\theta -2\theta(x^2-\theta^2)&=0 \\[3pt] &\Rightarrow2\theta(1-x^2+\theta^2)=0 \Rightarrow 2\theta\big(\theta^2+(1-x^2)\big)&=0 \end{align}$$

ถ้า $x^2\leq 1$$\hat \theta =0$

$x^2 >1$$2\theta\big[\theta^2-(x^2-1)\big]=0$$\theta =0$

$$\frac {\partial L}{\partial \theta}= 0,\;\; \text{for}\;\;\hat \theta = \pm\sqrt {x^2-1}$$

$\hat \theta =0$

ภาคผนวก

$x =\pm 0.5$

$x =\pm 1.5$

ตอนนี้สิ่งที่คุณต้องทำคือการพิสูจน์ว่าเกี่ยวกับพีชคณิตแล้วสงสัยว่า "ฉันควรเลือกอันไหนในสองอัน?"