นี่คือสิ่งที่ฉันทำ:
- การที่จะพิจารณาดาวพฤหัสและดาวเสาร์และดาวยูเรนัสนั้นเป็นวิธีที่ปลอดภัยที่สุด มันอาจเป็นผลดีที่จะรวมโลกในการวิเคราะห์เพื่อให้ได้ตำแหน่งสัมพัทธ์มุมสังเกต ฯลฯ ดังนั้นฉันจะพิจารณา:
- ดวงอาทิตย์
- โลก
- ดาวพฤหัสบดี
- ดาวเสาร์
- ดาวมฤตยู
- เกตุ
- รับพารามิเตอร์แรงโน้มถ่วงมาตรฐาน (μ) สำหรับพวกเขาทั้งหมด
- รับตำแหน่งเริ่มต้นและความเร็วผ่านJPL / HORIZONSสำหรับดาวเคราะห์เหล่านี้ทั้งหมด ฉันมีข้อมูลบางส่วนที่อยู่รอบ ๆ จาก J2000.5 ดังนั้นฉันจึงใช้เวกเตอร์สถานะตั้งแต่วันที่ 1 มกราคม 2000 เวลาเที่ยง
- เขียนตัวรวม N-body ด้วยเครื่องมือ MATLAB ในตัว ผสานรวมระบบสุริยะที่ไม่สมบูรณ์ครั้งเดียวโดยไม่ต้องเนปจูนและอีกครั้งด้วยการรวมเนปจูน
- วิเคราะห์และเปรียบเทียบ!
ดังนั้นนี่คือข้อมูลของฉันและผู้รวมระบบ N-body:
function [t, yout_noNeptune, yout_withNeptune] = discover_Neptune()
% Time of integration (in years)
tspan = [0 97] * 365.25 * 86400;
% std. gravitational parameters [km/s²/kg]
mus_noNeptune = [1.32712439940e11; % Sun
398600.4415 % Earth
1.26686534e8 % Jupiter
3.7931187e7 % Saturn
5.793939e6]; % Uranus
mus_withNeptune = [mus_noNeptune
6.836529e6]; % Neptune
% Initial positions [km] and velocities [km/s] on 2000/Jan/1, 00:00
% These positions describe the barycenter of the associated system,
% e.g., sJupiter equals the statevector of the Jovian system barycenter.
% Coordinates are expressed in ICRF, Solar system barycenter
sSun = [0 0 0 0 0 0].';
sEarth = [-2.519628815461580E+07 1.449304809540383E+08 -6.175201582312584E+02,...
-2.984033716426881E+01 -5.204660244783900E+00 6.043671763866776E-05].';
sJupiter = [ 5.989286428194381E+08 4.390950273441353E+08 -1.523283183395675E+07,...
-7.900977458946710E+00 1.116263478937066E+01 1.306377465321731E-01].';
sSaturn = [ 9.587405702749230E+08 9.825345942920649E+08 -5.522129405702555E+07,...
-7.429660072417541E+00 6.738335806405299E+00 1.781138895399632E-01].';
sUranus = [ 2.158728913593440E+09 -2.054869688179662E+09 -3.562250313222718E+07,...
4.637622471852293E+00 4.627114800383241E+00 -4.290473194118749E-02].';
sNeptune = [ 2.514787652167830E+09 -3.738894534538290E+09 1.904284739289832E+07,...
4.466005624145428E+00 3.075618250100339E+00 -1.666451179600835E-01].';
y0_noNeptune = [sSun; sEarth; sJupiter; sSaturn; sUranus];
y0_withNeptune = [y0_noNeptune; sNeptune];
% Integrate the partial Solar system
% once with Neptune, and once without
options = odeset('AbsTol', 1e-8,...
'RelTol', 1e-10);
[t, yout_noNeptune] = ode113(@(t,y) odefcn(t,y,mus_noNeptune) , tspan, y0_noNeptune , options);
[~, yout_withNeptune] = ode113(@(t,y) odefcn(t,y,mus_withNeptune), t, y0_withNeptune, options);
end
% The differential equation
%
% dy/dt = d/dt [r₀ v₀ r₁ v₁ r₂ v₂ ... rₙ vₙ]
% = [v₀ a₀ v₁ a₁ v₂ a₂ ... vₙ aₙ]
%
% with
%
% aₓ = Σₘ -G·mₘ/|rₘ-rₓ|² · (rₘ-rₓ) / |rₘ-rₓ|
% = Σₘ -μₘ·(rₘ-rₓ)/|rₘ-rₓ|³
%
function dydt = odefcn(~, y, mus)
% Split up position and velocity
rs = y([1:6:end; 2:6:end; 3:6:end]);
vs = y([4:6:end; 5:6:end; 6:6:end]);
% Number of celestial bodies
N = size(rs,2);
% Compute interplanetary distances to the power -3/2
df = bsxfun(@minus, permute(rs, [1 3 2]), rs);
D32 = permute(sum(df.^2), [3 2 1]).^(-3/2);
D32(1:N+1:end) = 0; % (remove infs)
% Compute all accelerations
as = -bsxfun(@times, mus.', D32); % (magnitudes)
as = bsxfun(@times, df, permute(as, [3 2 1])); % (directions)
as = reshape(sum(as,2), [],1); % (total)
% Output derivatives of the state vectors
dydt = y;
dydt([1:6:end; 2:6:end; 3:6:end]) = vs;
dydt([4:6:end; 5:6:end; 6:6:end]) = as;
end
นี่คือสคริปต์ไดรเวอร์ที่ฉันใช้ในการทำแผนดีๆออกมา
clc
close all
% Get coordinates from N-body simulation
[t, yout_noNeptune, yout_withNeptune] = discover_Neptune();
% For plot titles etc.
bodies = {'Sun'
'Earth'
'Jupiter'
'Saturn'
'Uranus'
'Neptune'};
% Extract positions
rs_noNeptune = yout_noNeptune (:, [1:6:end; 2:6:end; 3:6:end]);
rs_withNeptune = yout_withNeptune(:, [1:6:end; 2:6:end; 3:6:end]);
% Figure of the whole Solar sysetm, just to check
% whether everything went OK
figure, clf, hold on
for ii = 1:numel(bodies)
plot3(rs_withNeptune(:,3*(ii-1)+1),...
rs_withNeptune(:,3*(ii-1)+2),...
rs_withNeptune(:,3*(ii-1)+3),...
'color', rand(1,3));
end
axis equal
legend(bodies);
xlabel('X [km]');
ylabel('Y [km]');
title('Just the Solar system, nothing to see here');
% Compare positions of Uranus with and without Neptune
rs_Uranus_noNeptune = rs_noNeptune (:, 13:15);
rs_Uranus_withNeptune = rs_withNeptune(:, 13:15);
figure, clf, hold on
plot3(rs_Uranus_noNeptune(:,1),...
rs_Uranus_noNeptune(:,2),...
rs_Uranus_noNeptune(:,3),...
'b.');
plot3(rs_Uranus_withNeptune(:,1),...
rs_Uranus_withNeptune(:,2),...
rs_Uranus_withNeptune(:,3),...
'r.');
axis equal
xlabel('X [km]');
ylabel('Y [km]');
legend('Uranus, no Neptune',...
'Uranus, with Neptune');
% Norm of the difference over time
figure, clf, hold on
rescaled_t = t/365.25/86400;
dx = sqrt(sum((rs_Uranus_noNeptune - rs_Uranus_withNeptune).^2,2));
plot(rescaled_t,dx);
xlabel('Time [years]');
ylabel('Absolute offset [km]');
title({'Euclidian distance between'
'the two Uranuses'});
% Angles from Earth
figure, clf, hold on
rs_Earth_noNeptune = rs_noNeptune (:, 4:6);
rs_Earth_withNeptune = rs_withNeptune(:, 4:6);
v0 = rs_Uranus_noNeptune - rs_Earth_noNeptune;
v1 = rs_Uranus_withNeptune - rs_Earth_withNeptune;
nv0 = sqrt(sum(v0.^2,2));
nv1 = sqrt(sum(v1.^2,2));
dPhi = 180/pi * 3600 * acos(min(1,max(0, sum(v0.*v1,2) ./ (nv0.*nv1) )));
plot(rescaled_t, dPhi);
xlabel('Time [years]');
ylabel('Separation [arcsec]')
title({'Angular separation between the two'
'Uranuses when observed from Earth'});
ซึ่งฉันจะอธิบายที่นี่ทีละขั้นตอน
ก่อนอื่นพล็อตของระบบพลังงานแสงอาทิตย์เพื่อตรวจสอบว่าตัวรวม N-body ทำงานได้อย่างที่ควรจะเป็น:
ดี! ต่อไปฉันต้องการเห็นความแตกต่างระหว่างตำแหน่งของดาวยูเรนัสที่มีและไม่มีอิทธิพลของดาวเนปจูน ดังนั้นฉันจึงแยกตำแหน่งของ Uranuses ทั้งสองนั้นออกมาแล้วพล็อตมัน:
... มันไม่ค่อยมีประโยชน์ แม้เมื่อซูมเข้าไปอย่างมากและหมุน heck ออกไปมันก็ไม่ได้เป็นพล็อตที่มีประโยชน์ ดังนั้นฉันจึงดูวิวัฒนาการของระยะทางยูคลิดสัมบูรณ์ระหว่าง Uranuses ทั้งสอง:
นั่นเริ่มที่จะดูเหมือนมากขึ้น! ประมาณ 80 ปีหลังจากการเริ่มต้นการวิเคราะห์ของเรา Uranuses ทั้งสองอยู่ห่างกันเกือบ 6 ล้านกิโลเมตร!
มีขนาดใหญ่เท่าที่อาจจะฟังดูน่าตกใจเมื่อเราทำการวัดบนโลกใบนี้ นอกจากนี้มันยังไม่ได้บอกเรื่องราวทั้งหมดตามที่เราจะเห็นในช่วงเวลาหนึ่ง ต่อไปเรามาดูความแตกต่างเชิงมุมระหว่างเวกเตอร์การสังเกตจากโลกไปยัง Uranuses ทั้งสองเพื่อดูว่ามุมนั้นใหญ่แค่ไหนและถ้ามันสามารถโดดเด่นเหนือเกณฑ์การสังเกตข้อผิดพลาด:
...โว้ว! มีความแตกต่างกันมากกว่า 300 อาร์ควินาทีรวมทั้งคลื่นสั่นสะเทือนที่เกิดขึ้นทุกประเภท ดูเหมือนว่าภายในความสามารถในการสังเกตการณ์ของเวลา (แม้ว่าฉันจะไม่สามารถหาแหล่งที่เชื่อถือได้ในเรื่องนี้อย่างรวดเร็ว; ใคร?)
สำหรับการวัดที่ดีฉันยังทำพล็อตสุดท้ายที่ทิ้งดาวพฤหัสบดีและดาวเสาร์ออกจากภาพ แม้ว่าบางคนก่อกวนทฤษฎีที่ได้รับการพัฒนาขึ้นใน 17 วันและ 18 วันศตวรรษมันก็ไม่ได้รับการพัฒนาอย่างดีและผมสงสัยแม้ Le Verrier เอาดาวพฤหัสบดีเข้าสู่การพิจารณา ( แต่อีกครั้งผมอาจจะผิดโปรดถูกต้องฉันหากคุณรู้เพิ่มเติม)
ดังนั้นนี่คือพล็อตสุดท้ายที่ไม่มีดาวพฤหัสบดีและดาวเสาร์:
แม้ว่าจะมีความแตกต่างพวกเขาเป็นนาทีและที่สำคัญที่สุดไม่เกี่ยวข้องกับการค้นพบดาวเนปจูน
