การหาผลกระทบของแรงผันแปรขนาดเล็กที่มีต่อการเกิดดวงอาทิตย์ในช่วง precession

มีเทคนิคการวิเคราะห์เพื่อพิจารณาผลของการเร่งความเร็วแบบแปรผันตามอัตราของ aspides precession (ไม่ใช่การ precession แต่หมุนรอบแนว aspides) ของดาวเคราะห์ที่โคจรรอบดวงอาทิตย์ในระนาบ 2D ตามกฎแรงโน้มถ่วงของนิวตัน ?

ฉันได้จำลองเอฟเฟกต์ดังกล่าวในคอมพิวเตอร์จำลองที่มีคำสั่งซ้ำและต้องการตรวจสอบการวัดเหล่านั้น

สูตรการเร่งความเร็วตามขวางคือ

$A t = (K / c^{2}) * V r * V t * A r .$ $At = (K/c^2)*Vr*Vt * Ar.$

ที่ไหน: -

cคือความเร็วแสง

K เป็นค่าคงที่ของขนาดระหว่าง 0 และ +/- 3 เช่นว่า1 $K/(c^2) << 1$

Ar คือการเร่งความเร็วของดาวเคราะห์ที่มีต่อดวงอาทิตย์เนื่องจากอิทธิพลของแรงโน้มถ่วงของนิวตัน (Sun ) $Ar = GM/r^2$

Vr เป็นองค์ประกอบในแนวรัศมีของความเร็วของดาวเคราะห์ที่สัมพันธ์กับดวงอาทิตย์ (+ = เคลื่อนที่ห่างจากดวงอาทิตย์)

Vt เป็นองค์ประกอบตามขวางของความเร็วดาวเคราะห์ที่สัมพันธ์กับดวงอาทิตย์ (+ = ทิศทางของการเคลื่อนที่ไปข้างหน้าของดาวเคราะห์ตามเส้นทางการโคจรของมัน) Vectorially Vt = V - Vr โดยที่ V คือเวกเตอร์ความเร็วชั่วขณะทั้งหมดของดาวเคราะห์ที่สัมพันธ์กับดวงอาทิตย์

สมมติว่าดาวเคราะห์มีมวลน้อยเมื่อเทียบกับดวงอาทิตย์

ไม่มีหน่วยงานอื่นอยู่ในระบบ

การเคลื่อนไหวและการเร่งความเร็วทั้งหมดนั้น จำกัด อยู่ที่ระนาบสองมิติของวงโคจร

UPDATE

เหตุผลที่ทำให้สิ่งนี้น่าสนใจสำหรับฉันคือค่า K = +3 ในแบบจำลองคอมพิวเตอร์ของฉันสร้างค่าอัตราการหมุนที่ผิดปกติ (ไม่ใช่นิวโตเนียน) ใกล้มากภายในประมาณ 1% ของค่าที่คาดการณ์โดยสัมพัทธภาพทั่วไปและภายในไม่กี่เปอร์เซ็นต์ สิ่งที่นักดาราศาสตร์ทำการสังเกต (Le Verrier, อัพเดทโดย Newcomb)

สูตร (Einstein, 1915) สำหรับการหมุน periapse GR- ที่ได้จาก (เรเดียนต่อวงโคจร) จากhttp://en.wikipedia.org/wiki/Apsidal_precession

ω = 24. π^{3} . a^{2} . T^{- 2} . c^{- 2} . (1 - e^{2})^{- 1}

$\boldsymbol{\omega}=24.\pi^3.a^2.T^{-2}.c^{-2}.(1-e^2)^{-1}$

อัพเดท 4

ฉันยอมรับคำตอบของวอลเตอร์แล้ว เขาไม่เพียง แต่ตอบคำถามเดิม (มีเทคนิค ... หรือยัง) แต่การวิเคราะห์ของเขาก็สร้างสูตรที่ไม่เพียง แต่ยืนยันผลที่จำลองด้วยคอมพิวเตอร์ของสูตรการเร่งความเร็วตามขวาง (สำหรับ K = 3) แต่ซึ่งก็ไม่คาดคิดเช่นกัน สำหรับฉัน) นั้นเทียบเท่ากับสูตร Einstein 1915

จากบทสรุปของ Walter (ในคำตอบของ Walter ด้านล่าง): -

: (จากคำสั่งแรกของการวิเคราะห์การแปรสภาพเป็นแกน) แกนกึ่งเอกและความเยื้องศูนย์จะไม่เปลี่ยนแปลง แต่ทิศทางของการหมุนรอบตัวหมุนในระนาบของวงโคจรในอัตราที่คือความถี่โคจรและกับกึ่งแกนหลัก โปรดทราบว่า (สำหรับ ) สิ่งนี้สอดคล้องกับอัตราสัมพัทธภาพทั่วไป (GR) อัตรา precession ที่คำสั่ง (ให้โดย Einstein 1915)

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

gravity eccentric-orbit

— steveOw
แหล่งที่มา

คุณยังหาคำตอบอยู่หรือไม่?

— วอลเตอร์

@Walter ใช่ฉันเป็น ฉันได้ถามคำถามที่คล้ายกันที่physics.stackexchange.com/questions/123685/แต่ยังไม่ได้รับคำตอบที่ชัดเจน

— steveOw

@Walter ฉันยังถามmath.stackexchange.com/questions/866836/...

— steveOw

ใช่มีตัวอย่างวิธีการวิเคราะห์ (ก่อกวนทฤษฎี) ที่ถูกต้องในขีด จำกัด ของKบางทีคุณสามารถชี้แจงคำถามของคุณเล็กน้อย ทิศทางของการเร่งความเร็วตามขวางคืออะไร (ฉันเข้าใจว่า 'ขวาง' หมายถึงตั้งฉากกับความเร็วชั่วขณะ แต่ไม่ชัดเจนว่าการเร่งความเร็วอยู่ในระนาบของวงโคจรหรือแนวตั้งฉากหรือผสม)

K ≪ 1

$K\ll1$

— วอลเตอร์

มีความแตกต่างระหว่างคำถามของคุณตรงนี้กับคณิตศาสตร์ (และฟิสิกส์): ที่นี่การเร่งความเร็วตามขวางเป็นสัดส่วนกับความเร่งเรเดียลและเป็นจำนวนที่ไม่มีมิติการเร่งความเร็วเรเดียลไม่มีผลกับการเร่งตามขวางและต้องเป็น การเร่งความเร็ว (แม้ว่าคุณจะพูดถึง 'หมายเลข')

K

$K$

K

$K$

— วอลเตอร์

คุณอาจต้องการที่จะใช้ทฤษฎีการก่อกวน นี่เป็นเพียงคำตอบโดยประมาณแต่ให้การวิเคราะห์เชิงวิเคราะห์ แรงของคุณถือว่าเป็นก่อกวนเล็กน้อยในวงโคจรเป็นรูปไข่ Keplerian และสมการที่เกิดจากการเคลื่อนไหวที่มีการขยายตัวในอำนาจของKสำหรับทฤษฎีการก่อกวนเชิงเส้นจะมีคำศัพท์เชิงเส้นเป็นเท่านั้น สิ่งนี้นำไปสู่การบูรณาการการก่อกวนตามวงโคจรดั้งเดิมที่ไม่ก่อกวน การเขียนแรงของคุณเป็นเวกเตอร์การเร่งความเร็วที่รบกวนคือ กับความเร็วแนวรัศมี ( ) และ $K$ $K$

a = K \frac{G M}{r^{2} c^{2}} v_{r} v_{t}

$\boldsymbol{a} = K \frac{GM}{r^2c^2}v_r\boldsymbol{v}_t$

v_{r} = v \cdot \hat{r}

$v_r=\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}$

v \equiv \dot{r}

$\boldsymbol{v}\equiv\dot{\boldsymbol{r}}$

v_{t} = (v - \hat{r} (v \cdot \hat{r}))

$\boldsymbol{v}_t=(\boldsymbol{v}-\hat{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}))$ องค์ประกอบการหมุนของความเร็ว ( ความเร็วเต็มลบด้วยความเร็วเรเดียล) ที่นี่จุดด้านบนหมายถึงอนุพันธ์เวลาและหมวกเวกเตอร์หน่วย

ตอนนี้มันขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณหมายถึงด้วย ' ผลกระทบ ' งั้นลองคำนวณการเปลี่ยนแปลงของแกนเซมิคอลที่โคจร , eccentricity , และทิศทางของ periapse $a$ $e$

เพื่อสรุปผลลัพธ์ด้านล่าง : แกนกึ่งหลักและความเยื้องศูนย์จะไม่เปลี่ยนแปลง แต่ทิศทางของการหมุนรอบตัวหมุนในระนาบของวงโคจรในอัตรา ที่คือความถี่โคจรและกับกึ่งแกนหลัก โปรดทราบว่า (สำหรับ ) สิ่งนี้สอดคล้องกับอัตราสัมพัทธภาพทั่วไป (GR) อัตรา precessionที่คำสั่ง (ให้โดย Einstein 1915 แต่ไม่ได้กล่าวถึงในคำถามเดิม)

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

การเปลี่ยนแปลงของแกน semimajor

จากความสัมพันธ์ (กับโคจรพลัง) เรามีการเปลี่ยนแปลงของเนื่องจากภายนอก (ไม่ใช่เคปเลอเรียน) การเร่งความเร็ว การแทรก (โปรดทราบว่าด้วยเวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุม ) เราได้รับ ตั้งแต่เฉลี่ยวงโคจรสำหรับฟังก์ชั่นใด ๆ (ดูด้านล่าง) 0 $a=-GM/2E$ $E=\frac{1}{2}\boldsymbol{v}^2-GMr^{-1}$ $a$

\dot{a} = \frac{2 a^{2}}{G M} v \cdot a .

$\dot{a}=\frac{2a^2}{GM}\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}.$

a

$\boldsymbol{a}$

v \cdot v_{t} = h^{2} / r^{2}

$\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{v}_t=h^2/r^2$

h \equiv r \land v

$\boldsymbol{h}\equiv\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}$

\dot{a} = \frac{2 a^{2} K h^{2}}{c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{4}} .

$\dot{a}=\frac{2a^2Kh^2}{c^2}\frac{v_r}{r^4}.$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = 0

$\langle v_r f(r)\rangle=0$

f

$f$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

การเปลี่ยนแปลงของความผิดปกติ

จากเราพบ เรารู้แล้วว่าดังนั้นจะต้องพิจารณาเทอมแรกเท่านั้น ดังนั้น ที่ฉันใช้ข้อมูลประจำตัว และความจริง $\boldsymbol{h}^2=(1-e^2)GMa$

e \dot{e} = - \frac{h \cdot \dot{h}}{G M a} + \frac{h^{2} \dot{a}}{2 G M a^{2}} .

$e\dot{e}=-\frac{\boldsymbol{h}{\cdot}\dot{\boldsymbol{h}}}{GMa}+\frac{h^2\dot{a}}{2GMa^2}.$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

e \dot{e} = - \frac{(r \land v) \cdot (r \land a)}{G M a} = - \frac{r^{2} v \cdot a}{G M a} = - \frac{K h^{2}}{a c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{2}},

$e\dot{e}=-\frac{(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}){\cdot}(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GMa} =-\frac{r^2\;\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}}{GMa} =-\frac{Kh^2}{ac^2}\frac{v_r}{r^2},$

(a \land b) \cdot (c \land d) = a \cdot c b \cdot d - a \cdot d b \cdot c

$(\boldsymbol{a}\wedge\boldsymbol{b}){\cdot}(\boldsymbol{c}\wedge\boldsymbol{d}) =\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{d}- \boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{d}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{c}$

r \cdot a_{p} = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}_p=0$ 0 อีกครั้งและด้วยเหตุนี้ 0

⟨ v_{r} / r^{2} ⟩ = 0

$\langle v_r/r^2\rangle=0$

⟨ \dot{e} ⟩ = 0

$\langle\dot{e}\rangle=0$

เปลี่ยนทิศทางของการ periapse

เบี้ยวเวกเตอร์ คะแนน (จากศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วง) ในทิศทางของ periapse ที่มีขนาดและได้รับการอนุรักษ์ภายใต้การเคลื่อนไหว Keplerian (ตรวจสอบทั้งหมดที่เป็นการออกกำลังกาย!) จากคำจำกัดความนี้เราพบว่าการเปลี่ยนแปลงในทันทีเนื่องจากการเร่งความเร็วภายนอก $\boldsymbol{e}\equiv\boldsymbol{v}\wedge\boldsymbol{h}/GM - \hat{\boldsymbol{r}}$ $e$

\dot{e} = \frac{a \land (r \land v) + v \land (r \land a)}{G M} = \frac{2 (v \cdot a) r - (r \cdot v) a}{G M} = \frac{2 K}{c^{2}} \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{K}{c^{2}} \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r}

$\dot{\boldsymbol{e}}= \frac{\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}) +\boldsymbol{v}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GM} =\frac{2(\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a})\boldsymbol{r} -(\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{v})\boldsymbol{a}}{GM} =\frac{2K}{c^2}\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4} -\frac{K}{c^2}\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}$ ที่ฉันได้ใช้เอกลักษณ์ และความจริง 0 ค่าเฉลี่ยวงโคจรของนิพจน์เหล่านี้ได้รับการพิจารณาในภาคผนวกด้านล่าง หากเรารวมทุกอย่างเข้าด้วยกันเราจะได้ พร้อมกับ [ แก้ไขอีกครั้ง ] นี่คือการหมุนของ periapse ในระนาบของวงโคจรที่มีความถี่เชิงมุม. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง

a \land (b \land c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c

$\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{b}\wedge\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$

r \cdot a = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}=0$

\dot{e} = ω \land e

$\dot{\boldsymbol{e}}=\boldsymbol{\omega}\wedge\boldsymbol{e}$

ω = Ω K \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} (1 - e^{2})^{- 1} \hat{h} .

$\boldsymbol{\omega}=\Omega K \frac{v_c^2}{c^2} (1-e^2)^{-1}\, \hat{\boldsymbol{h}}.$

ω = | ω |

$\omega=|\boldsymbol{\omega}|$

⟨ e \dot{e} ⟩ = ⟨ e \cdot \dot{e} ⟩ = 0

$\langle e\dot{e}\rangle=\langle\boldsymbol{e}{\cdot}\dot{\boldsymbol{e}}\rangle=0$ ตามข้อตกลงกับการค้นหาก่อนหน้าของเรา

อย่าลืมว่าเนื่องจากการใช้ทฤษฎีการก่อกวนอันดับหนึ่งของเราผลลัพธ์เหล่านี้เป็นจริงในขีด จำกัดเท่านั้น อย่างไรก็ตามในทฤษฎีการก่อกวนอันดับสองอย่างไรก็ตามทั้งและ / หรืออาจเปลี่ยนแปลงได้ ในการทดลองกับตัวเลขของคุณคุณจะพบว่าการเปลี่ยนแปลงวงโคจรเฉลี่ยของและมีทั้งศูนย์หรือขนาดแข็งแกร่งกว่าเชิงเส้นที่มีการก่อกวนกว้างK $K(v_c/c)^2\to0$ $a$ $e$ $a$ $e$ $K$

ข้อจำกัดความรับผิดไม่มีการรับประกันว่าพีชคณิตถูกต้อง ตรวจสอบ!

ภาคผนวก: ค่าเฉลี่ยวงโคจร

ค่าเฉลี่ยวงโคจรของมีฟังก์ชัน abitrary (แต่สามารถรวมได้)สามารถคำนวณโดยตรงสำหรับประเภทของวงโคจรเป็นระยะใด ๆ ปล่อยเป็นแอนติเดริเวทีฟของ , คือ , จากนั้นวงโคจรเฉลี่ยคือ: ด้วยรอบระยะเวลาการโคจร $v_rf(r)$ $f(r)$ $F(r)$ $f(r)$ $F'\!=f$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v_{r} (t) f (r (t)) d t = \frac{1}{T} {[F (r (t))]}_{0}^{T} = 0

$\langle v_r f(r)\rangle = \frac{1}{T}\int_0^T v_r(t)\,f\!\left(r(t)\right) \mathrm{d}t = \frac{1}{T} \left[F\left(r(t)\right)\right]_0^T = 0$

T

$T$

สำหรับค่าเฉลี่ยวงโคจรที่ต้องการในเราจะต้องขุดให้ลึกกว่านี้สักหน่อย สำหรับวงรีรูปวงรี Keplerian ด้วยเวกเตอร์เล็ก ๆ น้อย ๆและเวกเตอร์ตั้งฉากกับและ{H} ที่นี่คือความผิดปกติที่ผิดปกติซึ่งเกี่ยวข้องกับค่าเฉลี่ยความผิดปกติผ่าน เช่นนั้น $\langle\dot{\boldsymbol{e}}\rangle$

r = a ((\cos η - e) \hat{e} + \sqrt{1 - e^{2}} \sin η \hat{k}) and r = a (1 - e \cos η)

$\boldsymbol{r}=a\left((\cos\eta-e)\hat{\boldsymbol{e}}+\sqrt{1-e^2}\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}\right)\qquad\text{and}\qquad r=a(1-e\cos\eta)$

e

$\boldsymbol{e}$

\hat{k} \equiv \hat{h} \land \hat{e}

$\hat{\boldsymbol{k}}\equiv\hat{\boldsymbol{h}}\wedge\hat{\boldsymbol{e}}$

e

$\boldsymbol{e}$

h

$\boldsymbol{h}$

η

$\eta$

ℓ

$\ell$

ℓ = η - e \sin η,

$\ell=\eta-e\sin\eta,$

d ℓ = (1 - e \cos η) d η

$\mathrm{d}\ell=(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta$ และวงโคจรเฉลี่ยกลายเป็น การหาอนุพันธ์ของเวลา (สังเกตว่าความถี่ของวงโคจร) ของเราจะพบกับความเร็วของการรอบตัว (กล้าได้กล้าเสีย) ที่ผมได้แนะนำความเร็วของวงโคจรเป็นวงกลมด้วยกล่ำแกน จากนี้เราจะพบความเร็วของรัศมี

⟨ \cdot ⟩ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot d ℓ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot (1 - e \cos η) d η .

$\langle\cdot\rangle = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;\mathrm{d}\ell = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta.$

\dot{ℓ} = Ω = \sqrt{G M / a^{3}}

$\dot{\ell}=\Omega=\sqrt{GM/a^3}$

r

$\boldsymbol{r}$

v = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} \cos η \hat{k} - \sin η \hat{e}}{1 - e \cos η}

$\boldsymbol{v}=v_c\frac{\sqrt{1-e^2}\cos\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}-\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{1-e\cos\eta}$

v_{c} \equiv Ω a = \sqrt{G M / a}

$v_c\equiv\Omega a=\sqrt{GM/a}$

a

$a$

v_{r} = \hat{r} \cdot v = v_{c} e \sin η (1 - e \cos η)^{- 1}

$v_r=\hat{\boldsymbol{r}}{\cdot}\boldsymbol{v}=v_c e\sin\eta(1-e\cos\eta)^{-1}$ และความเร็วในการหมุน

v_{t} = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} (\cos η - e) \hat{k} - (1 - e^{2}) \sin η \hat{e}}{(1 - e \cos η)^{2}} .

$\boldsymbol{v}_t = v_c\frac{\sqrt{1-e^2}(\cos\eta-e)\,\hat{\boldsymbol{k}}-(1-e^2)\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{(1-e\cos\eta)^2}.$

ด้วยสิ่งเหล่านี้เราได้ [ แก้ไขอีกครั้ง ] โดยเฉพาะส่วนประกอบในทิศทางเฉลี่ยเป็นศูนย์ ดังนั้น [ แก้ไขอีกครั้ง ]

⟨ \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e (1 - e^{2})^{3 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = \frac{Ω v_{c}^{2} e}{2 (1 - e^{2})} \hat{k} ⟨ \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e^{2} (1 - e^{2})^{1 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η (\cos η - e)}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = 0,

$\left\langle \frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}\right\rangle = \Omega v_c^2\,\hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e(1-e^2)^{3/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta =\frac{\Omega v_c^2e}{2(1-e^2)}\hat{\boldsymbol{k}} \\ \left\langle \frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle = \Omega v_c^2\, \hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e^2(1-e^2)^{1/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta(\cos\eta-e)}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta=0,$

\hat{e}

$\hat{\boldsymbol{e}}$

⟨ 2 \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = \frac{Ω v_{c}^{2} e \hat{k}}{(1 - e^{2})}

$\left\langle 2\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}-\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle =\frac{\Omega v_c^2e\,\hat{\boldsymbol{k}}}{(1-e^2)}$

— วอลเตอร์
แหล่งที่มา

ความคิดเห็นไม่ได้มีไว้สำหรับการอภิปรายเพิ่มเติม การสนทนานี้ได้รับการย้ายไปแชท

— เรียกว่า 2voyage