การหาผลกระทบของแรงผันแปรขนาดเล็กที่มีต่อการเกิดดวงอาทิตย์ในช่วง precession


14

มีเทคนิคการวิเคราะห์เพื่อพิจารณาผลของการเร่งความเร็วแบบแปรผันตามอัตราของ aspides precession (ไม่ใช่การ precession แต่หมุนรอบแนว aspides) ของดาวเคราะห์ที่โคจรรอบดวงอาทิตย์ในระนาบ 2D ตามกฎแรงโน้มถ่วงของนิวตัน ?

ฉันได้จำลองเอฟเฟกต์ดังกล่าวในคอมพิวเตอร์จำลองที่มีคำสั่งซ้ำและต้องการตรวจสอบการวัดเหล่านั้น

สูตรการเร่งความเร็วตามขวางคือ

At=(K/c2)VrVtAr.

ที่ไหน: -

cคือความเร็วแสง

K เป็นค่าคงที่ของขนาดระหว่าง 0 และ +/- 3 เช่นว่า1K/(c2)<<1

Ar คือการเร่งความเร็วของดาวเคราะห์ที่มีต่อดวงอาทิตย์เนื่องจากอิทธิพลของแรงโน้มถ่วงของนิวตัน (Sun )Ar=GM/r2

Vr เป็นองค์ประกอบในแนวรัศมีของความเร็วของดาวเคราะห์ที่สัมพันธ์กับดวงอาทิตย์ (+ = เคลื่อนที่ห่างจากดวงอาทิตย์)

Vt เป็นองค์ประกอบตามขวางของความเร็วดาวเคราะห์ที่สัมพันธ์กับดวงอาทิตย์ (+ = ทิศทางของการเคลื่อนที่ไปข้างหน้าของดาวเคราะห์ตามเส้นทางการโคจรของมัน) Vectorially Vt = V - Vr โดยที่ V คือเวกเตอร์ความเร็วชั่วขณะทั้งหมดของดาวเคราะห์ที่สัมพันธ์กับดวงอาทิตย์

สมมติว่าดาวเคราะห์มีมวลน้อยเมื่อเทียบกับดวงอาทิตย์

ไม่มีหน่วยงานอื่นอยู่ในระบบ

การเคลื่อนไหวและการเร่งความเร็วทั้งหมดนั้น จำกัด อยู่ที่ระนาบสองมิติของวงโคจร

UPDATE

เหตุผลที่ทำให้สิ่งนี้น่าสนใจสำหรับฉันคือค่า K = +3 ในแบบจำลองคอมพิวเตอร์ของฉันสร้างค่าอัตราการหมุนที่ผิดปกติ (ไม่ใช่นิวโตเนียน) ใกล้มากภายในประมาณ 1% ของค่าที่คาดการณ์โดยสัมพัทธภาพทั่วไปและภายในไม่กี่เปอร์เซ็นต์ สิ่งที่นักดาราศาสตร์ทำการสังเกต (Le Verrier, อัพเดทโดย Newcomb)

สูตร (Einstein, 1915) สำหรับการหมุน periapse GR- ที่ได้จาก (เรเดียนต่อวงโคจร) จากhttp://en.wikipedia.org/wiki/Apsidal_precession

ω=24.π3.a2.T2.c2.(1e2)1

อัพเดท 4

ฉันยอมรับคำตอบของวอลเตอร์แล้ว เขาไม่เพียง แต่ตอบคำถามเดิม (มีเทคนิค ... หรือยัง) แต่การวิเคราะห์ของเขาก็สร้างสูตรที่ไม่เพียง แต่ยืนยันผลที่จำลองด้วยคอมพิวเตอร์ของสูตรการเร่งความเร็วตามขวาง (สำหรับ K = 3) แต่ซึ่งก็ไม่คาดคิดเช่นกัน สำหรับฉัน) นั้นเทียบเท่ากับสูตร Einstein 1915

จากบทสรุปของ Walter (ในคำตอบของ Walter ด้านล่าง): -

: (จากคำสั่งแรกของการวิเคราะห์การแปรสภาพเป็นแกน) แกนกึ่งเอกและความเยื้องศูนย์จะไม่เปลี่ยนแปลง แต่ทิศทางของการหมุนรอบตัวหมุนในระนาบของวงโคจรในอัตราที่คือความถี่โคจรและกับกึ่งแกนหลัก โปรดทราบว่า (สำหรับ ) สิ่งนี้สอดคล้องกับอัตราสัมพัทธภาพทั่วไป (GR) อัตรา precession ที่คำสั่ง (ให้โดย Einstein 1915)

ω=Ωvc2c2K1e2,
Ωvc=ΩaaK=3vc2/c2

คุณยังหาคำตอบอยู่หรือไม่?
วอลเตอร์

@Walter ใช่ฉันเป็น ฉันได้ถามคำถามที่คล้ายกันที่physics.stackexchange.com/questions/123685/แต่ยังไม่ได้รับคำตอบที่ชัดเจน
steveOw

@Walter ฉันยังถามmath.stackexchange.com/questions/866836/...
steveOw

ใช่มีตัวอย่างวิธีการวิเคราะห์ (ก่อกวนทฤษฎี) ที่ถูกต้องในขีด จำกัด ของKบางทีคุณสามารถชี้แจงคำถามของคุณเล็กน้อย ทิศทางของการเร่งความเร็วตามขวางคืออะไร (ฉันเข้าใจว่า 'ขวาง' หมายถึงตั้งฉากกับความเร็วชั่วขณะ แต่ไม่ชัดเจนว่าการเร่งความเร็วอยู่ในระนาบของวงโคจรหรือแนวตั้งฉากหรือผสม) K1
วอลเตอร์

มีความแตกต่างระหว่างคำถามของคุณตรงนี้กับคณิตศาสตร์ (และฟิสิกส์): ที่นี่การเร่งความเร็วตามขวางเป็นสัดส่วนกับความเร่งเรเดียลและเป็นจำนวนที่ไม่มีมิติการเร่งความเร็วเรเดียลไม่มีผลกับการเร่งตามขวางและต้องเป็น การเร่งความเร็ว (แม้ว่าคุณจะพูดถึง 'หมายเลข') KK
วอลเตอร์

คำตอบ:


5

คุณอาจต้องการที่จะใช้ทฤษฎีการก่อกวน นี่เป็นเพียงคำตอบโดยประมาณแต่ให้การวิเคราะห์เชิงวิเคราะห์ แรงของคุณถือว่าเป็นก่อกวนเล็กน้อยในวงโคจรเป็นรูปไข่ Keplerian และสมการที่เกิดจากการเคลื่อนไหวที่มีการขยายตัวในอำนาจของKสำหรับทฤษฎีการก่อกวนเชิงเส้นจะมีคำศัพท์เชิงเส้นเป็นเท่านั้น สิ่งนี้นำไปสู่การบูรณาการการก่อกวนตามวงโคจรดั้งเดิมที่ไม่ก่อกวน การเขียนแรงของคุณเป็นเวกเตอร์การเร่งความเร็วที่รบกวนคือ กับความเร็วแนวรัศมี ( ) และ KK

a=KGMr2c2vrvt
vr=vr^vr˙vt=(vr^(vr^))องค์ประกอบการหมุนของความเร็ว ( ความเร็วเต็มลบด้วยความเร็วเรเดียล) ที่นี่จุดด้านบนหมายถึงอนุพันธ์เวลาและหมวกเวกเตอร์หน่วย

ตอนนี้มันขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณหมายถึงด้วย ' ผลกระทบ ' งั้นลองคำนวณการเปลี่ยนแปลงของแกนเซมิคอลที่โคจร , eccentricity , และทิศทางของ periapseae


เพื่อสรุปผลลัพธ์ด้านล่าง : แกนกึ่งหลักและความเยื้องศูนย์จะไม่เปลี่ยนแปลง แต่ทิศทางของการหมุนรอบตัวหมุนในระนาบของวงโคจรในอัตรา ที่คือความถี่โคจรและกับกึ่งแกนหลัก โปรดทราบว่า (สำหรับ ) สิ่งนี้สอดคล้องกับอัตราสัมพัทธภาพทั่วไป (GR) อัตรา precessionที่คำสั่ง (ให้โดย Einstein 1915 แต่ไม่ได้กล่าวถึงในคำถามเดิม)

ω=Ωvc2c2K1e2,
Ωvc=ΩaaK=3vc2/c2

การเปลี่ยนแปลงของแกน semimajor

จากความสัมพันธ์ (กับโคจรพลัง) เรามีการเปลี่ยนแปลงของเนื่องจากภายนอก (ไม่ใช่เคปเลอเรียน) การเร่งความเร็ว การแทรก (โปรดทราบว่าด้วยเวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุม ) เราได้รับ ตั้งแต่เฉลี่ยวงโคจรสำหรับฟังก์ชั่นใด ๆ (ดูด้านล่าง) 0a=GM/2EE=12v2GMr1a

a˙=2a2GMva.
avvt=h2/r2hrv
a˙=2a2Kh2c2vrr4.
vrf(r)=0fa˙=0

การเปลี่ยนแปลงของความผิดปกติ

จากเราพบ เรารู้แล้วว่าดังนั้นจะต้องพิจารณาเทอมแรกเท่านั้น ดังนั้น ที่ฉันใช้ข้อมูลประจำตัว และความจริงh2=(1e2)GMa

ee˙=hh˙GMa+h2a˙2GMa2.
a˙=0
ee˙=(rv)(ra)GMa=r2vaGMa=Kh2ac2vrr2,
(ab)(cd)=acbdadbcrap=0 0 อีกครั้งและด้วยเหตุนี้ 0vr/r2=0e˙=0

เปลี่ยนทิศทางของการ periapse

เบี้ยวเวกเตอร์ คะแนน (จากศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วง) ในทิศทางของ periapse ที่มีขนาดและได้รับการอนุรักษ์ภายใต้การเคลื่อนไหว Keplerian (ตรวจสอบทั้งหมดที่เป็นการออกกำลังกาย!) จากคำจำกัดความนี้เราพบว่าการเปลี่ยนแปลงในทันทีเนื่องจากการเร่งความเร็วภายนอก evh/GMr^e

e˙=a(rv)+v(ra)GM=2(va)r(rv)aGM=2Kc2h2vrrr4Kc2vr2vtr
ที่ฉันได้ใช้เอกลักษณ์ และความจริง 0 ค่าเฉลี่ยวงโคจรของนิพจน์เหล่านี้ได้รับการพิจารณาในภาคผนวกด้านล่าง หากเรารวมทุกอย่างเข้าด้วยกันเราจะได้ พร้อมกับ [ แก้ไขอีกครั้ง ] นี่คือการหมุนของ periapse ในระนาบของวงโคจรที่มีความถี่เชิงมุม. โดยเฉพาะอย่างยิ่งa(bc)=(ac)b(ab)cra=0e˙=ωe
ω=ΩKvc2c2(1e2)1h^.
ω=|ω|ee˙=ee˙=0ตามข้อตกลงกับการค้นหาก่อนหน้าของเรา

อย่าลืมว่าเนื่องจากการใช้ทฤษฎีการก่อกวนอันดับหนึ่งของเราผลลัพธ์เหล่านี้เป็นจริงในขีด จำกัดเท่านั้น อย่างไรก็ตามในทฤษฎีการก่อกวนอันดับสองอย่างไรก็ตามทั้งและ / หรืออาจเปลี่ยนแปลงได้ ในการทดลองกับตัวเลขของคุณคุณจะพบว่าการเปลี่ยนแปลงวงโคจรเฉลี่ยของและมีทั้งศูนย์หรือขนาดแข็งแกร่งกว่าเชิงเส้นที่มีการก่อกวนกว้างKK(vc/c)20aeaeK

ข้อจำกัดความรับผิดไม่มีการรับประกันว่าพีชคณิตถูกต้อง ตรวจสอบ!


ภาคผนวก: ค่าเฉลี่ยวงโคจร

ค่าเฉลี่ยวงโคจรของมีฟังก์ชัน abitrary (แต่สามารถรวมได้)สามารถคำนวณโดยตรงสำหรับประเภทของวงโคจรเป็นระยะใด ๆ ปล่อยเป็นแอนติเดริเวทีฟของ , คือ , จากนั้นวงโคจรเฉลี่ยคือ: ด้วยรอบระยะเวลาการโคจรvrf(r)f(r)F(r)f(r)F=f

vrf(r)=1T0Tvr(t)f(r(t))dt=1T[F(r(t))]0T=0
T

สำหรับค่าเฉลี่ยวงโคจรที่ต้องการในเราจะต้องขุดให้ลึกกว่านี้สักหน่อย สำหรับวงรีรูปวงรี Keplerian ด้วยเวกเตอร์เล็ก ๆ น้อย ๆและเวกเตอร์ตั้งฉากกับและ{H} ที่นี่คือความผิดปกติที่ผิดปกติซึ่งเกี่ยวข้องกับค่าเฉลี่ยความผิดปกติผ่าน เช่นนั้นe˙

r=a((cosηe)e^+1e2sinηk^)andr=a(1ecosη)
ek^h^e^ehη=ηesinη,d=(1ecosη)dηและวงโคจรเฉลี่ยกลายเป็น การหาอนุพันธ์ของเวลา (สังเกตว่าความถี่ของวงโคจร) ของเราจะพบกับความเร็วของการรอบตัว (กล้าได้กล้าเสีย) ที่ผมได้แนะนำความเร็วของวงโคจรเป็นวงกลมด้วยกล่ำแกน จากนี้เราจะพบความเร็วของรัศมี
=(2π)102πd=(2π)102π(1ecosη)dη.
˙=Ω=GM/a3r
v=vc1e2cosηk^sinηe^1ecosη
vcΩa=GM/aavr=r^v=vcesinη(1ecosη)1 และความเร็วในการหมุน
vt=vc1e2(cosηe)k^(1e2)sinηe^(1ecosη)2.

ด้วยสิ่งเหล่านี้เราได้ [ แก้ไขอีกครั้ง ] โดยเฉพาะส่วนประกอบในทิศทางเฉลี่ยเป็นศูนย์ ดังนั้น [ แก้ไขอีกครั้ง ]

h2vrrr4=Ωvc2k^e(1e2)3/22π02πsin2η(1ecosη)4dη=Ωvc2e2(1e2)k^vr2vtr=Ωvc2k^e2(1e2)1/22π02πsin2η(cosηe)(1ecosη)4dη=0,
e^
2h2vrrr4vr2vtr=Ωvc2ek^(1e2)

ความคิดเห็นไม่ได้มีไว้สำหรับการอภิปรายเพิ่มเติม การสนทนานี้ได้รับการย้ายไปแชท
เรียกว่า 2voyage
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.