คุณอาจต้องการที่จะใช้ทฤษฎีการก่อกวน นี่เป็นเพียงคำตอบโดยประมาณแต่ให้การวิเคราะห์เชิงวิเคราะห์ แรงของคุณถือว่าเป็นก่อกวนเล็กน้อยในวงโคจรเป็นรูปไข่ Keplerian และสมการที่เกิดจากการเคลื่อนไหวที่มีการขยายตัวในอำนาจของKสำหรับทฤษฎีการก่อกวนเชิงเส้นจะมีคำศัพท์เชิงเส้นเป็นเท่านั้น สิ่งนี้นำไปสู่การบูรณาการการก่อกวนตามวงโคจรดั้งเดิมที่ไม่ก่อกวน การเขียนแรงของคุณเป็นเวกเตอร์การเร่งความเร็วที่รบกวนคือ
กับความเร็วแนวรัศมี ( ) และ
KK
a=KGMr2c2vrvt
vr=v⋅r^v≡r˙vt=(v−r^(v⋅r^))องค์ประกอบการหมุนของความเร็ว ( ความเร็วเต็มลบด้วยความเร็วเรเดียล) ที่นี่จุดด้านบนหมายถึงอนุพันธ์เวลาและหมวกเวกเตอร์หน่วย
ตอนนี้มันขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณหมายถึงด้วย ' ผลกระทบ ' งั้นลองคำนวณการเปลี่ยนแปลงของแกนเซมิคอลที่โคจร , eccentricity , และทิศทางของ periapseae
เพื่อสรุปผลลัพธ์ด้านล่าง : แกนกึ่งหลักและความเยื้องศูนย์จะไม่เปลี่ยนแปลง แต่ทิศทางของการหมุนรอบตัวหมุนในระนาบของวงโคจรในอัตรา
ที่คือความถี่โคจรและกับกึ่งแกนหลัก โปรดทราบว่า (สำหรับ ) สิ่งนี้สอดคล้องกับอัตราสัมพัทธภาพทั่วไป (GR) อัตรา precessionที่คำสั่ง (ให้โดย Einstein 1915 แต่ไม่ได้กล่าวถึงในคำถามเดิม)
ω=Ωv2cc2K1−e2,
Ωvc=ΩaaK=3v2c/c2
การเปลี่ยนแปลงของแกน semimajor
จากความสัมพันธ์ (กับโคจรพลัง) เรามีการเปลี่ยนแปลงของเนื่องจากภายนอก (ไม่ใช่เคปเลอเรียน) การเร่งความเร็ว
การแทรก (โปรดทราบว่าด้วยเวกเตอร์โมเมนตัมเชิงมุม ) เราได้รับ
ตั้งแต่เฉลี่ยวงโคจรสำหรับฟังก์ชั่นใด ๆ (ดูด้านล่าง) 0a=−GM/2EE=12v2−GMr−1a
a˙=2a2GMv⋅a.
av⋅vt=h2/r2h≡r∧va˙=2a2Kh2c2vrr4.
⟨vrf(r)⟩=0f⟨a˙⟩=0
การเปลี่ยนแปลงของความผิดปกติ
จากเราพบ
เรารู้แล้วว่าดังนั้นจะต้องพิจารณาเทอมแรกเท่านั้น ดังนั้น
ที่ฉันใช้ข้อมูลประจำตัว
และความจริงh2=(1−e2)GMa
ee˙=−h⋅h˙GMa+h2a˙2GMa2.
⟨a˙⟩=0ee˙=−(r∧v)⋅(r∧a)GMa=−r2v⋅aGMa=−Kh2ac2vrr2,
(a∧b)⋅(c∧d)=a⋅cb⋅d−a⋅db⋅cr⋅ap=0 0 อีกครั้งและด้วยเหตุนี้ 0
⟨vr/r2⟩=0⟨e˙⟩=0
เปลี่ยนทิศทางของการ periapse
เบี้ยวเวกเตอร์
คะแนน (จากศูนย์กลางของแรงโน้มถ่วง) ในทิศทางของ periapse ที่มีขนาดและได้รับการอนุรักษ์ภายใต้การเคลื่อนไหว Keplerian (ตรวจสอบทั้งหมดที่เป็นการออกกำลังกาย!) จากคำจำกัดความนี้เราพบว่าการเปลี่ยนแปลงในทันทีเนื่องจากการเร่งความเร็วภายนอก
e≡v∧h/GM−r^e
e˙=a∧(r∧v)+v∧(r∧a)GM=2(v⋅a)r−(r⋅v)aGM=2Kc2h2vrrr4−Kc2v2rvtr
ที่ฉันได้ใช้เอกลักษณ์
และความจริง 0 ค่าเฉลี่ยวงโคจรของนิพจน์เหล่านี้ได้รับการพิจารณาในภาคผนวกด้านล่าง หากเรารวมทุกอย่างเข้าด้วยกันเราจะได้
พร้อมกับ [
แก้ไขอีกครั้ง ]
นี่คือการหมุนของ periapse ในระนาบของวงโคจรที่มีความถี่เชิงมุม. โดยเฉพาะอย่างยิ่ง
a∧(b∧c)=(a⋅c)b−(a⋅b)cr⋅a=0e˙=ω∧eω=ΩKv2cc2(1−e2)−1h^.
ω=|ω|⟨ee˙⟩=⟨e⋅e˙⟩=0ตามข้อตกลงกับการค้นหาก่อนหน้าของเรา
อย่าลืมว่าเนื่องจากการใช้ทฤษฎีการก่อกวนอันดับหนึ่งของเราผลลัพธ์เหล่านี้เป็นจริงในขีด จำกัดเท่านั้น อย่างไรก็ตามในทฤษฎีการก่อกวนอันดับสองอย่างไรก็ตามทั้งและ / หรืออาจเปลี่ยนแปลงได้ ในการทดลองกับตัวเลขของคุณคุณจะพบว่าการเปลี่ยนแปลงวงโคจรเฉลี่ยของและมีทั้งศูนย์หรือขนาดแข็งแกร่งกว่าเชิงเส้นที่มีการก่อกวนกว้างKK(vc/c)2→0aeaeK
ข้อจำกัดความรับผิดไม่มีการรับประกันว่าพีชคณิตถูกต้อง ตรวจสอบ!
ภาคผนวก: ค่าเฉลี่ยวงโคจร
ค่าเฉลี่ยวงโคจรของมีฟังก์ชัน abitrary (แต่สามารถรวมได้)สามารถคำนวณโดยตรงสำหรับประเภทของวงโคจรเป็นระยะใด ๆ ปล่อยเป็นแอนติเดริเวทีฟของ , คือ , จากนั้นวงโคจรเฉลี่ยคือ:
ด้วยรอบระยะเวลาการโคจรvrf(r)f(r)F(r)f(r)F′=f
⟨vrf(r)⟩=1T∫T0vr(t)f(r(t))dt=1T[F(r(t))]T0=0
T
สำหรับค่าเฉลี่ยวงโคจรที่ต้องการในเราจะต้องขุดให้ลึกกว่านี้สักหน่อย สำหรับวงรีรูปวงรี Keplerian
ด้วยเวกเตอร์เล็ก ๆ น้อย ๆและเวกเตอร์ตั้งฉากกับและ{H} ที่นี่คือความผิดปกติที่ผิดปกติซึ่งเกี่ยวข้องกับค่าเฉลี่ยความผิดปกติผ่าน
เช่นนั้น⟨e˙⟩
r=a((cosη−e)e^+1−e2−−−−−√sinηk^)andr=a(1−ecosη)
ek^≡h^∧e^ehηℓℓ=η−esinη,dℓ=(1−ecosη)dηและวงโคจรเฉลี่ยกลายเป็น
การหาอนุพันธ์ของเวลา (สังเกตว่าความถี่ของวงโคจร) ของเราจะพบกับความเร็วของการรอบตัว (กล้าได้กล้าเสีย)
ที่ผมได้แนะนำความเร็วของวงโคจรเป็นวงกลมด้วยกล่ำแกน จากนี้เราจะพบความเร็วของรัศมี
⟨⋅⟩=(2π)−1∫2π0⋅dℓ=(2π)−1∫2π0⋅(1−ecosη)dη.
ℓ˙=Ω=GM/a3−−−−−−√rv=vc1−e2−−−−−√cosηk^−sinηe^1−ecosη
vc≡Ωa=GM/a−−−−−−√avr=r^⋅v=vcesinη(1−ecosη)−1
และความเร็วในการหมุน
vt=vc1−e2−−−−−√(cosη−e)k^−(1−e2)sinηe^(1−ecosη)2.
ด้วยสิ่งเหล่านี้เราได้ [ แก้ไขอีกครั้ง ]
โดยเฉพาะส่วนประกอบในทิศทางเฉลี่ยเป็นศูนย์ ดังนั้น [ แก้ไขอีกครั้ง ]
⟨h2vrrr4⟩=Ωv2ck^e(1−e2)3/22π∫2π0sin2η(1−ecosη)4dη=Ωv2ce2(1−e2)k^⟨v2rvtr⟩=Ωv2ck^e2(1−e2)1/22π∫2π0sin2η(cosη−e)(1−ecosη)4dη=0,
e^⟨2h2vrrr4−v2rvtr⟩=Ωv2cek^(1−e2)