หมากรุกเป็นเกมที่ได้รับการแก้ไขหรือไม่?

หมากรุกเป็นเกมผลรวมของการตัดสินใจที่ จำกัด จำนวนของการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ที่จุดใด ๆ และจำนวนสถานะที่เป็นไปได้ของกระดานทั้งหมดนั้นแน่นอน

Tic-Tac-Toe เป็นหนึ่งในตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของเกมที่แก้ไขแล้ว ฉันจำไม่ได้ว่ากี่ปีที่ผ่านมานับตั้งแต่ฉันแพ้การแข่งขัน Tic-Tac-Toe ครั้งสุดท้าย มี "กลยุทธ์ที่เหมาะสมที่สุด" สำหรับหมากรุกหรือไม่?

มีกลยุทธ์ใดที่จะรับประกันได้ว่าผู้เล่นจะได้รับชัยชนะหรือที่แย่ที่สุดเสมอ?

หากมีโปรดหลั่งไฟบางอย่างกับมัน

เนื่องจากการสังเกตที่คุณทำต้นไม้แห่งเส้นทางของเกมที่เป็นไปได้สำหรับหมากรุกนั้นมี จำกัด หมากรุกนั้นแน่นอนว่าสามารถแก้ไขได้ในลักษณะเดียวกับที่โอเอกซ์ ดังนั้นกลยุทธ์ที่ดีที่สุดสำหรับหมากรุกจึงมีอยู่; อย่างไรก็ตามไม่มีใครมีความคิดว่าพวกเขาคืออะไร ในขณะที่ tic-tac-toe ได้รับการแก้ไขต้องขอบคุณพื้นที่ที่ค่อนข้างเล็กของเกมที่เป็นไปได้หมากรุกไม่ได้ถูกแก้ไขเพราะพื้นที่ของเกมที่เป็นไปได้นั้นมีมากกว่าที่จะจัดการกับเทคโนโลยีการประมวลผลในปัจจุบัน

ดังที่ได้กล่าวไว้ในคำตอบอื่น ๆ โต๊ะเกม endgame แสดงการเล่นที่ดีที่สุดสำหรับทุกตำแหน่งที่มีจำนวนชิ้น จำกัด ดังนั้นในการตั้งค่าเหล่านั้นเรามีวิธีแก้ปัญหาที่ชัดเจนและเป็นรูปธรรมเช่นเดียวกับสำหรับโอเอกซ์ แต่มันเป็นสิ่งสำคัญที่จะทราบว่าในขณะที่หนึ่งสามารถสอนได้อย่างง่ายดาย / จำกลยุทธ์ที่ดีที่สุดสำหรับโอเอกซ์อย่างรวดเร็วและกลายเป็นไม่มีใครช่วยเหลือผู้เล่นโอเอกซ์ที่สมบูรณ์แบบปริมาณของที่อยู่เบื้องหลังข้อมูลที่พูด, 7 ชิ้น Lomonosov tablebases , คือ 140 เทราไบต์ ไม่มีคำอธิบายที่กระชับเกี่ยวกับกลยุทธ์ 7 คนที่ดีที่สุดที่เราสามารถเรียนรู้ / จดจำแล้วเล่นอย่างสมบูรณ์แบบโดยไม่ต้องให้ความช่วยเหลือ

เกมหมากรุกอาจมีจำนวน จำกัด แต่จำนวนเกมที่เป็นไปได้นั้นเกินจินตนาการ

ไม่มีลำดับการเคลื่อนที่ที่เป็นที่รู้จักซึ่งรับประกันได้ว่าจะชนะหรือเสมอ

หมากรุกยังไม่ได้รับการแก้ไขและมันจะไม่เกิดขึ้นในอีกสิบปีข้างหน้า (ยกเว้นความก้าวหน้าในการคำนวณแบบไร้สาระที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณควอนตัม

คุณสามารถคำนวณในหัวของคุณสำหรับการย้ายครั้งแรก: สีขาวมี 20 ตัวเลือกและสีดำมี 20 คำตอบ; เรามีตำแหน่งที่เป็นไปได้ 400 ตำแหน่งแล้ว จำนวนนี้เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วอย่างน่าขันจำนวนตำแหน่งที่เป็นไปได้สำหรับเกมย้าย 80 นั้นมีขนาดใหญ่มากอย่างเหลือเชื่อ

นอกจากนี้หากหมากรุกได้รับการแก้ไขการแข่งขันหมากรุกและการประชันจะเป็นแบบฝึกหัดในการท่องจำ (แก้ไข: นี่ค่อนข้างคุยโวให้ดูความคิดเห็น)

ปัจจุบันหมากรุกได้รับการแก้ไขสำหรับตำแหน่งใด ๆ ด้วย หกเจ็ดชิ้น (รวมถึงกษัตริย์) ประมาณการล่าสุดที่ฉันได้ยิน7 คน8-Men tablebases เป็นหนึ่งในช่วงปี 2020 และแน่นอนว่าเวลาที่จำเป็นสำหรับชิ้นส่วนเพิ่มเติมจะเพิ่มขึ้นแบบทวีคูณ ฉันไม่ได้คาดหวังว่าจะเห็นหมากรุกที่ไหนก็ได้ใกล้แก้ปัญหาในชีวิตของฉัน (อีกครั้ง, ยกเว้นความก้าวหน้าการคำนวณที่ยอดเยี่ยมอย่างแท้จริง) (เครดิตสำหรับการแก้ไขโทนี่เอ็นนิส)

อีกประเด็นหนึ่งคือเกมหมากรุกมีขอบเขต แต่มีเพียง 75 กฎการย้าย (เกมจะถูกวาดหากไม่มีการจับหรือจำนำสำหรับการเคลื่อนไหว 75 ครั้ง) ก่อนหน้านี้กฎนี้มีการจับโดยการทำซ้ำสามครั้งติดต่อกันในตำแหน่งที่เรียกว่า 'กฎเยอรมัน' ได้รับอนุญาตให้มีจำนวนเกมที่ไม่สิ้นสุดดังที่ Max Euweแสดง

เรารู้ว่ามีกลยุทธ์ที่ดีที่สุดมาตั้งแต่เมื่อในเกมมีจำนวนผู้เล่น จำกัด และจำนวน จำกัด ของกลยุทธ์สำหรับผู้เล่นแต่ละคนสามารถแสดงให้เห็นว่า Nash สมดุลอยู่ (ดังนั้นคุณกำลังเล่นการตอบสนองที่ดีที่สุดของผู้เล่นคนอื่น การตอบสนองและ viceversa)

ประเด็นก็คือแม้ว่าเราจะรู้ว่ามีกลยุทธ์ดังกล่าวอยู่ แต่เราก็ไม่ทราบแน่ชัดว่ากลยุทธ์ใดเป็นเพราะข้อ จำกัด ในการคำนวณ

นี่คือคำตอบที่ฉันเดิมเขียนเมื่อ/cstheory/6563/what-is-the-computational-complexity-of-solving-chess/38102#38102

ผู้เล่นหมากรุกที่สมบูรณ์แบบจะบังคับให้ชนะเสมอเมื่อพวกเขาสามารถบังคับให้ชนะและบังคับให้เสมอเมื่อพวกเขาสามารถบังคับให้เสมอ แน่นอน ณ จุดใด ๆ หากพวกเขาสามารถบังคับให้ชนะพวกเขายังสามารถบังคับให้เสมอ นอกจากนี้เมื่อผู้เล่นคนใดคนหนึ่งไม่สามารถบังคับให้ชนะผู้เล่นอื่นสามารถบังคับให้เสมอ หมากรุกที่ไม่มีกฎการย้าย 50 ครั้งหรือกฎการทำซ้ำ 3 ครั้งอาจไม่ยากอย่างที่คุณคิด สามารถแสดงให้เห็นได้ว่าการเพิ่มกฎการเล่นซ้ำ 3 ครั้งไม่ได้สร้างความแตกต่างว่าผู้เล่นสามารถบังคับให้ชนะหรือเสมอ จำนวนวิธีที่เป็นไปได้ที่เกมจะสามารถดำเนินต่อไปได้หลังจากที่มีการเลื่อน n ครั้งเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ ด้วย n จำนวนสถานะที่สามารถเกิดขึ้นได้หลังจากการย้าย n ไปในทางตรงกันข้ามไม่ได้เพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ เนื่องจากมันไม่สามารถเกินจำนวนสถานะที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่อาจเกิดขึ้นในเกมที่ถูกกฎหมาย ตามที่https://en.wikipedia.org/wiki/Game_complexityมีประมาณ 10 ^ 47 รัฐที่สามารถเกิดขึ้นได้ในเกมหมากรุกทางกฎหมาย

หมากรุกสามารถแก้ไขได้ดังนี้ใช้ชุดของรัฐที่เราสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีรัฐทั้งหมดที่สามารถเกิดขึ้นได้ในเกมหมากรุกตามกฎหมายโดยไม่มีกฎการทำซ้ำ 3 เท่าหรือ 50 กฎการย้าย สองรัฐที่แตกต่างกันอาจมีการจัดเรียงชิ้นหมากรุกเหมือนกันและแตกต่างกันไปโดยที่มันเป็นอยู่ไม่ว่าคุณจะมีสิทธิ์ในการยึดครองโดยทางเดินและไม่ว่ากษัตริย์หรือนักโกงที่มีสิทธิ์จะปราสาทอีกต่อไป ถัดไปใช้สถานะทั้งหมดที่จำนวนการเคลื่อนไหวขั้นต่ำสีขาวสามารถบังคับให้ชนะได้ใน 1 ซึ่งจะต้องเกิดขึ้นในเทิร์นของไวท์ ถัดไปใช้ทุกรัฐที่จำนวนขั้นต่ำของการเคลื่อนไหวสีขาวสามารถบังคับให้ชนะเป็น 2 ซึ่งหมายความว่ามันเป็นเทิร์นของสีดำและไม่ว่าพวกเขาสามารถทำอะไรได้สีขาวก็สามารถบังคับให้ชนะใน 1 การเคลื่อนไหว ถัดไปใช้สถานะทั้งหมดที่จำนวนการเคลื่อนไหวขั้นต่ำสีขาวสามารถบังคับให้ชนะได้คือ 3 ซึ่งหมายความว่าสีขาวมีการเคลื่อนไหวที่จะให้พวกเขาชนะอย่างถูกต้องใน 2 การเคลื่อนไหว แต่ไม่สามารถบังคับให้ชนะในการเคลื่อนไหว 1 ครั้ง ถัดไปใช้ทุกรัฐที่จำนวนขั้นต่ำของการเคลื่อนไหวสีขาวสามารถบังคับให้ชนะใน 4 ซึ่งหมายความว่าเป็นตาดำและไม่ว่าพวกเขาจะทำอะไรสีขาวสามารถบังคับให้ชนะใน 3 การเคลื่อนไหว แต่สีขาวไม่สามารถบังคับให้ชนะใน 2 ย้าย เมื่อเราไปถึงหมายเลขดังกล่าวที่ไม่มีรัฐใดที่จำนวนขั้นต่ำของการเคลื่อนไหวสีขาวสามารถบังคับให้ชนะคือหมายเลขนั้นเราได้พบทุกรัฐที่สีขาวสามารถบังคับให้ชนะได้เราสามารถค้นหาสถานะทั้งหมดที่ สีดำสามารถบังคับให้ชนะในลักษณะที่คล้ายกัน สถานะที่เหลือทั้งหมดเป็นสถานะที่ผู้เล่นทั้งสองสามารถบังคับให้เสมอกัน ซึ่งหมายความว่าเป็นตาของดำและไม่ว่าพวกเขาจะทำอะไรสีขาวสามารถบังคับให้ชนะใน 3 การเคลื่อนไหว แต่ในขณะนี้สีขาวไม่สามารถบังคับให้ชนะในการเคลื่อนไหว 2 ครั้ง เมื่อเราไปถึงหมายเลขดังกล่าวที่ไม่มีรัฐใดที่จำนวนขั้นต่ำของการเคลื่อนไหวสีขาวสามารถบังคับให้ชนะคือหมายเลขนั้นเราได้พบทุกรัฐที่สีขาวสามารถบังคับให้ชนะได้เราสามารถค้นหาสถานะทั้งหมดที่ สีดำสามารถบังคับให้ชนะในลักษณะที่คล้ายกัน สถานะที่เหลือทั้งหมดเป็นสถานะที่ผู้เล่นทั้งสองสามารถบังคับให้เสมอกัน ซึ่งหมายความว่าเป็นตาของดำและไม่ว่าพวกเขาจะทำอะไรสีขาวสามารถบังคับให้ชนะใน 3 การเคลื่อนไหว แต่ในขณะนี้สีขาวไม่สามารถบังคับให้ชนะในการเคลื่อนไหว 2 ครั้ง เมื่อเราไปถึงหมายเลขดังกล่าวที่ไม่มีรัฐใดที่จำนวนขั้นต่ำของการเคลื่อนไหวสีขาวสามารถบังคับให้ชนะคือหมายเลขนั้นเราได้พบทุกรัฐที่สีขาวสามารถบังคับให้ชนะได้เราสามารถค้นหาสถานะทั้งหมดที่ สีดำสามารถบังคับให้ชนะในลักษณะที่คล้ายกัน สถานะที่เหลือทั้งหมดเป็นสถานะที่ผู้เล่นทั้งสองสามารถบังคับให้เสมอกัน เราสามารถหาสถานะทั้งหมดที่คนผิวดำสามารถบังคับให้ชนะด้วยวิธีเดียวกัน สถานะที่เหลือทั้งหมดเป็นสถานะที่ผู้เล่นทั้งสองสามารถบังคับให้เสมอกัน เราสามารถหาสถานะทั้งหมดที่คนผิวดำสามารถบังคับให้ชนะด้วยวิธีเดียวกัน สถานะที่เหลือทั้งหมดเป็นสถานะที่ผู้เล่นทั้งสองสามารถบังคับให้เสมอกัน

เนื่องจากมีสถานะประมาณ 10 ^ 47 ที่สามารถเกิดขึ้นได้ในเกมหมากรุกตามกฎหมายมันต้องใช้เวลามากกว่าชีวิตของเราในการใช้กำลังดุร้ายเพื่อสร้างคอมพิวเตอร์ที่จะเล่นหมากรุกได้อย่างสมบูรณ์แบบไม่ว่าฝ่ายตรงข้ามจะเล่นอย่างไร ฉันเชื่อว่ามันไม่ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าไม่มีอัลกอริธึมที่สั้นกว่ามากที่สามารถบอกคุณได้ว่าจะเล่นได้อย่างสมบูรณ์แบบไม่ว่าฝ่ายตรงข้ามของคุณจะเล่นอย่างไร ตัวอย่างเช่นอาจมีเพียงไม่กี่รัฐที่เกิดขึ้นในเกมที่ถูกกฎหมายสามารถเกิดขึ้นได้ในเกมที่คุณเล่นในแบบที่อัลกอริทึมบอกให้คุณเล่นเพื่อให้อัลกอริทึมทำงานแม้ว่ามันจะบอกคุณว่าจะเล่นได้อย่างสมบูรณ์แบบในทุกรัฐ สามารถเกิดขึ้นได้เมื่อคุณทำตามอัลกอริทึมนั้นมาตั้งแต่ต้นเกม แต่ไม่ได้อยู่ในทุกรัฐที่อาจเกิดขึ้นในเกมที่ถูกกฎหมาย บางทีนอกจากนั้น อัลกอริธึมนั้นเป็นอัลกอริธึมที่ซับซ้อนที่แต่ละรัฐสามารถเกิดขึ้นได้ในเกมที่คุณตามมาเสมอใช้ขั้นตอนน้อยกว่าในการคำนวณการเคลื่อนไหวที่เหมาะสมกว่าจำนวนสถานะที่สามารถเกิดขึ้นได้ในเกมที่คุณตามมาเสมอ ตามที่http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/sres.2171/abstractห้องปฏิบัติการเรียนรู้เชิงวิวัฒนาการกำลังวางแผนที่จะแก้ปัญหาที่ซับซ้อน บางทีสักวันพวกเขาจะหากลยุทธ์ที่ซับซ้อนสำหรับเล่นหมากรุกอย่างสมบูรณ์แบบ บางทีแม้ว่าอัลกอริทึมที่สั้นมากและใช้เวลาไม่กี่ขั้นตอนในการคำนวณการเคลื่อนไหวที่เหมาะสมที่สุดในสถานะใด ๆ ที่อาจเกิดขึ้นในเกมที่คุณทำตามอัลกอริทึมนั้นไม่มีอยู่ แต่ก็ยังไม่หยุดมนุษย์จากความสามารถ เพื่อเรียนรู้วิธีการเล่นหมากรุกอย่างสมบูรณ์แบบ บางทีมนุษย์อาจจะคิดออกมาอย่างต่อเนื่องและเก็บสิ่งที่พวกเขาคิดออกมาคิดอีกหลายอย่างจากสิ่งที่พวกเขาเคยคิดและเก็บไว้ด้วยวิธีการที่ซับซ้อน

มันอาจจะง่ายกว่าสำหรับผู้เล่นที่จะมีกลยุทธ์ที่ทำให้มั่นใจได้ว่าหากคู่ต่อสู้ของพวกเขาเล่นได้อย่างสมบูรณ์แบบพวกเขาจะเล่นได้อย่างสมบูรณ์แบบ ฉันสงสัยว่าผู้เล่นทั้งสองจะต้องถูกจั่วตั้งแต่ต้นเกม มันอาจจะง่ายกว่าที่จะมีกลยุทธ์ที่บังคับให้เสมอกว่ากลยุทธ์ที่รับประกันได้ว่าถ้าฝ่ายตรงข้ามของคุณให้การชนะแบบบังคับคุณจะไม่แพ้ กลยุทธ์ที่บังคับให้เสมอคือกลยุทธ์ที่ทำให้แน่ใจว่าถ้าคู่ต่อสู้ของคุณเล่นได้อย่างสมบูรณ์แบบคุณจะเล่นได้อย่างสมบูรณ์แบบ หากพวกเขาเล่นได้อย่างสมบูรณ์แบบพวกเขาจะไม่ให้คุณชนะแบบบังคับในตอนแรกดังนั้นคุณจะไม่แพ้การชนะแบบบังคับหลังจากพวกเขาให้คุณ

ในปี 1949 นักวิทยาศาสตร์สารสนเทศ Shannon ได้ประมาณการว่าจะใช้เวลา 10 ^ 90 ปีในการแก้ปัญหาหมากรุกด้วยคอมพิวเตอร์ 1 MHz เทคโนโลยีพลังงานและการจัดเก็บของคอมพิวเตอร์ได้รับการปรับปรุงอย่างมากตั้งแต่นั้นมา (กฎหมายของมัวร์) หรือที่ความจุพลังงานและความจุของคอมพิวเตอร์เพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าทุกปี เมื่อคำนึงถึงมันจะใช้เวลาประมาณ 300 ปีในการสร้างคอมพิวเตอร์ซึ่งจะมีพลังมากกว่าเครื่อง 1 MHz ของ 1 แชนนอนที่ 10 ^ 90 เท่า ไม่มีข้อ จำกัด ในการพัฒนาคอมพิวเตอร์ ตัวอย่างเช่น 4004 ของ Intel นั้นทำขึ้นด้วยเทคโนโลยีโฟโตไมโครมิเตอร์ 10 ไมโครเมตรในขณะที่ i9s ปัจจุบันทำด้วยเทคโนโลยี 14 นาโนเมตร เมื่อแกนทั้งสองมีพลังมากขึ้นและเล็กลงมันเป็นเรื่องง่ายที่แกนกลางจะมีขนาดเท่ากันมากกว่าครึ่งปีก่อนหน้าในฐานะบรรพบุรุษที่ทรงพลัง ใน photolithography เราเพิ่งเข้าหมวดหมู่ความยาวคลื่นอัลตราไวโอเลตที่ต่ำกว่า 10 นาโนเมตร แต่มีความยาวคลื่นเช่นรังสีแกมมาซึ่งความยาวคลื่น 1 picometer (นั่นคือน้อยกว่า 10,000) อะตอมไฮโดรเจนมีขนาด 0,1 นาโนเมตร แต่ควาร์กนั้นมีขนาดเล็กกว่า 1 picometer ประมาณ 200 เท่า (นั่นคือ 0.43 x 10 ^ −15 มม.,https://www.theguardian.com/science/life-and-physics/2016/apr/07/how-big-is-a-quark )

ไม่

เราไม่สามารถบอกได้ว่าใครควรชนะหรือควรจะเสมอ

มีวิธีการรวมกันของการย้ายมากเกินไปที่จะพยายามคำนวณคำตอบด้วยเทคโนโลยีปัจจุบันโดยการลองการเคลื่อนไหวที่เป็นไปได้ทั้งหมดและดูผลลัพธ์

จากนั้นเราจะต้องตัดให้ถอยหลังเพื่อดูว่าคำตอบจะเป็นอย่างไรและถ้ามันไม่ซ้ำกัน

และถ้าเราทำได้เกมจะไม่สนุกอีกต่อไป

ในตอนต้นของศตวรรษที่ 20 ความเชื่อที่ว่าหมากรุกจะได้รับการแก้ไขในไม่ช้า (เรียกว่า "การดึงความตายของหมากรุก") เป็นที่นิยม แชมป์โลกเจ - อาร์ Capablanca มีแนวโน้มที่จะเชื่อเช่นนั้น เกมการแข่งขัน Capablanca-Alekhine (เกือบทั้งหมดในกลเม็ดของ Queen ปฏิเสธ) ยังยืนยันความเชื่อนี้ ดูตัวอย่างเช่น: https://en.wikipedia.org/wiki/Capablanca_chess

การปฏิวัติของช่องเปิดที่ทันสมัย ​​(King's Indian ฯลฯ ) จากนั้นการปฏิวัติปัญญาประดิษฐ์ให้พิสูจน์ได้ง่ายว่าการแก้หมากรุกไม่ใช่เรื่องง่าย อันที่จริงวันนี้เกมปรมาจารย์จะถูกวิเคราะห์โดยใช้โปรแกรมและสิ่งนี้เผยให้เห็นเส้นที่ผู้เล่น (แม้แต่คนที่ดีที่สุด) คุมตัวระหว่างเกม

สิ่งนี้ถูกกล่าวว่า "พลังการคำนวณสัมบูรณ์" สามารถแก้ปัญหาหมากรุกในแง่ของทฤษฎีการคำนวณได้

จิตใจของมนุษย์นั้นซับซ้อนกว่าเกมโอเอกซ์มาก ดังนั้นคุณสามารถหากลยุทธ์ที่ดีสำหรับการเล่นเกมดังกล่าว

หมากรุกค่อนข้างแตกต่างกัน หมากรุกเป็นเกมฮิวริสติก

คุณไม่สามารถนำทหารไปรับผิดชอบเหนือนายพล จิตใจของนายพลมีความซับซ้อนมากกว่าจิตใจของทหารในแง่ของการทหาร มันเป็นเพียงการเปรียบเทียบ

ความซับซ้อนนั่นคือสิ่งที่สำคัญ

คุณต้องมีความซับซ้อนมากกว่าหมากรุก มันเป็นไปไม่ได้ แต่คุณต้องลองคุณต้องลอง คุณสามารถทำได้ในหลายระดับ มีหลายปัจจัยที่เกี่ยวข้อง ความพยายามมีความสำคัญ แต่พวกเราหลายคนพยายามอย่างมากกับผลลัพธ์ที่ไม่ดี แต่มีคนที่พยายามน้อยและบรรลุผลลัพธ์ที่ยอดเยี่ยม

ธรรมชาตินั้นไม่ยุติธรรม

แต่ถ้าคุณเรียนรู้หมากรุกตอนอายุห้าขวบโอกาสของคุณจะดีกว่าถ้าคุณเรียนรู้เกมตอนอายุสิบขวบ

แน่นอนว่าถ้าคุณเคยอยู่หน้าจอทีวีมาหลายชั่วโมงเมื่อตอนเป็นเด็กคุณเสียสติปัญญา

สุดท้าย แต่ไม่ท้ายสุดเสียใจเกี่ยวกับภาษาอังกฤษของฉัน

2,000-3,000 elos ต่อไปจนกว่าจะเล่นได้อย่างสมบูรณ์แบบดังนั้นเครื่องยนต์อันดับต้น ๆ ในปัจจุบันจึงสามารถเพิ่มความแข็งแกร่งได้อย่างน้อยสองเท่า หมากรุกอยู่ใกล้กับวัยทารกมากกว่าระยะหลัง ตัวอย่างเช่นเครื่องมืออันดับต้น ๆ ในปัจจุบันจะเดาได้ว่าหนึ่งในห้าของการเปิดช่องที่ดีที่สุด ยังคงเป็นทางยาวไป