คำนิยาม

คุณสามารถข้ามส่วนนี้ถ้าคุณรู้อยู่แล้วว่าคำจำกัดความของกลุ่ม , กลุ่มแน่นอนและกลุ่มย่อย

กลุ่ม

พีชคณิตนามธรรมในกลุ่มคือ tuple (G, ∗)โดยที่Gเป็นเซตและ∗เป็นฟังก์ชั่นG × G → Gดังต่อไปนี้:

• การปิด: สำหรับทั้งหมดx, yในG , x ∗ yก็เป็นG (โดยนัยจากข้อเท็จจริงที่ว่า∗เป็นฟังก์ชั่นG × G → G )

• associativity: สำหรับทุกx, y, zในG , (x * y) * Z = x * (y * z)

• บัตรประจำตัว: มีอยู่องค์ประกอบอีในGเช่นว่าทุกxในG , x * E = x = x

• ผกผัน: สำหรับแต่ละxในGจะมีองค์ประกอบyในGเช่นนั้นที่x ∗ y = e = y ∗ xโดยที่eคือองค์ประกอบตัวตนที่กล่าวถึงในสัญลักษณ์ก่อนหน้า

กลุ่ม จำกัด

กลุ่มแน่นอนเป็นกลุ่ม(G, *)ที่Gมี จำกัด คือมีองค์ประกอบหลายขีด

กลุ่มย่อย

กลุ่มย่อย (H, *)ของกลุ่ม(G, *)เป็นเช่นนั้นHเป็นส่วนหนึ่งของG (ไม่จำเป็นต้องเป็นชุดย่อยที่เหมาะสม) และ(H, *)นอกจากนี้ยังเป็นกลุ่ม (เช่นความพึงพอใจ 4 เกณฑ์ข้างต้น)

ตัวอย่าง

พิจารณากลุ่ม dihedral D ₃ (G, ∗)โดยที่G = {1, A, B, C, D, E}และ∗ถูกกำหนดไว้ด้านล่าง (ตารางแบบนี้เรียกว่าตาราง Cayley ):

∗ | 1 ABCDE
- + ----------------------
1 | 1 ABCDE
A | AB 1 ธ.ค.
B | B 1 AECD
C | CED 1 BA
D | DCEA 1 B
E | EDCBA 1

ในกลุ่มนี้ตัวตนคือ1 ยิ่งไปกว่านั้นAและBเป็นผกผันของกันและกันขณะที่1 , C , DและEเป็นผู้ผกผันของตัวเองตามลำดับ (ค่าผกผันของ1คือ1 , ค่าผกผันของCคือC , อินเวอร์สของDคือDและ การผกผันของEคือE )

ตอนนี้เราสามารถยืนยันได้ว่า(H, *)ที่H = {1, A, B}เป็นกลุ่มย่อยของ(G, *) สำหรับการปิดโปรดดูตารางด้านล่าง:

∗ | 1 AB
- + ----------
1 | 1 AB
A | AB 1
B | B 1 A

ที่ทุกคู่ที่เป็นไปได้ขององค์ประกอบในHภายใต้*ให้สมาชิกในH

associativity ไม่จำเป็นต้องมีการตรวจสอบเนื่องจากองค์ประกอบของHเป็นองค์ประกอบของG

รหัสประจำตัวคือ1 สิ่งนี้จะต้องเหมือนกันกับข้อมูลประจำตัวของกลุ่ม นอกจากนี้ตัวตนในกลุ่มจะต้องไม่ซ้ำกัน (คุณสามารถพิสูจน์ได้ไหม)

สำหรับผกผันตรวจสอบที่ผกผันของเป็นBซึ่งเป็นสมาชิกของH ค่าผกผันของBคือAซึ่งเป็นสมาชิกของHด้วยเช่นกัน ค่าผกผันของ1ยังคงเป็นของตัวเองซึ่งไม่จำเป็นต้องตรวจสอบ

งาน

ลักษณะ

ให้กลุ่ม จำกัด(G, ∗) , หาจำนวนกลุ่มย่อย

อินพุต

สำหรับกลุ่ม(G, *)คุณจะได้รับอาร์เรย์ 2 มิติขนาดn × nที่nคือจำนวนขององค์ประกอบในG สมมติว่าดัชนี0นั้นเป็นองค์ประกอบตัวตน อาร์เรย์ 2D จะแสดงตารางการคูณ ตัวอย่างเช่นสำหรับกลุ่มด้านบนคุณจะได้รับอาร์เรย์ 2D ต่อไปนี้:

[[0, 1, 2, 3, 4, 5],
[1, 2, 0, 4, 5, 3],
[2, 0, 1, 5, 3, 4],
[3, 5, 4, 0, 2, 1],
[4, 3, 5, 1, 0, 2],
[5, 4, 3, 2, 1, 0]]

ตัวอย่างเช่นคุณจะเห็นว่า3 ∗ 1 = 5เพราะa[3][1] = 5ที่ซึ่งaเป็นอาร์เรย์ 2D ด้านบน

หมายเหตุ:

• คุณสามารถใช้อาร์เรย์ 2 มิติที่จัดทำดัชนีไว้ได้
• สามารถละเว้นแถวและคอลัมน์ของข้อมูลประจำตัวได้
• คุณอาจใช้รูปแบบอื่นตามที่เห็นสมควร แต่ต้องสอดคล้องกัน (เช่นคุณอาจต้องการให้ดัชนีสุดท้ายเป็นตัวตนแทนเป็นต้น)

เอาท์พุต

ตัวเลขบวกหมายถึงจำนวนของกลุ่มย่อยในกลุ่ม

ตัวอย่างเช่นสำหรับกลุ่มข้างต้น(H, ∗)เป็นกลุ่มย่อยของ(G, ∗)เมื่อใดก็ตามที่H =

• {1}
• {1, A, B}
• {1, C}
• {1, D}
• {1, E}
• {1, A, B, C, D, E}

ดังนั้นจึงมี66กลุ่มย่อยและการส่งออกของคุณเช่นนี้ควรจะเป็น

คำแนะนำ

คุณสามารถอ่านบทความที่ฉันเชื่อมโยง บทความเหล่านั้นมีทฤษฎีบทเกี่ยวกับกลุ่มและกลุ่มย่อยที่อาจเป็นประโยชน์กับคุณ

เกณฑ์การให้คะแนน

นี่คือรหัสกอล์ฟ ตอบด้วยจำนวนไบต์ต่ำสุดที่ชนะ

Mathematica, 62 48 ไบต์

Count[Subsets@First@#,x_/;Union@@#[[x,x]]==x]-1&

ฟังก์ชั่นที่บริสุทธิ์คาดว่าจะมีอาร์เรย์ 2D 1 ดัชนี Counts จำนวนSubsetsของFirstแถวของอาร์เรย์การป้อนข้อมูลที่มีการปิดการดำเนินงานภายใต้กลุ่ม 1ตั้งแต่นี้จะรวมถึงชุดที่ว่างเปล่าเราลบ โปรดทราบว่ากลุ่มย่อยที่ไม่มีข้อ จำกัด ของกลุ่ม จำกัด ที่ถูกปิดภายใต้การดำเนินงานของกลุ่มนั้นแท้จริงแล้วเป็นกลุ่มย่อย (และในทางกลับกันโดยคำจำกัดความ)

อย่างเคร่งครัดพูดผมไม่ได้ตรวจสอบว่าเซตxนี้ปิดให้บริการภายใต้การดำเนินกลุ่มผม จำกัด ตารางสูตรคูณในการย่อยและตรวจสอบว่ามันมีอย่างแม่นยำองค์ประกอบของx xเห็นได้ชัดว่านี่ก็หมายความว่าxปิดที่เกี่ยวกับการดำเนินงานของกลุ่ม ตรงกันข้ามกลุ่มย่อยใด ๆxจะมี1จึงxจะเป็นส่วนหนึ่งขององค์ประกอบที่ปรากฏในตารางสูตรคูณ จำกัด และตั้งแต่นี้ปิดให้บริการภายใต้การดำเนินกลุ่มก็ต้องเท่ากับxx

Haskell , 79 ไบต์

โดยทั่วไปเป็นพอร์ตของวิธีการทางคณิตศาสตร์ของ ngenisis (ยกเว้นฉันกำลังใช้อาร์เรย์ 0 ที่จัดทำดัชนีไว้)

cรับรายการของInts และคืนค่าจำนวนเต็ม

c g=sum[1|l<-foldr(\r->([id,(r!!0:)]<*>))[[]]g,and[g!!x!!y`elem`l|x<-l,y<-l]]-1

ลองออนไลน์!

มันจะสันนิษฐานว่าInts นั้นมีหมายเลขเหมือนกับแถว (รายการด้านนอก) และคอลัมน์ที่แสดงการคูณ ดังนั้นเนื่องจาก 0 คือข้อมูลประจำตัวคอลัมน์แรกจึงเหมือนกับดัชนีของแถว สิ่งนี้อนุญาตให้ใช้รายการของคอลัมน์แรกเพื่อสร้างชุดย่อย

มันทำงานอย่างไร

• c เป็นหน้าที่หลัก
• g เป็นอาร์เรย์กลุ่มเป็นรายการ
• lเป็นส่วนย่อยขององค์ประกอบ รายการของชุดย่อยถูกสร้างขึ้นดังนี้:
  • foldr(\r->([id,(r!!0:)]<*>))[[]]ggฟังก์ชั่นพับมากกว่าแถวที่
  • rคือแถวของgซึ่งองค์ประกอบแรกถูกสกัดเป็นองค์ประกอบที่อาจรวม ( (r!!0:)) หรือไม่ (id )
  • <*> รวมตัวเลือกสำหรับแถวนี้เข้ากับตัวเลือกต่อไปนี้
• and[g!!x!!y`elem`l|x<-l,y<-l]ทดสอบองค์ประกอบแต่ละคู่lว่ามีหลายตัวlหรือไม่
• sum[1|...]-1 นับชุดย่อยที่ผ่านการทดสอบยกเว้นเซตย่อยที่ว่างเปล่าหนึ่งชุด

เยลลี่ , 17 16 ไบต์

1 ไบต์ขอบคุณ ETHproductions ( LR → J)

ị³Z⁸ịFḟ
JŒPÇÐḟL’

JŒPÇÐḟL’  main link. one argument (2D array)
J         [1,2,3,...,length of argument]
 ŒP       power set of ^
    Ðḟ    throw away elements that pass the test...
   Ç      in the helper link
      L   length (number of elements that do not pass)
       ’  decrement (the empty set is still closed under
          multiplication, but it is not a subgroup, as
          the identity element does not exist.)

ị³Z⁸ịFḟ   helper link. one argument (1D indexing array)
ị³        elements at required indices of program input (2D array)
  Z       transpose
   ⁸ị     elements at required indices of ^
     F    flatten
      ḟ   remove elements of ^ that are in the argument given
          if the set is closed under multiplication, this will
          result in an empty set, which is considered falsey.

ลองออนไลน์! (1 จัดทำดัชนี)

Python 2, 297 215 ไบต์

from itertools import*
T=input()
G=T[0]
print sum(all(T[y][x]in g for x,y in product(g,g))*all(any(T[y][x]==G[0]==T[x][y]for y in g)for x in g)*(G[0]in g)for g in chain(*[combinations(G,n)for n in range(len(G)+1)]))

ลองออนไลน์

โปรแกรมนี้ใช้ได้กับกลุ่มตัวอย่างที่ไม่มี==T[x][y]แต่ฉันก็ยังค่อนข้างมั่นใจว่ามันจำเป็น

แก้ไข: ตอนนี้สมมติว่าองค์ประกอบตัวตนของGเป็นองค์ประกอบแรกเสมอ

Ungolfed:

from itertools import*
T=input()
G=T[0]
def f(x,y):return T[y][x]                                           # function
def C(g):return all(f(x,y)in g for x,y in product(g,g))             # closure
def E(g):return[all(f(x,y)==y for y in g)for x in g]                # identity

a=E(G)
e=any(a)
e=G[a.index(1)]if e else-1                                          # e in G

def I(G):return all(any(f(x,y)==e==f(y,x)for y in G)for x in G)     # inverse

#print e
#print C(G),any(E(G)),I(G)

#for g in chain(*[combinations(G,n)for n in range(len(G)+1)]):      # print all subgroups
#   if C(g)and I(g)and e in g:print g

print sum(C(g)*I(g)*(e in g)for g in chain(*[combinations(G,n)for n in range(len(G)+1)]))

TIO ที่ไม่ดี

องค์ประกอบกลุ่มเชิงลบจะได้รับการสนับสนุนที่ไม่มีค่าใช้จ่ายโดยการเปลี่ยนไป-1''