ให้สองตัวเลข n และ m, ประเมินหอพลังอนันต์:

n ^ (n + 1) ^ (n + 2) ^ (n + 3) ^ (n + 4) ^ ... mod m

โปรดทราบว่า ^ มีความสัมพันธ์ที่ถูกต้อง ดังนั้น 2 ^ 3 ^ 4 = 2 ^ (3 ^ 4) ทีนี้คุณจะสามารถกำหนดค่าให้กับตัวดำเนินการเชื่อมโยงแบบไม่สิ้นสุดได้อย่างไร

กำหนด f (n, m, i) เป็นหอส่งกำลังไฟฟ้าที่บรรจุเทอมแรกของหอส่งกำลังไม่มีที่สิ้นสุด จากนั้นก็มีค่าคงที่ C เช่นนี้สำหรับทุก ๆ i> C, f (n, m, i) = f (n, m, C) ดังนั้นคุณสามารถพูดได้ว่าหอพลังงานที่ไม่มีที่สิ้นสุดมาบรรจบกับค่าที่แน่นอน เราสนใจในคุณค่านั้น

โปรแกรมของคุณจะต้องสามารถคำนวณ n = 2017, m = 10 ^ 10 ได้ภายใน 10 วินาทีบนพีซีที่ทันสมัยพอสมควร นั่นคือคุณควรใช้อัลกอริธึมที่แท้จริงโดยไม่มีข้อผิดพลาด

คุณอาจจะคิดว่าn <2 ³⁰และม. <2 ⁵⁰สำหรับข้อ จำกัด ของตัวเลขในการเขียนโปรแกรมภาษาของคุณ แต่ขั้นตอนวิธีการของคุณจะต้องทำงานในทางทฤษฎีสำหรับขนาดใดก็ได้n , ม. อย่างไรก็ตามโปรแกรมของคุณจะต้องถูกต้องสำหรับอินพุตภายในข้อ จำกัด ด้านขนาดค่าโอเวอร์โฟลว์ค่ากลางจะไม่ได้รับการยกเว้นหากอินพุตอยู่ภายในขีด จำกัด เหล่านี้

ตัวอย่าง:

2, 10^15
566088170340352

4, 3^20
4

32, 524287
16

Pyth, 23 ไบต์

M&tG.^HsgBu-G/GH{PGGhHG

กำหนดฟังก์ชั่นgโดยใช้mและnตามลำดับ

ลองออนไลน์

มันทำงานอย่างไร

M&tG.^HsgBu-G/GH{PGGhHG
M                         def g(G, H):
 &tG                        0 if G == 1, else …
                 PG         prime factors of G
                {           deduplicate that
          u-G/GH   G        reduce that on lambda G,H:G-G/H, starting at G
                              (this gives the Euler totient φ(G))
        gB          hH      bifurcate: two-element list [that, g(that, H + 1)]
       s                    sum
    .^H               G     H^that mod G

Python 2, 109 76 ไบต์

import sympy
def g(n,m):j=sympy.totient(m);return m-1and pow(n,j+g(n+1,j),m)

ลองออนไลน์!

ทำไมมันถึงได้ผล

เราใช้หลักเกณฑ์ดังต่อไปนี้ทฤษฎีบทออยเลอร์

บทแทรก n ^{2φ ( m )} ≡ n ^{φ ( m )} (mod m ) สำหรับnทั้งหมด(หรือไม่ว่าnคือ coprime ถึงm )

พิสูจน์:สำหรับทุกอำนาจนายกพี^kแบ่งเมตร ,

• ถ้าpหารnดังนั้นเนื่องจากφ ( m ) ≥φ ( p ^k ) = p ^{k - 1} ( p - 1) ≥ 2 ^{k - 1} ≥ kเรามีn ^{2φ ( m )} ≡ 0 ≡ n ^{φ ( m )} (mod p ^k )
• มิฉะนั้นเพราะφ ( p ^k ) หารφ ( m ) ทฤษฎีบทของออยเลอร์ให้n ^{2φ ( m )} ≡ 1 ≡ n ^{φ ( m )} (mod p ^k )

ดังนั้นn ^{2φ ( m )} ≡ n ^{φ ( m )} (mod m )

ควันหลง ถ้าk ≥φ ( m ) ดังนั้นn ^k ≡ n ^{φ ( m ) + ( k mod φ ( m ))} (mod m )

พิสูจน์:ถ้าk ≥2φ ( m ), บทแทรกให้n ^k = n ^{2φ ( m )} n ^{k - 2φ ( m )} ≡ n ^{φ ( m )} n ^{k - 2φ ( m )} = n ^{k - φ ( m )} ( mod m ) และเราทำซ้ำจนกระทั่งเลขชี้กำลังน้อยกว่า2φ ( m )

Haskell , 156 ไบต์

(?)ใช้เวลาสองIntegerวินาทีและส่งกลับInteger, ใช้เป็น(10^10)?2017(คำสั่งกลับรายการเมื่อเทียบกับ OP)

1?n=0
m?n=n&m$m#2+m#2?(n+1)
1#_=1
n#p|m<-until((<2).gcd p)(`div`p)n=m#(p+1)*1`max`div(n*p-n)(p*m)
(_&_)0=1
(x&m)y|(a,b)<-divMod y 2=mod(x^b*(mod(x*x)m&m)a)m

ลองออนไลน์! (ฉันใส่เคสเพื่อทดสอบในส่วนหัวในเวลานี้เนื่องจากใช้สัญกรณ์การยกกำลัง)

อยากรู้อยากเห็นกรณีทดสอบที่ช้าที่สุดไม่ได้เป็นหนึ่งที่มีขีด จำกัด ความเร็ว (ที่เกือบจะทันที) แต่524287 ? 32หนึ่งเพราะ524287เป็นนายกมีขนาดใหญ่กว่าที่ปรากฏในปัจจัยของการทดสอบกรณีอื่น ๆ

มันทำงานอย่างไร

• (x&m)yis x^y `mod` mหรือ power mod โดยใช้การยกกำลังด้วยการยกกำลังสอง
• n#pเป็นฟังก์ชั่นออยเลอร์ totient ของnสมมติว่ามีปัจจัยสำคัญไม่มีมีขนาดเล็กกว่า np
  • mขึ้นอยู่nกับpปัจจัยทั้งหมดที่แบ่งออก
  • หากมีkปัจจัยดังกล่าว totient ตัวเองควรจะได้รับปัจจัยที่สอดคล้องกันซึ่งคำนวณเป็น(p-1)*p^(k-1)div(n*p-n)(p*m)
  • 1`max`...จับกรณีที่nไม่ได้ลงตัวจริงโดยpซึ่งทำให้อาร์กิวเมนต์อื่น ๆ ของการเท่าเทียมกันmax0
• ฟังก์ชั่นหลักของm?nการใช้งานว่าเมื่อyมีขนาดใหญ่พอn^y `mod` mเป็นเช่นเดียวกับn^(t+(y`mod`t)) `mod` mเมื่อtเป็น totient mของ ( t+จำเป็นสำหรับปัจจัยสำคัญเหล่านั้นnและmมีเหมือนกันซึ่งทั้งหมดได้รับการขยายให้ใหญ่สุด)
• อัลกอริธึมหยุดลงเนื่องจากฟังก์ชั่น totient ซ้ำแล้วซ้ำอีกในที่สุดก็ตี 1

Mathematica ขนาด 55 ไบต์

n_~f~1=0;n_~f~m_:=PowerMod[n,(t=EulerPhi@m)+f[n+1,t],m]

ตัวอย่าง:

In[1]:= n_~f~1=0;n_~f~m_:=PowerMod[n,(t=EulerPhi@m)+f[n+1,t],m]

In[2]:= f[2, 10^15]

Out[2]= 566088170340352

In[3]:= f[4, 3^20]

Out[3]= 4

In[4]:= f[32, 524287]

Out[4]= 16

In[5]:= f[2017, 10^10]

Out[5]= 7395978241

Pari / GP , 59 ไบต์

f(n,m)=if(m==1,0,lift(Mod(n,m)^((t=eulerphi(m))+f(n+1,t))))

ลองออนไลน์!