องค์ประกอบดั้งเดิมของฟิลด์ จำกัด เป็นเครื่องกำเนิดไฟฟ้าของกลุ่มคูณของสนาม ในคำอื่น ๆalphaในF(q)ที่เรียกว่าองค์ประกอบดั้งเดิมถ้ามันเป็นแบบดั้งเดิมq−1ราก TH F(q)ของความสามัคคีใน ซึ่งหมายความว่าองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์ทั้งหมดของF(q)สามารถเขียนเป็นalpha^iบาง (บวก) iจำนวนเต็ม

องค์ประกอบทั้งหมดของสนามF_{2^k}สามารถเขียนเป็นพหุนามของระดับที่มากที่สุดk-1มีค่าสัมประสิทธิ์ที่มีทั้งหรือ1 0เพื่อที่จะทำให้เสร็จสมบูรณ์รหัสของคุณยังจำเป็นต้องมีพหุนามลดระดับkซึ่งกำหนดเขตข้อมูลที่คุณใช้

งานคือการเขียนรหัสที่แสดงองค์ประกอบดั้งเดิมของF_{2^k}การเลือกของคุณตามk = 1 .. 32ลำดับ

ผลลัพธ์ของคุณจะต้องแสดงรายการkค่าสัมประสิทธิ์ขององค์ประกอบดั้งเดิมในรูปแบบใด ๆ ที่คุณต้องการแล้วแยกk+1องค์ประกอบของพหุนามลดขนาดลงในบรรทัดแยกต่างหาก กรุณาแยกเอาท์พุทสำหรับแต่ละค่าkถ้าเป็นไปได้

รหัสของคุณอาจใช้เวลานานเท่าที่คุณต้องการ แต่คุณต้องเรียกใช้ให้เสร็จก่อนที่จะส่งคำตอบ

คุณไม่สามารถใช้ฟังก์ชัน builtin หรือ library ที่ส่งคืนองค์ประกอบดั้งเดิมของฟิลด์ จำกัด หรือทดสอบว่าองค์ประกอบนั้นเป็นแบบดั้งเดิมหรือไม่

ตัวอย่าง

สำหรับองค์ประกอบเพียงดั้งเดิมคือk = 11

สำหรับการที่เรามีk = 2 F_44 องค์ประกอบ{0, 1, x, x + 1}จึงมีสององค์ประกอบดั้งเดิมและx x + 1ดังนั้นรหัสสามารถส่งออก

1 1
1 1 1

เป็นค่าสัมประสิทธิ์ตัวอย่างที่บรรทัดที่สองเป็นพหุนามลดลงซึ่งในกรณีนี้คือซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์x^2+x+11 1 1

Pari / GP , 114 ไบต์

แรงบันดาลใจจากคำตอบของ isaacgในคำถามอื่น

for(n=1,32,for(i=1,2^n,if(sumdiv(2^n-1,d,Mod(x,f=Mod(Pol(binary(2*2^n-i)),2))^d==1)==1,print([x,lift(f)]);break)))

ลองออนไลน์!

---

หากได้รับอนุญาตบิวด์อิน:

Pari / GP , 61 ไบต์ (ไม่แข่งขัน)

for(i=1,32,print([ffprimroot(ffgen(f=ffinit(2,i))),lift(f)]))

ลองออนไลน์!

Mathematica, 127 ไบต์

Do[For[i=2*2^n,PolynomialMod[x^Divisors[2^n-1]+1,i~IntegerDigits~2~FromDigits~x,Modulus->2]~Count~0!=1,i--];Print@{2,i},{n,32}]

คำอธิบาย:

ถ้าเราเลือกพหุนามดั้งเดิมเป็นพหุนามลดลงแล้ว$x$เป็นองค์ประกอบดั้งเดิม พหุนามลดลงของระดับ$n$ เป็นแบบดั้งเดิมถ้าหากมันมีคำสั่งเท่านั้น $2^n - 1$คือหารด้วย $x^{2^n - 1} - 1$แต่ไม่สามารถแบ่งแยกได้โดยเด็ดขาด $x^i - 1$ที่ไหน $i$ วิ่งผ่านตัวหารที่เหมาะสมทั้งหมดของ $2^n - 1$.

เอาท์พุท:

ส่งออกจำนวนเต็มที่มีบิตเป็นค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม ตัวอย่างเช่น,$8589934581$ คือ $111111111111111111111111111110101$ เมื่อเขียนด้วยเลขฐานสองมันจะแสดงพหุนาม

$$x^{32}+x^{31}+x^{30}+x^{29}+x^{28}+x^{27}+x^{26}+x^{25}+\\x^{24}+x^{23}+x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+\\x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^9+\\x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^2+1$$

{2,3}

{2,7}

{2,13}

{2,25}

{2,61}

{2115}

{2253}

{2501}

{} 2,1019

{} 2,2041

{} 2,4073

{} 2,8137

{} 2,16381

{} 2,32743

{} 2,65533

{2,131053}

{2,262127}

{2,524263}

{2,1048531}

{2,2097145}

{2,4194227}

{2,8388589}

{2,16777213}

{2,33554351}

{2,67108849}

{2,134217697}

{2,268435427}

{2,536870805}

{2,1073741801}

{2,2147483533}

{2,4294967287}

{2,8589934581}