หากคุณยังไม่คุ้นเคยกับการถักเปียทฤษฎีผมขอแนะนำให้คุณอ่านนี้เป็นครั้งแรก คำถามนี้สมมติว่าคุณมีความคุ้นเคยกับแนวคิดในมือและอย่างน้อยคุณก็คุ้นเคยกับทฤษฎีกลุ่ม

ขอให้เรานิยามσ _nให้เป็นถักเปียที่เส้นที่n (หนึ่งดัชนี) จากด้านบนข้ามเหนือเส้นที่n + 1 th และσ _n ^-จะเป็นอินเวอร์สของσ _n (นั่นคือn + 1 th เกลียวข้ามเส้นที่n )

กลุ่มถักเปียB _nถูกสร้างขึ้นโดย<σ ₁ , σ ₂ , σ ₃ , . . , σ n-1 > ดังนั้นทุกถักเปียในB _nสามารถเขียนเป็นผลิตภัณฑ์ของ bra-braids ¹

การพิจารณาว่า braids สองตัวในกลุ่มเท่ากันนั้นไม่ใช่งานง่าย มันอาจจะเห็นได้ชัดสวยที่σ ₁ σ ₃ = σ ₃ σ ₁แต่มันเป็นเรื่องเล็ก ๆ น้อย ๆ ที่เห็นได้ชัดน้อยกว่าที่เช่นσ ₂ σ ₁ σ ₂ = σ ₁ σ ₂ σ 1 ²

ดังนั้นคำถามคือ "เราจะทราบได้อย่างไรว่าถักเปียสองเส้นเหมือนกันหรือไม่" ตัวอย่างสองตัวอย่างด้านบนเป็นตัวแทนของบิตนี้ โดยทั่วไปความสัมพันธ์ต่อไปนี้เรียกว่าความสัมพันธ์ของอาร์ทินนั้นเป็นจริง:

• σ _i σ _j = σ _j σ _i ; i - j> 1

• σ _i σ _{i + 1} σ _i = σ _{i + 1} σ _i σ _{i + 1}

เราสามารถใช้ความสัมพันธ์ทั้งสองนี้ร่วมกับสัจพจน์กลุ่มเพื่อพิสูจน์ว่า braids ที่เท่ากันมีค่าเท่ากัน ดังนั้นสอง braids จะเท่ากับ iff การใช้งานซ้ำของความสัมพันธ์เหล่านี้และสัจพจน์กลุ่มสามารถแสดงให้เห็นดังนั้น

งาน

คุณจะเขียนโปรแกรมหรือฟังก์ชั่นเพื่อถักเปียสองอันและตรวจสอบว่าพวกมันเท่ากันหรือไม่ คุณอาจเลือกที่จะใช้จำนวนเต็มบวกแทนคำสั่งของกลุ่ม

นี่เป็นคำถามเกี่ยวกับรหัสกอล์ฟดังนั้นคำตอบจะได้คะแนนเป็นไบต์โดยไบต์น้อยจะดีขึ้น

อินพุตและเอาต์พุต

คุณควรแสดง Braid เป็นรายการกำเนิดของเครื่องปั่นไฟ (หรือโครงสร้างที่เทียบเท่าเช่น vector) คุณอาจเป็นตัวแทนของเครื่องกำเนิดไฟฟ้าในรูปแบบที่สมเหตุสมผล (เช่นจำนวนเต็มสองตัว tuple ของจำนวนเต็มบวกและบูลีน)

เสมอกับกฎปัญหา descisionมาตรฐานคุณควรส่งออกหนึ่งในสองค่าที่แตกต่างกันยอมรับการปฏิเสธ

กรณีทดสอบ

[],       []              -> True
[1,-1],   []              -> True
[1,2,1],  [2,1,2]         -> True
[1,3],    [3,1]           -> True
[1,3,2,1],[3,2,1,2]       -> True
[1,4,-4,3,2,1], [3,2,1,2] -> True
[2,2,1],  [2,1,2]         -> False
[1,2,-1], [-1,2,1]        -> False
[1,1,1,2],[1,1,2]         -> False

^{1: โปรดทราบว่าในขณะที่B _nเป็นไปตามคุณสมบัติทั้งหมดของกลุ่มการดำเนินการในกลุ่มถักเปียของเราไม่ได้เป็นแบบสับเปลี่ยนดังนั้นกลุ่มของเราจึงไม่ได้เป็นศาสนาคริสต์}

^{2: หากคุณต้องการตรวจสอบสิ่งนี้ด้วยตัวเองฉันขอแนะนำให้ใช้σ ₁ -กับทั้งสองฝ่าย, ถ้าคุณวาดทั้งสองออกมาบนกระดาษ, หรือทำแบบจำลองพวกมันด้วยสายอักขระที่แท้จริง}

Haskell , 190 ไบต์

i!j|j<0=reverse$map(0-)$i!(-j)|i==j=[i,i+1,-i]|i+1==j=[i]|i+j==0=[j+1]|i+j==1=[-j,-i,j]
_!j=[j]
j%(k:a)|j+k==0=a
j%a=j:a
i&a=foldr(%)[]$foldr((=<<).(!))[i]a
a?n=map(&a)[1..n]
(a#b)n=a?n==b?n

ลองออนไลน์!

มันทำงานอย่างไร

ให้F _nเป็นกลุ่มฟรีบนnปั่นไฟx ₁ , ... , x n หนึ่งในผลลัพธ์แรกในทฤษฎีการถักเปีย (Emil Artin, Theorie der Zöpfe , 1925) คือการที่เรามีโฮโมมอร์ฟิซึม แบบฉีดf : B _n → Aut ( F _n )ซึ่งการกระทำของ f _{σ i}ของσ _iถูกกำหนดโดย

f _{σ i} ( x _i ) = x _i x _{i + 1} x _i ⁻¹ ,
f _{σ i} ( x _{i + 1} ) = x _i ,
f _{σ ฉัน} ( x _j ) = x _jสำหรับj ∉ { i , i + i + 1}

ค่าผกผันของf _{σ i ⁻¹}นั้นถูกกำหนดโดย

f _{σ ฉัน ⁻¹} ( x _i ) = x _{ฉัน + 1} ,
f _{σ ฉัน ⁻¹} ( x _{i + 1} ) = x _{ฉัน + 1} ⁻¹ x _ฉัน x _{i + 1} ,
f _{σ ฉัน ⁻¹} ( x _j ) = x _jสำหรับj ∉ { i , i + 1}

และองค์ประกอบของหลักสูตรจะได้รับโดยฉ_AB = ฉ ∘ ฉข

เพื่อทดสอบว่า= ข ∈ B _nก็พอเพียงที่จะทดสอบที่ฉ ( x _ฉัน ) = ฉ_ข ( x _ผม ) สำหรับทุกฉัน = 1, ... , n นี่เป็นปัญหาที่ง่ายกว่ามากในF _nซึ่งเราจำเป็นต้องรู้วิธียกเลิกx _iด้วยx _i ⁻¹เท่านั้น

ในรหัส:

• i!jคำนวณf _{σ i} ( x _j ) (ที่ใดก็ได้iหรือjอาจเป็นลบ, แทนอินเวอร์ส)
• foldr(%)[] ทำการลดในกลุ่มฟรี
• i&aคำนวณf _a ( x _i )
• a?nคำนวณ [ f _a ( x ₁ ), …, f _a ( x _n )],
• และ(a#b)nคือการทดสอบความเสมอภาค= ขในB n

Python 2 , 270 263 260 250 249 241 ไบต์

def g(b,i=0):
 while i<len(b)-1:
  R,s=b[i:i+2]
  if R<0<s:b[i:i+2]=[[],[s,-R,-s,R],[s,R]][min(abs(R+s),2)];i=-1
  i+=1
 return b
def f(a,b):
 b=g(a+[-v for v in b][::-1]);i=0
 while i<len(b)and b[0]>0:b=b[1:]+[b[0]];i+=1   
 return g(b)==[]

ลองออนไลน์!

การดำเนินการตาม 'subword reverseing' วิธีการแก้ปัญหาไอโซโทปถักเปีย: a = b iff ab ^ -1 = ตัวตน

ขั้นตอนวิธีการที่นำมาจาก: การแก้ปัญหาที่มีประสิทธิภาพเพื่อปัญหาถักเปีย Isotopy, แพทริกดฮอร์น อย ; เขาอธิบายอัลกอริทึมอื่น ๆ ที่อาจเป็นที่สนใจ ...

อัลกอริธึมนี้ทำงานโดยการเดินจากซ้ายไปขวาในรายการค้นหาหมายเลขติดลบตามด้วยจำนวนบวก คือคำย่อยของแบบฟอร์ม x _i ^-1 x _jกับ i, j> 0

มันใช้ความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้:

x _i ^-1 x _j = x _j x _i x _j ^-1 x _i ^-1ถ้า i = j + 1 หรือ j = i + 1

x _i ^-1 x _j = identity (รายการว่าง) ถ้า i == j

x _i ^-1 x _j = x _j x _i ^{-1 เป็น}อย่างอื่น

โดยการใช้งานซ้ำ ๆ เราจะจบลงด้วยรายการของแบบฟอร์มw1 + w2ที่ทุกองค์ประกอบของw1เป็นบวกและทุกองค์ประกอบของw2เป็นลบ (นี่คือการกระทำของฟังก์ชั่นg)

จากนั้นเราจะนำไปใช้gเป็นครั้งที่สองในรายการw2 + w1; รายการผลลัพธ์ควรว่างเปล่าถ้ารายการเดิมเท่ากับข้อมูลประจำตัว