พื้นหลัง

ก็สามารถที่จะแสดงให้เห็นว่าสำหรับจำนวนเต็มใด ๆk >= 0, f(k) = tan(atan(0) + atan(1) + atan(2) + ... + atan(k))เป็นจำนวนจริง

เป้าหมาย

เขียนโปรแกรมหรือฟังก์ชั่นที่สมบูรณ์ซึ่งเมื่อได้รับk >= 0ผลลัพธ์จะf(k)เป็นส่วนที่ลดลงเพียงครั้งเดียว (ตัวเศษและส่วนคือ coprime)

กรณีทดสอบ

ค่าแรก ๆ คือ

f(0) = (0,1)
f(1) = (1,1)
f(2) = (-3,1)
f(3) = (0,1)
f(4) = (4,1)
f(5) = (-9,19)
f(6) = (105,73)

กฎระเบียบ

• ช่องโหว่มาตรฐานเป็นสิ่งต้องห้าม
• อินพุตและเอาต์พุตอาจอยู่ในรูปแบบที่สะดวก คุณอาจเอาท์พุทf(k)เป็นสตริงnumerator/denominatorเป็นอันดับสองของจำนวนเต็มเศษส่วนหรือวัตถุที่มีเหตุผล ฯลฯ ถ้าคุณเอาท์พุทสตริงให้สองจำนวนเต็มเท่านั้นนั่นคือการส่งออกแทน3/21 1/2
• นี่คือ code-golf คำตอบที่สั้นที่สุด (เป็นไบต์) ชนะ

M , 11 ไบต์

×C÷@+
R0;ç/

ลองออนไลน์!

ใช้สูตร OEIS กับx(n) = (x(n-1)+n)/(1-n*x(n-1))x(0) = 0

Mathematica ขนาด 28 ไบต์

Fold[+##/(1-##)&,0,Range@#]&

ลองออนไลน์!

แนวทางที่ยาวกว่า แต่น่าสนใจกว่า (32 ไบต์):

Im@#/Re@#&@Product[1+n I,{n,#}]&

ลองออนไลน์!

งูหลาม 2 ,76 72 ไบต์

from fractions import*
f=lambda k:Fraction(k and(k+f(k-1))/(1-k*f(k-1)))

ใช้ตัวตน:

tan(A + B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A) * tan(B))

เรามี:

f(k) = 0                                    if k = 0
     = (k + f(k - 1)) / (1 - k * f(k - 1))  if k > 0

ลองออนไลน์!

ขอบคุณ Luis Mendo, บันทึก 4 ไบต์

APL (Dyalog)ขนาด 14 ไบต์

ต้องใช้⎕FR←1287( 128บิตFกระแสน้ำจุดR epresentation) สำหรับการป้อนข้อมูลที่มีขนาดเล็ก ใช้kเป็นอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้อง

1(∧÷,)3○¯3+.○⍳

ลองออนไลน์!

⍳ จำนวนเต็มหนึ่งถึงk(ไม่จำเป็นต้องมีศูนย์เท่ากับ 0 = arctan 0)

¯3+.○ ผลรวมของ arcus tangents

3○ สัมผัสกัน

1(… ) ใช้ฟังก์ชัน tacit ต่อไปนี้โดยที่ 1 เป็นอาร์กิวเมนต์ซ้ายและอาร์กิวเมนต์ข้างต้นเป็นอาร์กิวเมนต์ด้านขวา:

 ∧ ตัวคูณร่วมน้อย (ของ 1 และอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้อง); ให้ตัวเศษ

 ÷ หารด้วย

 , การต่อข้อมูล (ของ 1 และอาร์กิวเมนต์ที่ถูกต้อง); ให้ตัวเศษและส่วน

Haskell , 52 ไบต์

สิ่งนี้ใช้การขยายซีรี่ส์ OEIS:

import Data.Ratio
f 0=0%1
f n|p<-f$n-1=(p+n)/(1-n*p)

ลองออนไลน์!

หรือรุ่นที่ไม่มีจุดหมาย:

(scanl1(\f n->(f+n)/(1-n*f))[0%1..]!!)

JavaScript (ES6), 80 ไบต์

f=n=>n?([a,b]=f(n-1),g=(a,b)=>a?g(b%a,a):b,c=g(d=b*n+a,e=b-n*a),[d/c,e/c]):[0,1]

ส่งคืนคู่ [ตัวเศษส่วน] คำอธิบาย: ลองแล้วf(n-1) = a/b f(n) = atan(tan(n)+tan(a/b)) = (n+a/b)/(1-n*a/b) = (b*n+a)/(b-n*a)จากนั้นจะยังคงอยู่เพื่อลดเศษส่วนให้เหลือน้อยที่สุด

สภาพแวดล้อม ES6 ออนไลน์

Pari / GP , 36 ไบต์

n->imag(x=prod(i=0,n,1+i*I))/real(x)

ลองออนไลน์!

หรือความยาวเดียวกัน:

n->fold((x,y)->(x+y)/(1-x*y),[0..n])

ลองออนไลน์!

05AB1E , 33 26 ไบต์

0X)Iƒ©`N*+®`sN*-‚D¿D_i\¤}/

ลองออนไลน์!

คำอธิบาย

0X)                          # initialize stack with [0,1]
   Iƒ                        # for N in range [0 ... input] do:
     ©                       # store a copy of the current pair in the register
      `                      # push the pair separately to the stack
       N*                    # multiply the denominator with N
         +                   # add the numerator
          ®`s                # push the denominator then the numerator to the stack
             N*              # multiply the numerator by N
               -             # subtract it from the denominator
                D¿D          # get 2 copies of the greatest common divisor
                   0Qi  }    # if the gcd equals 0
                      \¤     # replace it with the denominator
                         /   # divide the pair with this number

อ็อกเทฟ 30 ไบต์

format rat
tan(sum(atan(0:k)))

ลองออนไลน์!

Casio-Basic, 35 ไบต์

tExpand(tan(sum(seq(tan⁻¹(n),n,0,k

tan ^-1ควรป้อนเป็นอันหนึ่งบนแป้นพิมพ์ Trig หรือ^-1สามารถป้อนแยกต่างหากจาก abc> Math keyboard ตามคู่มือของ fx-CP400 เป็นอักขระสองไบต์เดียว (764)

ฟังก์ชัน 34 ไบต์สำหรับโค้ด, +1 ไบต์เพื่อเพิ่มkเป็นอาร์กิวเมนต์

คำอธิบาย

seq(tan-1(n),n,0,k)สร้างค่าทั้งหมดtan-1(n)ตั้งแต่ 0 ถึง k

sumเพิ่มพวกมันทั้งหมดเข้าด้วยกันจากนั้นก็tanทำหน้าที่แทนเจนต์บนพวกมัน

tExpand จะเปลี่ยนเป็นเศษส่วนเดียว

Julia 0.6.0 40 ไบต์

k->rationalize(tan(sum(x->atan(x),1:k)))

เป็นการใช้คำถามที่ตรงไปตรงมา ความแม่นยำของการหาเหตุผลเข้าข้างตนเองบางครั้งอาจแปลก แต่ใช้งานได้ดี 99% ของเวลา