TREE (k) ของฟังก์ชันให้ความยาวของลำดับที่ยาวที่สุดของต้นไม้ T ₁ , T ₂ , ... ซึ่งจุดยอดแต่ละจุดจะมีป้ายกำกับด้วยสี k หนึ่งสีต้นไม้ T _ฉันมีจุดสูงสุดที่ฉันและไม่มีต้นไม้ใดเป็นเล็กน้อยของต้นไม้ใด ๆ ที่ตามมาในลำดับ

TREE (1) = 1 กับเช่น T ₁(1) =

TREE (2) = 3: เช่น T ₁ = (1); T ₂ = (2)--(2); T ₃(2) =

TREE (3) เป็นใหญ่ขนาดใหญ่จำนวน ยิ่งใหญ่กว่าตัวเลขของเกรแฮม งานของคุณคือการส่งออกจำนวนที่ยิ่งใหญ่กว่ามัน!

นี่เป็นโค้ดกอล์ฟดังนั้นเป้าหมายคือการเขียนโปรแกรมที่สั้นที่สุดในภาษาใด ๆ ที่กำหนดผลลัพธ์ที่มีขนาดใหญ่กว่าหรือเท่ากับ TREE (3) (ไปยัง stdout)

• คุณไม่ได้รับอนุญาตให้ป้อนข้อมูล
• โปรแกรมของคุณจะต้องสิ้นสุดในที่สุด แต่คุณสามารถสันนิษฐานได้ว่าเครื่องมีหน่วยความจำที่ไม่มีที่สิ้นสุด
• คุณอาจสมมติว่าประเภทหมายเลขภาษาของคุณสามารถเก็บค่า จำกัด ใด ๆแต่จำเป็นต้องอธิบายวิธีการทำงานในภาษาของคุณ (เช่น: ลอยมีความแม่นยำไม่สิ้นสุด?)
  • ไม่อนุญาตให้ใช้อินฟินิตี้เป็นเอาต์พุต
  • อันเดอร์โฟลว์ของชนิดตัวเลขโยนข้อยกเว้น มันไม่ได้พันรอบ
• เพราะ TREE (3) เป็นเช่นจำนวนเชิงซ้อนคุณสามารถใช้ลำดับชั้นการเติบโตอย่างรวดเร็วประมาณฉ_{θ (โอห์ม^{โอห์ม}โอห์ม) 1} (3) เป็นจำนวนที่จะชนะ
• คุณต้องให้คำอธิบายว่าเพราะเหตุใดหมายเลขของคุณจึงใหญ่และรหัสที่ไม่ได้ตรวจสอบเพื่อตรวจสอบว่าโซลูชันของคุณถูกต้องหรือไม่ (เนื่องจากไม่มีคอมพิวเตอร์ที่มีหน่วยความจำเพียงพอที่จะเก็บTREE (3) )

หมายเหตุ: ไม่มีคำตอบในขณะนี้พบว่าที่นี่ทำงาน

ทำไม TREE (3) ถึงใหญ่มาก

ใหม่ทับทิมขนาด 135 ไบต์ >> H _{ψ (φ 3 (Ω + 1))} (9)

โดยที่Hคือลำดับชั้นของ Hardy ψเป็นเวอร์ชันขยายของ OCF ของ Madore (จะอธิบายด้านล่าง) และφคือฟังก์ชัน Veblen

ลองออนไลน์!

f=->a,n,b=a{c,d,e=a;a==c ?a-1:e ?a==a-[0]?[[c,d,f[e,n,b]],d-1,c]:c:[n<1||c==0?n:[f[c||b,n-1]],n,n]};h=[],k=9,k;h=f[h,p(k*=k)]while h!=0

Ungolfed: (ใช้ฟังก์ชั่นไม่ใช่ lambdas)

def f(a,n,b)
  c,d,e = a
  if a == c
    return a-1
  elsif e
    if a == a-[0]
      return [[c,d,f(e,n,b)],d-1,c]
    else
      return c
    end
  else
    x = c || b
    if n < 1 || c == 0
      return [n,n,n]
    else
      return [f(x,n-1,x),n,n]
    end
  end
end

k = 9
h = [[],k,k]
while (h != 0) do
  k *= k
  p k
  h = f(h,k,h)
end

OCF ที่เพิ่มขึ้นของ Madore:

และ (หยาบ) ฟังก์ชันของ Veblen phi:

คำอธิบายที่ไม่มีลำดับ:

f(a,n,b) reduces an array recursively. (if no third argument given, it takes the first argument twice.)
f(k,n,b) = k-1, k is a positive int.
f([c,d,0],n,b) = f([c,0,e],n,b) = c
f([c,d,e],n,b) = [[c,d,f(e,n,b)],d-1,c], d ≠ -1 and c ≠ 0

f([a],0,b) = [0,0,0]
f([0],n,b) = [n,n,n]
f([],n,b) = f([b],n,b)
f([a],n,b) = [f[a,n-1,a],n,n]

k = 9, h = [[],9,9]บำเพ็ญโปรแกรมของฉัน จากนั้นก็นำไปใช้k = k*kและh = f(h,k)จนและเอาท์พุทh == 0k

คำอธิบายเกี่ยวกับเลขลำดับ:

Ordinals follow the following representation: n, [], [a], [a,b,c], where n,d is a natural number and a,c are all ordinals.
x = Ord(y) if y is the syntactic version of x.
a[n,b] = Ord(f(a,n))
ω = Ord([0]) = Ord(f([a],-1,b))
n = Ord(n)
Ω = Ord([])
ψ'(a) = Ord([a])
ψ'(a)[n] = Ord(f([a],n))
φ(b,c) ≈ Ord([[0],b,c])
a(↓b)c = Ord([a,b,c]) (down-arrows/backwards associative hyper operators I designed just for ordinals)

We follow the following FS for our ordinals:
k[n,b] = k-1, k < ω
ω[n,b] = n(↓n)n
(a(↓b)0)[n,b] = (a(↓0)c)[n,b] = a
(a(↓b)c)[n,b] = (a(↓b)(c[n,b]))(↓b[n,b])a, b ≥ 0 and c > 0.
ψ'(a)[0,b] = 0(↓0)0
ψ'(a)[n,b] = (ψ'(a[n-1,a]))(↓n)ω, a > 0 and n ≥ 0. (also note that we've changed from [n,b] to [n,a].)
Ω[n,b] = ψ'(b)[n,b]

ψ '(ω∙α) ≈ψ (α) ฟังก์ชั่นการยุบตัวตามลำดับที่อธิบายไว้ในภาพด้านบน

โปรแกรมของฉันมากขึ้นหรือน้อยลงประทับจิตk = 9และh = Ω(↑9)9จากนั้นนำไปใช้k ← k²และh ← h[k,h]จนและผลตอบแทนh = 1k

ดังนั้นถ้าฉันไม่สิทธินี้[[],9,9]เป็นวิธีการที่มีขนาดใหญ่กว่า Bachmann-โฮเวิร์ดลำดับψ (โอห์ม^{โอห์มโอห์ม...} ) ซึ่งเป็นวิธีที่มีขนาดใหญ่กว่าθ (โอห์ม^{โอห์ม}โอห์ม) 1

ψ (Ω (↓ 9) 9)> ψ (Ω (↓ 4) 3)> ψ (Ω ^{Ω Ω} ) 1> ψ (Ω ^{Ω โอห์มโอห์ม} ) 1> θ (Ω ^{โอห์ม}โอห์ม) 1

และถ้าการวิเคราะห์ของฉันถูกต้องจากนั้นเราควรจะมีψ (โอห์ม^{โอห์ม} ∙ x) ~ = ψ * (โอห์ม^{โอห์ม} ∙ x) ที่ψ * เป็นหน้าที่ปอนด์ต่อตารางนิ้วปกติ Madore ของ หากสิ่งนี้ถืออยู่ลำดับของฉันจะอยู่ที่ประมาณψ * (φ ₃ (Ω + ω))

Old Ruby ขนาด 309 ไบต์, H _{ψ ' 0 (Ω 9 )} (9) (ดูประวัติการแก้ไขนอกเหนือจากตัวใหม่จะดีกว่า)

Haskell, 252 ไบต์, TREE (3) +1

data T=T[T]Int
l(T n _)=1+sum(l<$>n)
a@(T n c)#T m d=any(a#)m||c==d&&n!m
l@(x:t)!(y:u)=l!u||x#y&&t!u
x!_=null x
a n=do x<-[1..n];T<$>mapM(\_->a$n-1)[2..x]<*>[1..3]
s 0=[[]]
s n=[t:p|p<-s$n-1,t<-a n,(l t<=n)>any(#t)p]
main=print$[x|x<-[0..],null$s x]!!0

ขอบคุณสำหรับความช่วยเหลือจาก H.PWiz, Laikoni และØrjan Johansen สำหรับความช่วยเหลือในการเล่นกอล์ฟ!

ตามที่แนะนำโดยHyperNeutrinoโปรแกรมของฉันจะแสดงผล TREE (3) +1, (TREE สามารถคำนวณได้จริงตามที่ปรากฎ)

T n cเป็นต้นไม้ที่มีป้ายและโหนดc ควรจะ, หรือnc123

l ttคือจำนวนของโหนดในต้นไม้

t1 # t2เป็นจริงถ้าt1homeomorphically ฝังเข้าไปt2(ขึ้นอยู่กับคำจำกัดความ 4.4 ที่นี่ ) และเท็จอย่างอื่น

a nสร้างรายการต้นไม้ขนาดใหญ่ รายการที่แน่นอนไม่สำคัญ คุณสมบัติที่สำคัญคือa nมีต้นไม้ทุกต้นถึงnโหนดมีโหนดถูกกำกับด้วย1, 2หรือ3และบางทีบางต้นไม้มากขึ้นเช่นกัน ( แต่ต้นไม้อื่น ๆ เหล่านั้นก็จะถูกกำกับด้วย1, 2หรือ3) นอกจากนี้ยังรับประกันว่าจะส่งออกรายการที่แน่นอน

s nแสดงรายการลำดับความยาวทั้งหมดnของต้นไม้เช่นที่ย้อนกลับ (ตั้งแต่เราสร้างมันไปข้างหลัง) ของลำดับที่ถูกต้อง ลำดับที่ถูกต้องถ้าองค์ประกอบที่ n (ที่เราเริ่มนับที่ 1) มีโหนดมากที่สุด n และไม่มีต้นไม้ homeomorphically ฝังลงในภายหลัง

mainพิมพ์ออกมามีขนาดเล็กที่สุดเช่นว่าไม่มีลำดับที่ถูกต้องของความยาวnn

เนื่องจากTREE(3)ถูกกำหนดให้เป็นความยาวของลำดับที่ถูกต้องที่ยาวที่สุดTREE(3)+1จึงมีขนาดเล็กที่สุดnที่ไม่มีลำดับความยาวที่ถูกต้องnซึ่งเป็นสิ่งที่โปรแกรมของฉันส่งออก

งูหลาม 2 194 ไบต์ ~ H _{ψ (โอห์ม^{โอห์มโอห์ม} )} (9)

โดยที่Hคือลำดับชั้นของ Hardy และψคือฟังก์ชันการยุบตามลำดับด้านล่างของลำดับ Bachmann-Howard ที่กำหนดโดย Pohlers

ขอบคุณ Jonathan Frech สำหรับ -3 ไบต์

def S (T): return 0if T == 1else [S (T [0])] + T [1:]
def R (T): U = T [0]; V = T [1:]; exec "global B; B = T" * (T [-1] == 0); return [S (B)] + V ถ้า U == 1else [R (U)] * c + V ถ้า U เป็น V
A = [[[1,1] 1], 0]
c = 9
ในขณะที่ A: A = R (A); c * = c
พิมพ์ c

ลองออนไลน์!

รุ่นเว้นวรรคที่ดีกว่า:

def S (T):
  ส่งคืน 0 ถ้า T == 1 อื่น [S (T [0])] + T [1:]

def R (T):
  U = T [0]
  v = T [1:]
  ทั่วโลก B
  ถ้า T [-1] == 0:
    B = T
  ถ้า U == 1: 
    ส่งคืน [S (B)] + V
  ส่งคืน [R (U)] * c + V ถ้าเป็น U อื่น V

A = [[[1,1] 1], 0]
c = 9
ในขณะที่:
  A = R (A)
  * c = C
พิมพ์ c

คำอธิบาย:

โปรแกรมนี้ใช้ชุดตัวแปรของBuchholz hydraโดยใช้เพียงป้ายกำกับของ 0 และ 1 โดยทั่วไปในแต่ละขั้นตอนเราจะดูที่โหนดใบแรกของต้นไม้และดูว่ามันมีป้ายกำกับด้วย 0 หรือ 1

- หากโหนดใบมีป้ายกำกับด้วย 0 จากนั้นเราจะลบโหนดใบแล้วคัดลอกต้นไม้ที่เริ่มต้นจากหลักของโหนดใบคครั้งคัดลอกทั้งหมดที่เชื่อมต่อกับปู่ย่าตายายของโหนดใบ

- หากโหนดใบไม้มีป้ายกำกับด้วย 1 เราจะค้นหากลับไปที่รูทจนกว่าเราจะไปถึงโหนดบรรพบุรุษที่มีเลเบลเป็น 0 ให้ S เป็นต้นไม้ที่เริ่มต้นจากโหนดบรรพบุรุษนั้น ให้ S 'เป็น S ด้วยโหนดใบไม้ที่ถูก relabelled ด้วย 0 แทนที่โหนดใบไม้ด้วย S'

จากนั้นเราทำซ้ำกระบวนการจนกว่าเราจะไม่มีอะไรเหลือนอกจากโหนดรูท

โปรแกรมนี้แตกต่างจากขั้นตอนไฮดรา Buchholz ปกติในสองวิธี: ขั้นแรกหลังจากที่เราทำขั้นตอนข้างต้นเราจะทำการแบ็คอัพต้นไม้และทำขั้นตอนการทำสำเนาฉลาก 0 ที่อธิบายไว้ข้างต้นสำหรับโหนดบรรพบุรุษของโหนดใบเดิม สิ่งนี้จะเพิ่มขนาดของต้นไม้ดังนั้นขั้นตอนของเราจะใช้เวลานานกว่าปกติไฮดราของ Buchholz และนำไปสู่จำนวนที่มากขึ้นในที่สุด อย่างไรก็ตามมันจะยังคงยุติลงเพราะลำดับที่เกี่ยวข้องกับต้นไม้ใหม่จะยังคงเป็นต้นไม้เก่าน้อยลง ความแตกต่างอื่น ๆ คือแทนที่จะเริ่มต้นด้วย c = 1 และเพิ่มขึ้น 1 ในแต่ละครั้งเราเริ่มต้นด้วย c = 9 และยกกำลังสองในแต่ละครั้งเพราะเหตุใด

ต้นไม้ [[[1,1] 1], 0] สอดคล้องกับลำดับψ (โอห์ม^{โอห์มโอห์ม} ) ซึ่งเป็นอย่างมากมีขนาดใหญ่กว่าθลำดับ (โอห์ม^{โอห์ม}โอห์ม) และอื่น ๆ ของเราส่งผลให้ตัวเลขสุดท้ายของเกี่ยวกับ H _{ψ (โอห์ม^{โอห์มโอห์ม} )} (9) แน่นอนจะเกิน TREE (3)

ทับทิม 140 ไบต์ ~ H _{ψ (โอห์ม^{โอห์มโอห์ม} )} (81)

ที่Hเป็นลำดับชั้นของฮาร์ดี้และψเป็นมาตรฐานลำดับฟังก์ชั่นการยุบด้านล่าง Bachmann-โฮเวิร์ดลำดับตามที่กำหนดไว้ที่นี่

s=->t{*v,u=t;t==1?[]:v<<s[u]}
r=->t{*v,u=t;$b=t[0][0]?$b:t;u==1?v<<s[$b]:u[0]?v+[r[u]]*$c:v}
$c=9
a=[],[1,[1,1]]
($c*=9;a=r[a])while a[0]
$c

ลองออนไลน์!

เวอร์ชันที่ไม่ถูกปรับแต่ง:

def S (a)
  * v, u = a
  ถ้า a == 1 
    คืน []
  อื่น
    return v + [S (u)]
  ปลาย
ปลาย  

def R (t)
  * v, u = t
  ถ้า t [0] == []
    $ b = t
  ปลาย
  ถ้าคุณ == 1
    return v + [S ($ b)]
  elsif u == []
    กลับโวลต์
  อื่น
    return v + [R (u)] * $ c
  ปลาย
ปลาย

$ c = 9

a = [[], [1, [1,1]]]

ในขณะที่! = [] ทำ
  $ c * = 9
  a = R (a)
ปลาย

พิมพ์ $ c

โปรแกรมนี้ใช้ไฮดรา Buchholz กับโหนดที่ติดป้ายด้วย [] และ 1 ของตามที่อธิบายไว้ในรายการ Python 2 ของฉัน

ต้นไม้ [[] [1, [1,1]]] สอดคล้องกับลำดับψ (โอห์ม^{โอห์มโอห์ม} ) ซึ่งเป็นอย่างมากมีขนาดใหญ่กว่าθลำดับ (โอห์ม^{โอห์ม}โอห์ม) = ψ (โอห์ม^{โอห์มโอห์มโอห์ม} ) และ เพื่อให้เราส่งผลให้ตัวเลขสุดท้ายของเกี่ยวกับ H _{ψ (โอห์ม^{โอห์มโอห์ม} )} (81) จะเกิน TREE (3)

Julia, 569 bytes, หมายเลข Loader

r,/,a=0,div,0;¬x=x/2;r<s=r?s:0;y\x=y-~y<<x;+x=global r=(x%2!=0)<1+(+¬x);!x=¬x>>+x;√x=S(4,13,-4,x);S(v,y,c,t)=(!t;f=x=r;f!=2?f>2?f!=v?t-(f>v)%2*c:y:f\(S(v,y,c,!x)\S(v+2,t=√y,c,+x)):S(v,y,c,!x)$S(v,y,c,+x));y$x=!y!=1?5<<y\x:S(4,x,4,+r);D(x)=(c=0;t=7;u=14;while(x!=0&&D(x-1);(x=¬x)%2!=0)d=!!D(x);f=!r;x=!r;c==r<((!u!=0||!r!=f||(x=¬x)%2!=0)<(u=S(4,d,4,r);t=t$d);¬f&(x=¬x)%2!=0<(c=d\c;t=√t;u=√u));(c!=0&&(x=¬x)%2!=0)<(t=((~u&2|(x=¬x)%2!=0)<(u=1<<(!c\u)))\(!c\t);c=r);¬u&(x=¬x)%2!=0<(c=t\c;u=√t;t=9)end;global a=(t\(u\(x\c)))\a);D(D(D(D(D(BigInt(99))))))

เพื่อช่วยตัวฉันเองให้ทำงานได้อย่างมีประสิทธิภาพฉันตัดสินใจที่จะย้าย Loader.c ไปยัง Julia เกือบหนึ่งต่อหนึ่งและกระชับลงในบล็อกของรหัสด้านบน สำหรับผู้ที่ต้องการทำการเปรียบเทียบด้วยตนเอง (เพื่อตรวจสอบการให้คะแนนของฉันหรือเพื่อช่วยฉันหาข้อผิดพลาดหรือปรับปรุงรหัสของฉัน) รุ่นที่ไม่ได้บรรจุอยู่ด้านล่าง:

r,/,a=0,div,0;
¬x=x/2;
r<s=r?s:0;
y\x=y-~y<<x;
+x=global r=(x%2!=0)<1+(+¬x);
!x=¬x>>+x;
√x=S(4,13,-4,x);
S(v,y,c,t)=(
    !t;
    f=x=r;
    f!=2?
        f>2?
            f!=v?
                t-(f>v)%2*c
                :y
            :f\(S(v,y,c,!x)\S(v+2,t=√y,c,+x))
        :S(v,y,c,!x)$S(v,y,c,+x)
);
y$x=!y!=1?5<<y\x:S(4,x,4,+r);
D(x)=(
    c=0;
    t=7;
    u=14;
    while(x!=0&&D(x-1);(x=¬x)%2!=0) 
        d=!!D(x);
        f=!r;
        x=!r;
        c==r<(
            (!u!=0||!r!=f||(x=¬x)%2!=0)<(
                u=S(4,d,4,r);
                t=t$d
            );
            ¬f&(x=¬x)%2!=0<(
                c=d\c;
                t=√t;
                u=√u
            )
        );
        (c!=0&&(x=¬x)%2!=0)<(
            t=((~u&2|(x=¬x)%2!=0)<(u=1<<(!c\u)))\(!c\t);
            c=r
        );
        ¬u&(x=¬x)%2!=0<(
            c=t\c;
            u=√t;
            t=9
        )
    end;
    global a=(t\(u\(x\c)))\a
);
D(D(D(D(D(BigInt(99))))))

ไม่มีการนับก่อนหน้านี้เพราะฉันทำจำนวนไบต์ในการเล่นกอล์ฟที่ดุเดือดจนเกินไป

JavaScript, 190B, H _{ψ (εΩ + 1 )} (9) _{อ้างอิงจากการวิเคราะห์นี้}

A=[0,1,2];B=[0,1,2];for(F=C=9;F;F--){for(C++,G=0;G<=F;G++)(A[F]||A[F-G]<A[F]-H)&&(B[F]?(I=G,G=F):(H=A[F]-A[F-G],B[F-G]<B[F]&&(I=G,G=F)));for(J=0;J<C*I;J++)A[F]=A[F-I]+H,B[F]=B[F-I],F++;H=0}C

โปรแกรมนี้เป็นรุ่นที่ปรับเปลี่ยนนี้ 225B คู่ลำดับแปลจำนวนใน JavaScript จำนวนคู่ลำดับและรหัสเดิมของพวกเขาดูที่นี่

การแก้ไขเสร็จสิ้น:

• มันอยู่ใน JavaScript แทน BASIC
• ไม่มีการวนซ้ำ (f _{ψ ( Ωω +1)} -> f _{ψ ( Ωω )} )
• ลำดับคือ (0,0) (1,1) (2,2) ซึ่งสอดคล้องกับลำดับψ (εΩ _{+ 1} ) _{นี่คือลำดับที่ Hardy - ลำดับชั้น}