งานของคุณคือการเขียนโปรแกรมฟังก์ชั่นทางคณิตศาสตร์sที่ใช้ชุดAจุดที่ไม่มีขอบเขต จำกัดในระนาบ 2D และส่งออกคะแนนไม่เป็นวงกลมs(A)ที่ตรงตามคุณสมบัติต่อไปนี้:

1. บวกความชัดเจน : ถ้ามีเป็นวงกลมหรือเป็นเส้นตรงที่มีทุกจุดแล้วA s(A) = 0มิฉะนั้นs(A) > 0

2. Surjectivity:มันเป็น surjective กับตัวเลขจริงไม่เป็นลบหมายความว่าจำนวนจริงทุก nonnegative rมีเซต จำกัดของเครื่องบินดังกล่าวว่าAs(A) = r

3. แปล Invariance: sคงที่แปลถ้าs(A) = s(A + v)ทุกเวกเตอร์และสำหรับทั้งหมดvA

4. ชั่ง Invariance: sเป็นขนาดคงที่ถ้าs(A) = s(A * t)ทุกและสำหรับทั้งหมดt≠0A

5. ความต่อเนื่อง sว่ากันว่าต่อเนื่องถ้าฟังก์ชั่นf(p) := s(A ∪ {p})(การทำแผนที่จุดหนึ่งpไปยังจำนวนจริง) นั้นต่อเนื่องโดยใช้ค่าสัมบูรณ์มาตรฐานกับจำนวนจริงและมาตรฐานปริภูมิแบบยุคลิดบนจุดของระนาบ

การพูดอย่างไร้เหตุผลในระดับคะแนนนี้สามารถคิดได้ว่าเป็นสิ่งที่คล้ายกับค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ในการถดถอยเชิงเส้น

รายละเอียด

หน้าที่ของคุณในทางทฤษฎีต้องทำงานใน reals แต่เพื่อความท้าทายนี้คุณสามารถใช้ตัวเลขทศนิยมแทน โปรดระบุคำอธิบายของการส่งของคุณและการโต้แย้งว่าทำไมคุณสมบัติทั้งห้านี้ถือ คุณสามารถใช้สองรายการพิกัดหรือรายการของ tuples หรือรูปแบบที่คล้ายกันเป็นอินพุต คุณสามารถสันนิษฐานได้ว่าไม่มีการใส่จุดในอินพุตซ้ำนั่นคือทุกจุดจะไม่ซ้ำกัน

Python 2 ที่มีจำนวน 116 ไบต์

from numpy import*
def f(x,y):a=linalg.lstsq(hstack((x,y,ones_like(x))),(x*x+y*y)/2);return a[1]/sum((x-a[0][0])**4)

รับค่า x และ y เป็นเวกเตอร์คอลัมน์ 2d และส่งกลับอาร์เรย์ที่มีคำตอบ โปรดทราบว่าสิ่งนี้จะให้อาร์เรย์ที่ว่างเปล่าสำหรับเส้นตรงที่สมบูรณ์หรือมี 3 จุดหรือน้อยกว่า ฉันคิดว่า lstsq ไม่เหลือสิ่งใดหากมีขนาดที่พอดี

คำอธิบาย

โดยพื้นฐานแล้วสิ่งนี้จะพบว่าวงกลมที่เหมาะสมที่สุดและรับส่วนที่เหลือเป็นรูปสี่เหลี่ยม

(x - x_center)^2 + (y - y_center)^2 - R^2เราต้องการที่จะลด มันดูน่ารังเกียจและไม่เชิงเส้น แต่เราสามารถเขียนว่าx_center(-2x) + y_center(-2y) + stuff = x^2 + y^2ที่stuffยังคงเป็นที่น่ารังเกียจและไม่เชิงเส้นในแง่ของx_center, y_centerและR, แต่เราไม่จำเป็นต้องดูแลเกี่ยวกับเรื่องนี้ ดังนั้นเราสามารถแก้ปัญหา[-2x -2y 1][x_center, y_center, stuff]^T = [x^2 + y^2]ได้

เราสามารถย้อนกลับไปหา R ได้ถ้าเราต้องการจริงๆ แต่นั่นก็ไม่ได้ช่วยอะไรเรามากนัก โชคดีที่ฟังก์ชัน lstsq สามารถให้สิ่งที่เหลือกับเราซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขส่วนใหญ่ การลบจุดศูนย์กลางและการขยายด้วยการ(R^2)^2 = R^4 ~ x^4ให้ค่าคงที่และการแปล

1. นี่คือค่าบวกแน่นอนเนื่องจากค่าเศษกำลังสองไม่เชิงลบและเราหารด้วยกำลังสอง มันมีแนวโน้มเป็น 0 สำหรับวงกลมและเส้นเนื่องจากเราใส่วงกลมให้พอดี
2. ฉันค่อนข้างแน่ใจว่ามันไม่ได้ยอดเยี่ยม แต่ฉันไม่สามารถผูกมัดได้ดี หากมีขอบเขตบนเราสามารถแมป [0 ถูกผูกไว้) กับค่าที่ไม่ใช่เชิงลบ (ตัวอย่างเช่นด้วย 1 / (ผูกคำตอบ) - 1 / ผูก) อีกสองสามไบต์
3. เราลบศูนย์ออกไปดังนั้นมันจึงไม่แปรเปลี่ยนแปล
4. เราหารด้วย x ** 4 ซึ่งกำจัดการพึ่งพาสเกล
5. มันประกอบด้วยฟังก์ชั่นต่อเนื่องดังนั้นมันจึงต่อเนื่อง

Python ขนาด 124 ไบต์

lambda A:sum(r.imag**2/2**abs(r)for a in A for b in A for c in A for d in A if a!=d!=b!=c for r in[(a-c)*(b-d)/(a-d)/(b-c)])

ใช้เวลาเป็นลำดับของตัวเลขที่ซับซ้อน (ก) และสรุปอิ่ม ( R ) ² /2 ^{| r |} สำหรับทุกความซับซ้อนข้ามอัตราส่วน- rของสี่จุดในx + 1j*y

คุณสมบัติ

1. ความชัดเจนเชิงบวกคำศัพท์ทั้งหมดนั้นไม่จำเป็นและเป็นศูนย์ทั้งหมดเมื่ออัตราส่วนข้ามทั้งหมดเป็นของจริงซึ่งเกิดขึ้นเมื่อคะแนนเป็นเส้นตรงหรือเส้นตรง

2. Surjectivity เนื่องจากผลรวมสามารถทำให้มีขนาดใหญ่โดยพลการโดยการเพิ่มหลาย ๆ คะแนนความดุเดือดจะตามมาจากความต่อเนื่อง

3. ค่าคงที่การแปล ข้ามอัตราส่วนคือการแปลคงที่

4. สเกลค่าคงที่ ข้ามอัตราส่วนคือขนาดคงที่ (อันที่จริงมันคงที่ภายใต้การแปลงMöbiusทั้งหมด)

5. ความต่อเนื่อง ข้ามอัตราส่วนแผนที่อย่างต่อเนื่องเพื่อซับซ้อนเครื่องบินขยายและR ↦อิ่ม ( R ) ² /2 ^{| r |} (กับ∞↦ 0) เป็นแผนที่ต่อเนื่องจากระนาบเชิงซ้อนที่ขยายออกไปถึง reals

(หมายเหตุ: แผนที่ที่สวยกว่าตามทฤษฎีที่มีคุณสมบัติเหมือนกันคือr ↦ (Im ( r ) / ( C + | r | ² )) ²ซึ่งมีเส้นชั้นความสูง wrt ทั้งสี่จุดของอัตราส่วนข้ามเป็นวงกลมถ้าคุณต้องการ คุณอาจต้องการอันนั้น)