พื้นหลัง

ตารางสามเหลี่ยมเป็นตารางที่เกิดขึ้นจากการปูกระเบื้องเครื่องบินเป็นประจำกับรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าของความยาวด้าน 1. ภาพด้านล่างเป็นตัวอย่างของตารางสามเหลี่ยม

จุดตาข่ายสามเหลี่ยมเป็นจุดสุดยอดของรูปสามเหลี่ยมรูปสามเหลี่ยมตาราง

กำเนิดเป็นจุดคงที่บนเครื่องบินซึ่งเป็นหนึ่งในจุดตาข่ายสามเหลี่ยม

ท้าทาย

ได้รับจำนวนเต็มไม่เป็นลบn, nค้นหาหมายเลขของจุดขัดแตะรูปสามเหลี่ยมที่มีระยะทางยุคลิดจากจุดกำเนิดคือน้อยกว่าหรือเท่ากับ

ตัวอย่าง

รูปต่อไปนี้เป็นตัวอย่างสำหรับn = 7(แสดงเฉพาะพื้นที่ 60 องศาเพื่อความสะดวกโดยมีจุด A เป็นจุดกำเนิด):

กรณีทดสอบ

Input | Output
---------------
    0 |       1
    1 |       7
    2 |      19
    3 |      37
    4 |      61
    5 |      91
    6 |     127
    7 |     187
    8 |     241
    9 |     301
   10 |     367
   11 |     439
   12 |     517
   13 |     613
   14 |     721
   15 |     823
   16 |     931
   17 |    1045
   18 |    1165
   19 |    1303
   20 |    1459
   40 |    5815
   60 |   13057
   80 |   23233
  100 |   36295
  200 |  145051
  500 |  906901
 1000 | 3627559

คำแนะนำ : ลำดับนี้คือไม่ OEIS A003215

กฎระเบียบ

กฎระเบียบมาตรฐานสำหรับรหัสกอล์ฟสมัคร การส่งที่สั้นที่สุดชนะ

โปรดระบุวิธีแก้ไขข้อท้าทายในการส่งของคุณ

code-golf math geometry

— bubbler
แหล่งที่มา

7

OEIS A053416คือลำดับของจำนวนจุดที่มีอยู่ในวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางมากกว่ารัศมีnดังนั้นจึงมีคำสองเท่าตามที่คุณต้องการ

— Neil

ที่เกี่ยวข้องวิกิพีเดียและMathworld มีสูตรของ xnor และไม่สามารถพิสูจน์ได้

— user202729

4

มันคือผลรวมของแรกn^2+1แง่ของOEIS A004016

— alephalpha

49

Python 2 , 43 ไบต์

f=lambda n,a=1:n*n<a/3or n*n/a*6-f(n,a+a%3)

ลองออนไลน์!

นี่คือมนต์ดำ

~~เสนอ 250 ตัวแทนสำหรับหลักฐานที่เป็นลายลักษณ์อักษร~~ ดูคำตอบของลินน์หาหลักฐานและคำอธิบาย

— XNOR
แหล่งที่มา

7

มันทำงานอย่างไร ฉันสงสัยมา 30 นาทีแล้ว ... มันดูเรียบง่าย แต่ฉันไม่สามารถหาความสัมพันธ์ระหว่างการเที่ยวซ้ำกับแวดวง ...

— จองฮันมิน

7

@JungHwanMin หลักฐานของฉันคือการเดินทางครั้งยิ่งใหญ่ผ่านเรขาคณิตระนาบจำนวนเต็ม Eisenstein การแยกตัวประกอบผ่านเขตข้อมูลจำนวนการแลกเปลี่ยนกำลังสองกำลังสองการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ การเขียนมันทั้งหมดจะเป็นภารกิจสำคัญที่ฉันไม่มีเวลาในตอนนี้ดังนั้นฉันหวังว่าจะมีคนอื่นที่จะให้การพิสูจน์น่าจะง่ายกว่าที่ฉันจะทำให้การเชื่อมต่อชัดเจนขึ้น

— xnor

14

พิสูจน์ สิ่งนี้ยาวกว่าของ Lynn แต่มีอยู่ในตัวเองมากกว่า: มันไม่ได้ใช้การยืนยันที่ไม่ได้รับการพิสูจน์เกี่ยวกับการแยกตัวประกอบของจำนวนเต็ม Eisenstein

— Peter Taylor

2

@PeterTaylor Cheddar Monk? เช่นเดียวกับ Darths & Droids?

— Neil

3

@ Neil ขอแสดงความยินดีกับการเป็นคนแรกที่เคยถาม! ฉันลงทะเบียนโดเมนเพื่อใช้เป็นชิปต่อรองสำหรับการเจรจาระดับ 1 ในสถาบันการศึกษา

— Peter Taylor

30

Haskell , 48 ไบต์

f n=1+6*sum[(mod(i+1)3-1)*div(n^2)i|i<-[1..n^2]]

ลองออนไลน์!

ใช้สูตร "มนต์ดำ" ของ xnor:

f (n) = 1 + 6 \sum_{a = 0}^{\infty} ⌊ \frac{n^{2}}{3 a + 1} ⌋ - ⌊ \frac{n^{2}}{3 a + 2} ⌋

$f(n)=1+6\sum_{a=0}^\infty \left\lfloor \frac{n^2}{3a+1}\right\rfloor - \left\lfloor \frac{n^2}{3a+2}\right\rfloor$

พิสูจน์ความถูกต้องของตนและคำอธิบายวิธี XNOR การจัดการที่จะแสดงมันออกมาใน 43 ไบต์ของงูใหญ่สามารถพบได้ที่นี่

$1 \le N \le n^2$ $N = (x+y\omega)(x+y\omega^*)$ $(x,y)$

$6 \times ((# of divisors of N \equiv 1 (mod 3)) - (# of divisors of N \equiv 2 (mod 3)))$ $6 \times ((\text{# of divisors of }N \equiv 1\space(\text{mod }3)) - (\text{# of divisors of }N \equiv 2\space(\text{mod }3)))$
$1$ $n^2$

— ลินน์
แหล่งที่มา

4

ฉันไม่ได้คาดหวังสิ่งนี้อย่างแน่นอนเมื่อ xnor พูดว่า "มีข้อมูลเชิงลึกทางคณิตศาสตร์บางประการเกี่ยวกับการตีกอล์ฟ"

— Bubbler

29

ภาษา Wolfram (Mathematica) , 53 51 50 ไบต์

^{-1 ไบต์ขอบคุณ @miles}

Sum[Boole[x(x+y)+y^2<=#^2],{x,-2#,2#},{y,-2#,2#}]&

ลองออนไลน์!

อย่างไร?

แทนที่จะคิดในสิ่งนี้:

ลองคิดดูสิ:

ดังนั้นเราจึงใช้เมทริกซ์[[sqrt(3)/2, 0], [1/2, 1]]เปลี่ยนรูปเพื่อแปลงรูปที่สองเป็นอันแรก

จากนั้นเราจะต้องค้นหาวงกลมในตารางสามเหลี่ยมในแง่ของพิกัดคาร์ทีเซียน

(sqrt(3)/2 x)^2 + (1/2 x + y)^2 = x^2 + x y + y^2

ดังนั้นเราจึงพบจุดขัดแตะx, yเช่นนั้นx^2 + x y + y^2 <= r^2

ตัวอย่างเช่นด้วยr = 3:

— จองฮมิน
แหล่งที่มา

1

FYI สูตรx^2+x y+y^2นี้ยังสามารถได้มาจากกฎของ Cosinesด้วย 120 องศา

— Bubbler

3

x^2+x y+y^2-> x(x+y)+y^2บันทึกไบต์

— ไมล์

สูตรx^2 + xy + y^2นี้ยังสามารถนำมาจากบรรทัดฐานของจำนวนเต็ม Eistenstein a^2 - ab + b^2ซึ่งเป็น โปรดทราบว่าสัญญาณของaและbไม่เกี่ยวข้องยกเว้นในระยะabจึงมีวิธีการแก้ปัญหาจำนวนเดียวกัน

— orlp

9

ภาษา Wolfram (Mathematica)ขนาด 48 ไบต์

ขึ้นอยู่กับ OEIS A004016

1+6Sum[DivisorSum[i,#~JacobiSymbol~3&],{i,#^2}]&

ลองออนไลน์!

— alephalpha
แหล่งที่มา

7

CJam (24 ไบต์)

{_*_,f{)_)3%(@@/*}1b6*)}

นี่คือบล็อกที่ไม่ระบุชื่อ (ฟังก์ชัน) ซึ่งรับอาร์กิวเมนต์หนึ่งตัวบนสแต็กและปล่อยผลลัพธ์ไว้บนสแต็ก ชุดทดสอบออนไลน์ โปรดทราบว่าทั้งสองกรณีที่ใหญ่ที่สุดช้าเกินไป

คำอธิบาย

alephalphaตั้งข้อสังเกตในความเห็นเกี่ยวกับคำถามที่ว่า

มันคือผลรวมของเงื่อนไข n ^ 2 + 1 แรกของOEIS A004016

f (n) = 1 + 6 \sum_{a = 0}^{\infty} ⌊ \frac{n^{2}}{3 a + 1} ⌋ - ⌊ \frac{n^{2}}{3 a + 2} ⌋

$f(n) = 1 + 6 \sum_{a=0}^\infty \left\lfloor\frac{n^2}{3a+1}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{n^2}{3a+2}\right\rfloor$

การพิสูจน์ความถูกต้องของสูตรนั้นขึ้นอยู่กับข้อมูลบางส่วนที่รวบรวมได้จากลิงก์ OEIS ของ alephalpha:

Gf: 1 + 6 * ผลรวม _ {n> = 1} x ^ (3 * n-2) / (1-x ^ (3 * n-2)) - x ^ (3 * n-1) / (1- x ^ (3 * n-1)) - Paul D. Hanna, Jul 03 2011

$x^a$

\prod_{k = 0}^{\infty} (1 - q^{k + 1}) (1 + x q^{k + 1}) (1 + x^{- 1} q^{k}) = \sum_{k \in Z} q^{k (k + 1) / 2} x^{k}

$\prod_{k=0}^\infty (1-q^{k+1})(1 + xq^{k+1})(1 + x^{-1}q^k) = \sum_{k\in \mathbb{Z}} q^{k(k+1)/2}x^k$

\sum_{m, n \in Z} ω^{m - n} q^{m^{2} + m n + n^{2}} = \prod_{k = 1}^{\infty} \frac{(1 - q^{k})^{3}}{1 - q^{3 k}}

$\sum_{m,n \in \mathbb{Z}} \omega^{m-n} q^{m^2+mn+n^2} = \prod_{k=1}^\infty \frac{(1-q^k)^3}{1-q^{3k}}$

ω

$\omega$

\sum_{m, n \in Z} q^{m^{2} + m n + n^{2}} = 1 + 6 \sum_{k \geq 0} (\frac{q^{3 k + 1}}{1 - q^{3 k + 1}} - \frac{q^{3 k + 2}}{1 - q^{3 k + 2}})

$\sum_{m,n \in \mathbb{Z}} q^{m^2+mn+n^2} = 1 + 6 \sum_{k \ge 0} \left(\frac{q^{3k+1}}{1-q^{3k+1}} - \frac{q^{3k+2}}{1-q^{3k+2}} \right)$

การแยกรหัส

{          e# Define a block. Stack: ... r
  _*       e#   Square it
  _,f{     e#   Map with parameter: invokes block for (r^2, 0), (r^2, 1), ... (r^2, r^2-1)
    )      e#     Increment second parameter. Stack: ... r^2 x with 1 <= x <= r^2
    _)3%(  e#     Duplicate x and map to whichever of 0, 1, -1 is equal to it (mod 3)
    @@/*   e#     Evaluate (r^2 / x) * (x mod 3)
  }
  1b6*     e#   Sum and multiply by 6
  )        e#   Increment to count the point at the origin
}

— ปีเตอร์เทย์เลอร์
แหล่งที่มา

4

J , 27 ไบต์

[:+/@,*:>:(*++&*:)"{~@i:@+:

ลองออนไลน์!

ขึ้นอยู่กับมินจองฮวานวิธี

คำอธิบาย

[:+/@,*:>:(*++&*:)"{~@i:@+:  Input: n
                         +:  Double
                      i:     Range [-2n .. 2n]
                  "{~        For each pair (x, y)
                *:             Square both x and y
              +                Add x^2 and y^2
             +                 Plus
            *                  Product of x and y
        >:                   Less than or equal to
      *:                     Square of n
     ,                       Flatten
  +/                         Reduce by addition

— ไมล์
แหล่งที่มา

4

APL (Dyalog Classic)ขนาด 23 ไบต์

{1+6×+/-/⌊⍵÷1+3⊥¨⍳⍵2}×⍨

ลองออนไลน์!

ส่วยให้คำตอบของ xnorและlynn

การทดสอบครั้งสุดท้ายถูกคอมเม้นต์เนื่องจากต้องการหน่วยความจำเพิ่มเช่นMAXWS=200Mใน env

— NGN
แหล่งที่มา

3

เยลลี่ขนาด 14 ไบต์

ḤŒR+²_×ʋþ`F½»ċ

ใช้@ วิธี

ลองออนไลน์!

— เดนนิส
แหล่งที่มา

3

เยลลี่ , 15 13 ไบต์

-2 ต้องขอบคุณเดนนิส (เพียงเพิ่มตารางเพื่อหลีกเลี่ยงการรวมศูนย์เป็นศูนย์; หลีกเลี่ยงการใช้หัวโดยใช้โมดูโล - ชิ้นที่แตกต่างกันแทนที่จะเป็นชิ้นก่อนความแตกต่าง)

^{ใช้วิธี "มนต์ดำ" ในการสร้างคำตอบที่ถูกเปิดเผยโดย xnor ในคำตอบของPythonแต่ใช้การวนซ้ำมากกว่าการเรียกซ้ำ (และการคำนวณน้อยกว่าเล็กน้อย)}

²:Ð€‘$Im3S×6C

ลิงก์ monadic ยอมรับจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและส่งคืนจำนวนเต็มบวก

ลองออนไลน์! หรือดูการทดสอบในตัว

อย่างไร?

²:Ð€‘$Im3S×6C - Main Link: non-negative integer, n     e.g. 7
²             - square                                     49
     $        - last two links as a monad:
    ‘         -   increment                                50
  Ð€          -   map across (implicit range of) right with:
 :            -     integer division                       [49,24,16,12,9,8,7,6,5,4,4,4,3,3,3,3,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0]
      I       - incremental differences                    [-25,-8,-4,-3,-1,-1,-1,-1,-1,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1]
       m3     - every third element                        [-25,-3,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1]
         S    - sum (vectorises)                           -31
          ×6  - multiply by six                           -186
            C - complement (1-X)                           187

— Jonathan Allan
แหล่งที่มา

2

JavaScript (ES6), 65 ไบต์

นี่คือพอร์ตของ@ วิธีการแก้ปัญหาของ

f=(n,y=x=w=n*2)=>y-~w&&(x*x+x*y+y*y<=n*n)+f(n,y-=--x<-w&&(x=w,1))

ลองออนไลน์!

คำตอบเดิม (ES7), 70 ไบต์

เพียงเดินผ่านกริดและนับคะแนนที่ตรงกัน

f=(n,y=x=n*=2)=>y+n+2&&(x*x*3+(y-x%2)**2<=n*n)+f(n,y-=--x<-n&&(x=n,2))

ลองออนไลน์!

— Arnauld
แหล่งที่มา

การย้ายคำตอบของ xnor นั้นสั้นกว่า: 42 ไบต์ (เอาท์พุทtrueแทน1; 46 ถ้าเรายังหารจำนวนเต็มด้วย) และฉันไม่รู้จัก JavaScript ดีพอที่จะเล่นกอล์ฟจำนวนเต็ม~~(a/b)แต่ฉันแน่ใจว่ามีวิธีที่สั้นกว่าสำหรับพวกนั้นเช่นกัน ..

— Kevin Cruijssen

1

Java 8, 65 ไบต์

n->f(n,1)int f(int n,int a){return n*n<a/3?1:n*n/a*6-f(n,a+a%3);}

ท่าเรือ@xnor 's งูหลาม 2 คำตอบ

ลองออนไลน์

— Kevin Cruijssen
แหล่งที่มา

1

Pari / GP , 42 ไบต์

การใช้งานในqfrepตัว

n->1+2*vecsum(Vec(qfrep([2,1;1,2],n^2,1)))

qfrep (q, B, {flag = 0}): vector ของ (ครึ่ง) จำนวนเวกเตอร์ของ norms จาก 1 ถึง B สำหรับรูปแบบสมการกำลังสองหนึ่งรูป หากการตั้งค่าสถานะเป็น 1 ให้นับเวกเตอร์ของค่ามาตรฐานจาก 1 ถึง 2B

ลองออนไลน์!

— alephalpha
แหล่งที่มา

0

C # (Visual C # Interactive Compiler) , 68 ไบต์

n=>{int g(int x,int y)=>x*x<y/3?1:x*x/y*6-g(x,y+y%3);return g(n,1);}

ลองออนไลน์!

เหมือนกับทุกคนอย่างน่าเสียดาย ฉันรู้ว่าอาจเป็นวิธีที่ดีกว่าในการเขียนนี้ แต่การประกาศและเรียกแลมบ์ดาในเวลาเดียวกันใน c # ไม่ใช่สิ่งที่ฉันทำได้ดีเลยทีเดียว แม้ว่าในการป้องกันของฉันฉันไม่สามารถคิดเหตุผลที่ดี (นอกรหัสกอล์ฟแน่นอน) ให้ทำ ถึงกระนั้นถ้ามีคนรู้ว่าคุณสามารถทำได้ให้ฉันรู้และ / หรือขโมยเครดิตฉันเดา

— Andrew Baumher
แหล่งที่มา

0

ภาษา Wolfram (Mathematica)ขนาด 39 ไบต์

Length@Solve[x(x+y)+y^2<=#^2,Integers]&

ลองออนไลน์!

ใช้การแปลงพิกัดของ JungHwan Minและนับการแก้ปัญหาด้วยจำนวนเต็ม

— โรมัน
แหล่งที่มา

0

05AB1E , 15 ไบต์

nD>L÷¥ā3%ÏO6*±Ì

ท่าเรือ@JonathanAllanคำตอบวุ้นซึ่งเป็นอนุพันธ์จาก@ XNOR ของ 'มนต์ดำ' สูตร

ลองมันออนไลน์หรือตรวจสอบกรณีทดสอบทั้งหมด

คำอธิบาย:

n                # Square the (implicit) input-integer
 D>              # Duplicate it, and increase the copy by 1
   L             # Create a list in the range [1, input^2+1]
    ÷            # Integer divide input^2 by each of these integers
     ¥           # Take the deltas
      ā          # Push a list in the range [1, length] without popping the deltas itself
       3%        # Modulo each by 3
         Ï       # Only leave the values at the truthy (==1) indices
          O      # Take the sum of this list
           6*    # Multiply it by 6
             ±   # Take the bitwise NOT (-n-1)
              Ì  # And increase it by 2
                 # (after which the result is output implicitly)

— Kevin Cruijssen
แหล่งที่มา

จุดขัดแตะสามเหลี่ยมใกล้กับจุดกำเนิด

พื้นหลัง

ท้าทาย

ตัวอย่าง

กรณีทดสอบ

กฎระเบียบ

Python 2 , 43 ไบต์

Haskell , 48 ไบต์

ภาษา Wolfram (Mathematica) , 53 51 50 ไบต์

อย่างไร?

ภาษา Wolfram (Mathematica)ขนาด 48 ไบต์

CJam (24 ไบต์)

คำอธิบาย

การแยกรหัส

J , 27 ไบต์

คำอธิบาย

APL (Dyalog Classic)ขนาด 23 ไบต์

เยลลี่ขนาด 14 ไบต์

เยลลี่ , 15 13 ไบต์

อย่างไร?

JavaScript (ES6), 65 ไบต์

คำตอบเดิม (ES7), 70 ไบต์

Java 8, 65 ไบต์

Pari / GP , 42 ไบต์

C # (Visual C # Interactive Compiler) , 68 ไบต์

ภาษา Wolfram (Mathematica)ขนาด 39 ไบต์

05AB1E , 15 ไบต์