ฉันได้ตัวเลขมาหลายชุดในวันก่อนและตัดสินใจตรวจสอบหมายเลข OEIS แปลกใจมากที่ลำดับไม่ปรากฏอยู่ในฐานข้อมูล OEIS ดังนั้นฉันจึงตัดสินใจตั้งชื่อลำดับหลังจากตัวเอง (โปรดทราบว่ามีคนที่ฉลาดกว่าฉันมากอาจเกิดขึ้นกับเรื่องนี้และถ้ามีคนพบ ชื่อจริงของลำดับนี้โปรดแสดงความคิดเห็นและฉันจะเปลี่ยนชื่อคำถาม) เนื่องจากฉันไม่สามารถหาลำดับได้ทุกที่ฉันจึงตัดสินใจตั้งชื่อตามตัวเองดังนั้น "Gryphon Numbers" แก้ไข: ขอบคุณ @Surb ที่ทำให้ฉันทราบถึงความจริงที่ว่าลำดับนี้มีค่าเท่ากับลำดับ OEIS A053696 - 1

หมายเลขกริฟฟอนคือตัวเลขของแบบฟอร์มโดยที่ทั้งและเป็นจำนวนเต็มมากกว่าหรือเท่ากับสองและลำดับกริฟฟอนเป็นชุดของหมายเลขกริฟอนทั้งหมดจากน้อยไปหามาก ใบสั่ง. หากมีหลายวิธีในการสร้างหมายเลข Gryphon (ตัวอย่างแรกคือซึ่งทั้งและ ) จำนวนจะถูกนับเพียงครั้งเดียวในลำดับ ครั้งแรกที่ตัวเลข Gryphon ไม่กี่:72$a+a^2+...+a^x$$a$$x$$30$$2+2^2+2^3+2^4$$5+5^2$$6, 12, 14, 20, 30, 39, 42, 56, 62, 72$

งานของคุณ:

เขียนโปรแกรมหรือฟังก์ชั่นที่รับจำนวนเต็มเป็นอินพุทและส่งออกหมายเลขกริฟฟอนที่ $n$$n$

การป้อนข้อมูล:

จำนวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 10,000 (รวม) คุณอาจถือว่าลำดับเป็น 0 หรือดัชนี 1 ดัชนีใดก็ได้ที่คุณต้องการ โปรดระบุระบบการจัดทำดัชนีที่คุณใช้ในคำตอบของคุณเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน

เอาท์พุท:

หมายเลข Gryphon ที่สอดคล้องกับอินพุต

กรณีทดสอบ:

โปรดทราบว่าสิ่งนี้ถือว่าเป็นลำดับ 0 ดัชนี หากโปรแกรมของคุณใช้ลำดับที่มีการจัดทำดัชนี 1 อย่าลืมเพิ่มหมายเลขอินพุตทั้งหมด

Input:    Output:
0   --->  6
3   --->  20
4   --->  30
10  --->  84
99  --->  4692
9999 -->  87525380

เกณฑ์การให้คะแนน:

นี่คือโค้ดกอล์ฟดังนั้นคะแนนต่ำสุดเป็นไบต์ชนะ

เยลลี่ขนาด 9 ไบต์

bṖ’ḅi-µ#Ṫ

โปรแกรมเต็มรูปแบบที่อ่านจำนวนเต็ม (1 ดัชนี) จาก STDIN และพิมพ์ผลลัพธ์

ลองออนไลน์!

อย่างไร?

หมายเลข Gryphon เป็นตัวเลขที่สามารถแสดงได้ในฐานที่น้อยกว่าตัวมันเองซึ่งตัวเลขทั้งหมดนั้นเป็นตัวเลขยกเว้นค่านัยสำคัญที่น้อยที่สุดซึ่งเป็นศูนย์ ตัวอย่างเช่น:

$30=1\times 2^4+1\times 2^3+1\times2^2+1\times2^1+0\times2^0 \rightarrow 30_2 = 11110$

$84=1\times 4^3+1\times 4^2+1\times 4^1+0\times 4^0 \rightarrow 84_4 = 1110$

โปรแกรมนี้ใช้เวลาnจากนั้นเริ่มต้นที่v=0และทดสอบคุณสมบัตินี้และเพิ่มขึ้นvจนกว่าจะพบnตัวเลขดังกล่าวแล้วส่งออกสุดท้าย

หากต้องการทดสอบbหมายเลขฐานมันจะลบหนึ่งหลักออกจากทุกหลักโดยแปลงจากฐานvแล้วตรวจสอบว่าผลลัพธ์คือ$-1$หรือไม่ (โปรดทราบว่าbน้อยกว่าv)

$30_2 \rightarrow 0\times 30^4+0\times 30^3+0\times30^2+0\times30^1+(-1)\times30^0 = -1$

$84_4 \rightarrow 0\times 84^3+0\times 84^2+0\times 84^1+(-1)\times 84^0 = -1$

bṖ’ḅi-µ#Ṫ - Main Link: no arguments
       #  - set v=0 then count up collecting n=STDIN matches of:
      µ   -  the monadic link -- i.e. f(v):  e.g. v=6
 Ṗ        -    pop (implicit range of v)            [1,2,3,4,5]
b         -    to base (vectorises)                 [[1,1,1,1,1,1],[1,1,0],[2,0],[1,2],[1,1]]
  ’       -    decrement (vectorises)               [[0,0,0,0,0,0],[0,0,-1],[1,-1],[0,1],[0,0]]
   ḅ      -    from base (v) (vectorises)           [0,-1,5,1,0]
     -    -    literal -1                           -1
    i     -    first index of (zero if not found)   2
          - }  e.g. n=11 -> [6,12,14,20,30,39,42,56,62,72,84]
        Ṫ - tail         -> 84
          - implicit print

MATL , 16 13 ไบต์

:Qtt!^Ys+uSG)

1-based

ลองออนไลน์!

คำอธิบาย

พิจารณาการป้อนข้อมูลn = 3เป็นตัวอย่าง

:    % Implicit input: n. Range
     % STACK: [1 2 3]
Q    % Add 1, element-wise
     % STACK: [2 3 4]
tt   % Duplicate twice, transpose
     % STACK: [2 3 4], [2 3 4], [2;
                                 3;
                                 4]
^    % Power, element-wise with broadcast
     % STACK: [2 3 4], [ 4   9  16;
                         8  27  64;
                        16  81 256]
Ys   % Cumulative sum of each column
     % STACK: [2 3 4], [ 4    9  16;
                         12  36  80;
                         28 117 336]
+    % Add, element-wise with broadcast (*)
     % STACK: [ 6  12  20;
               14  39  84
               30 120 340]
u    % Unique elements. Gives a column vector
     % STACK: [  6;
                14;
                30;
                12;
               ···
               340]
S    % Sort
     % STACK: [  6;
                12
                14;
                20;
               ···
               340]
G)   % Push input again, index. This gets the n-th element. Implicit display
     % STACK: 14

เมทริกซ์ที่ได้รับในขั้นตอน (*) อาจมีหมายเลขกริฟฟอนซ้ำ ๆ โดยเฉพาะอย่างยิ่งมันมีnหมายเลข Gryphon ที่แตกต่างกันในแถวแรก เหล่านี้ไม่จำเป็นต้องเป็นnตัวเลขกริฟฟินที่เล็กที่สุด อย่างไรก็ตามรายการซ้ายล่าง2+2^+···+2^n เกินรายการบนขวาn+n^2และทำให้ตัวเลขทั้งหมดในแถวสุดท้ายเกินกว่ารายการในแถวแรก นี่ก็หมายความว่าการขยายทางขวาเมทริกซ์หรือลงจะได้มีส่วนร่วมจำนวน Gryphon ใดต่ำกว่าต่ำสุดnตัวเลขในเมทริกซ์ ดังนั้นเมทริกซ์จึงรับประกันว่าจะมีnหมายเลข Gryphon ที่เล็กที่สุด ดังนั้นnองค์ประกอบที่เป็นเอกลักษณ์ต่ำสุดที่ -th คือการแก้ปัญหา

Haskell , 53 ไบต์

([n|n<-[6..],or[a^y+n==n*a+a|a<-[2..n],y<-[3..n]]]!!)

ลองออนไลน์!

$\newcommand{\ta}{{a}}\newcommand{\ti}{{i}}\newcommand{\tx}{{x}}\newcommand{\tn}{{n}}\newcommand{\ty}{{y}}$จำนวน$\tn$เป็น Gryphon ถ้ามีอยู่ integers ≥ 2และx ≥ 2ดังกล่าวที่n = Σ x ฉัน= 1ฉัน$\ta \geq 2$$\tx \geq 2$$\tn=\sum_{i=1}^\tx \ta^i$

เราสร้างรายการที่ไม่มีที่สิ้นสุดของทุก$\tn \geq 6$ดังกล่าวที่แรงเดรัจฉานแสดงให้เห็นว่าการค้นหาเป็นกรณีนี้

คำตอบคือ (ศูนย์จัดทำดัชนี) ฟังก์ชั่นดัชนีลงในรายการนี้แสดงใน Haskell (list!!)เป็น

ทำไมa^y+n==n*a+aถูกต้อง?

จากสูตรสำหรับการสรุปความก้าวหน้าทางเรขาคณิต :

$$\sum_{i=1}^\nu \alpha \rho^{i-1} = \frac{\alpha(1-\rho^\nu)}{1-\rho}$$

เรามีให้$(\alpha, \rho, \nu) = (\ta, \ta, \tx)$ :

การจัดเรียงสมการที่เราได้รับ$n(1-a) = a - a^{x+1}$ 1

จัดว่ายิ่งเราได้รับx + 1 + n = n +$\ta^{\tx+1}+n = \tn \ta + \ta$

ใบแทน$\ty = \tx+1$a^y+n=n*a+aในการค้นหาแรงเดรัจฉานอัตราผลตอบแทนการแสดงออกสุดท้าย

ค้นหาจนnเพียงพอหรือไม่

• หาก> n (ในคำอื่น ๆ≥ n + 1 ) แล้วY + n > 2 ≥ ( n + 1 ) = n + ซึ่งพิสูจน์Y + n ≠ n + ดังนั้นจึงมีความรู้สึกการตรวจสอบค่าใด ๆ ไม่มี> n$\ta > \tn$$\ta \geq \tn+1$

  $$\ta^\ty + \tn > \ta^2 \geq (\tn+1)\ta = \tn\ta + \ta$$ $\ta^\ty+\tn \neq \tn\ta+\ta$$\ta > \tn$

• ในทำนองเดียวกันถ้า$\ty > \tn$แล้วY + n > n = n - 1 ≥ 2 n - 1 * > ( n + 1 ) = n + , ครั้งที่พิสูจน์Y + n ≠ n + a .

  $$\ta^\ty + \tn > \ta^\tn = \ta^{\tn-1}\ta \geq 2^{\tn-1}\ta \stackrel{\color{red}*}> (\tn+1)\ta = \tn\ta + \ta,$$ $\ta^\ty + \tn \neq \tn\ta + \ta$

  ^{$\color{red}{{}^{*}}$เราสามารถสันนิษฐานได้$2^{n-1}>n+1$เพราะเรารู้ว่า$n \geq 6$ซึ่งเป็นหมายเลขกริฟฟอนที่เล็กที่สุด}

Python 3.8 (เผยแพร่ล่วงหน้า) , 98 92 89 78 71 ไบต์

lambda n:sorted({a*~-a**x//~-a for a in(r:=range(2,n+3))for x in r})[n]

ลองออนไลน์!

0 การจัดทำดัชนี ต้องใช้การหารจำนวนเต็มที่นี่เนื่องจาก f (10000) ล้นล้น

$2 \leq a \leq n+2$$2 \leq x \leq n+2$$n$

-6 ไบต์ขอบคุณ Jonathan Allan

-3 ไบต์ขอบคุณ ArBo ฉันเกือบทำตามที่เขาแนะนำตัวเอง แต่พยายามใช้{*(...)}ซึ่งไม่ได้ประหยัดพื้นที่

-11 ไบต์ขอบคุณ mathmandan

-7 ไบต์ขอบคุณ ArBo

การพิสูจน์ความถูกต้องทางคณิตศาสตร์

การใช้การจัดทำดัชนี 0 เพื่อประโยชน์ในการพิสูจน์นี้แม้ว่าการประชุมทางคณิตศาสตร์จะได้รับการจัดทำดัชนี 1

• $G_n$$n$
• $g(a,x) = a + a^2 + ... + a^x$$a$$x$
• $A_n$$2 \leq a \leq n+2$$2 \leq x \leq n+2$
• $A_0 = \{ g(2,2) \} = \{ 6 \} = \{ G_0 \}$
• $A_{n+1} = \{ g(a, x), g(a+1, x), g(a, x+1), g(a+1, x+1) | g(a, x) \in A_n \}$
• $g(a+1, x) < g(a+1, x+1)$$a$$x$
• $g(a, x+1) < g(a+1, x+1)$$a$$x$
• $G_{n+1} \neq g(a+1, x+1)$$G_n = g(a, x)$
• $g(a+1, x) < g(a+2, x)$$a$$x$
• $g(a, x+1) < g(a, x+2)$$a$$x$
• $G_{n+1}$$g(a+1, x)$$g(a, x+1)$$G_n = g(a, x)$
• $G_{n+1} \in A_{n+1}$$G_n \in A_n$
• $G_0 \in A_0$$G_n \in A_n$$n$
• $G_0$$G_n$$G_n$$n$$A_n$$A_n$

J , ³⁵ 32 ไบต์

-3 ไบต์ขอบคุณ FrownyFrog

3 :'y{/:~~.,}.+/\(^~/>:)1+i.y+2'

ลองออนไลน์!

คำอธิบายเหมือนกับต้นฉบับ @เพียงแค่ใช้รูปแบบที่ชัดเจนในการบันทึกไบต์ถูกลบหลาย

คำตอบเดิมโดยนัยโดยมีคำอธิบาย: 35 ไบต์

{[:/:~@~.@,@}.[:+/\@(^~/>:)1+i.@+&2

ลองออนไลน์!

เช่นเดียวกับวิธีการของ Luis Mendo เราสร้าง "ตารางอำนาจ" (เช่นตารางเวลา) ด้วยแถวบน2 3 ... nและคอลัมน์ซ้าย1 2 ... nทำให้:

 2   3    4     5     6      7
 4   9   16    25    36     49
 8  27   64   125   216    343
16  81  256   625  1296   2401
32 243 1024  3125  7776  16807
64 729 4096 15625 46656 117649

^~/ >:สร้างตารางและ1+i.@+&2สร้าง1... nลำดับและเราเพิ่ม 2 ( +&2) ลงในอินพุตเพื่อให้แน่ใจว่าเรามีองค์ประกอบเพียงพอที่จะสร้างตารางเสมอสำหรับ 0 หรือ 1 อินพุต

หลังจากที่เรามีตารางด้านบนวิธีแก้ปัญหาเล็กน้อย เราเพียงแค่สแกนรวมแถวและเอาแถวแรกแผ่ใช้ไม่ซ้ำกันและการจัดเรียง+/\ /:~@~.@,@}.ในที่สุด{ใช้อินพุทดั้งเดิมเพื่อจัดทำดัชนีในผลลัพธ์นั้นโดยสร้างคำตอบ

Gaiaขนาด 18 ไบต์

)┅:1D¤*‡+⊣¦tv<_uȯE

ลองออนไลน์!

ดัชนีแบบ 1

นี่เป็นคำตอบที่ค่อนข้างเศร้าสำหรับจมูกที่ยาว: )┅:มันอาจจะหวังว่ามันจะสามารถเล่นกอล์ฟต่อไปได้

คัดลอกอัลกอริทึมที่กำหนดโดยคำตอบของ Luis Mendo

R , 65 62 ไบต์

-1 ไบต์ขอบคุณ Giuseppe

n=scan();unique(sort(diffinv(t(outer(2:n,1:n,"^")))[3:n,]))[n]

ลองออนไลน์!

1 การจัดทำดัชนี

$a^i$$x=1$

โปรดทราบว่าsort(unique(...))จะไม่ทำงานเหมือนuniqueจะให้แถวที่ไม่ซ้ำกันของเมทริกซ์และไม่ใช่รายการที่ไม่ซ้ำกัน การใช้unique(sort(...))ผลงานเพราะsortแปลงเป็นเวกเตอร์

JavaScript (ES7), 76 ไบต์

1 การจัดทำดัชนี

f=(n,a=[i=2])=>(n-=a.some(j=>a.some(k=>(s+=j**k)==i,s=j)))?f(n,[...a,++i]):i

ลองออนไลน์!

JavaScript (ES7), 89 ไบต์

1 การจัดทำดัชนี

n=>eval('for(a=[i=1e4];--i>1;)for(s=1e8+i,x=1;a[s+=i**++x]=x<26;);Object.keys(a)[n]-1e8')

ลองออนไลน์!

ภาษา Wolfram (Mathematica) , 51 ไบต์

(Union@@Array[Sum[(#2+1)^k,{k,#+1}]&,{30,#}])[[#]]&

ลองออนไลน์!

1 การจัดทำดัชนี

-8 ไบต์จาก @attinat

ถ่าน , 36 ไบต์

ＮθＦθＦθ⊞υ÷⁻Ｘ⁺²ι⁺³κ⁺²ι⊕ιＦ⊖θ≔Φυ›κ⌊υυＩ⌊υ

ลองออนไลน์! การเชื่อมโยงคือการใช้รหัสเวอร์ชันอย่างละเอียด 1 การจัดทำดัชนี ใช้อัลกอริทึมของ Luis Mendo คำอธิบาย:

Ｎθ

$n$

ＦθＦθ⊞υ

$n$$n$

÷⁻Ｘ⁺²ι⁺³κ⁺²ι⊕ι

$\sum_1^x a^i = \frac{a^{x+1}-a}{a-1}$

Ｆ⊖θ≔Φυ›κ⌊υυ

$n-1$

Ｉ⌊υ

พิมพ์หมายเลข Gryphon ที่ต่ำที่สุด

Japt 23 ไบต์

เรียน Jebus! ทั้งที่ฉันจริงๆได้ลืมวิธีการกอล์ฟหรือการดื่มเหล้าเป็นที่สุดการโทรของ!

ไม่ใช่ท่าเรือโดยตรงของทางออกของโจนาธาน แต่ได้แรงบันดาลใจมาจากการสังเกต

@ÈÇXìZ mÉ ìZÃeÄ}fXÄ}gNÅ

ลองมัน

05AB1E , 12 ไบต์

L¦ãε`LmO}êIè

0 การจัดทำดัชนี

ลองออนไลน์หรือตรวจสอบแรก$n$รายการ

คำอธิบาย:

L             # Create a list in the range [1, (implicit) input-integer]
              #  i.e. 4 → [1,2,3,4]
 ¦            # Remove the first item to make the range [2, input-integer]
              #  i.e. [1,2,3,4] → [2,3,4]
  ã           # Create each possible pair of this list by using the cartesian product
              #  i.e. [2,3,4] → [[2,2],[2,3],[2,4],[3,2],[3,3],[3,4],[4,2],[4,3],[4,4]]
   ε          # Map each pair to:
    `         #  Push the values of the pair separately to the stack
              #   i.e. [4,3] → 4 and 3
     L        #  Take the list [1, value] for the second value of the two
              #   i.e. 3 → [1,2,3]
      m       #  And then take the first value to the power of each integer in this list
              #   i.e. 4 and [1,2,3] → [4,16,64]
       O      #  After which we sum the list
              #   i.e. [4,16,64] → 84
        }ê    # After the map: uniquify and sort the values
              #  i.e. [6,14,30,12,39,120,20,84,340] → [6,12,14,20,30,39,84,120,340]
          Iè  # And index the input-integer into it
              #  i.e. [6,12,14,20,30,39,84,120,340] and 4 → 30
              # (after which the result is output implicitly)