ได้รับสองตัวเลขบวกxและnมีเขียนฟังก์ชั่นที่สั้นที่สุดในการคำนวณx<2^n x^-1 mod 2^nในคำอื่น ๆ พบดังกล่าวว่าyx*y=1 mod 2^n

ฟังก์ชั่นของคุณจะต้องเสร็จสิ้นในเวลาที่เหมาะสมสำหรับอย่างน้อยการn=64ค้นหาที่ละเอียดถี่ถ้วนจะไม่ทำงาน

หากไม่มีค่าผกผันคุณจะต้องระบุให้ผู้โทรทราบ (ส่งข้อยกเว้นส่งคืนค่า Sentinel และอื่น ๆ )

หากคุณสงสัยว่าจะเริ่มต้นลองขยายยุคลิดอัลกอริทึม

Python 95 89

cเป็นหน้าที่ของคุณ ส่งกลับค่า 0 หากไม่มีการผกผัน (เช่นเมื่อ x เป็นเลขคู่)

p=lambda x,y,m:y and p(x,y/2,m)**2*x**(y&1)%m or 1
c=lambda x,n:[0,p(x,2**n-1,2**n)][x%2]

Python ขนาด 29 ไบต์

lambda x,n:pow(x,2**n-1,2**n)

ผลตอบแทน 0 สำหรับแม้แต่x มันใช้ทฤษฎีบทของออยเลอร์โดยมีการสังเกตว่า 2 ^ n - 1 สามารถหารด้วย 2 ^ ( n - 1) - 1, ผ่าน Python ในการยกกำลังแบบแยกส่วนที่รวดเร็ว นี่เร็วพอสำหรับnมากถึง 7000 หรือมากกว่านั้นซึ่งมันเริ่มใช้เวลานานกว่าหนึ่งวินาที

Mathematica - 22

f=PowerMod[#,-1,2^#2]&

f[x,n]กลับมาyพร้อมกับx*y=1 mod 2^nมิฉะนั้นx is not invertible modulo 2^n

GolfScript (23 ตัวอักษร)

{:^((1${\.**2^?%}+*}:f;

0ผลแมวมองหาผกผันไม่ได้มีอยู่คือ

นี้เป็นโปรแกรมที่เรียบง่ายของทฤษฎีบทออยเลอร์ ดังนั้น x - 1 ≡ x 2 n - 1 - $x^{\varphi(2^n)} \equiv 1 \pmod {2^n}$$x^{-1} \equiv x^{2^{n-1}-1} \pmod {2^n}$

น่าเสียดายที่มันค่อนข้างใหญ่เกินกว่าจะเป็นเลขชี้กำลังในการคำนวณโดยตรงดังนั้นเราต้องใช้การวนซ้ำและทำการลดแบบแยกส่วนภายในวง ขั้นตอนซ้ำคือและเรามีตัวเลือกฐานกรณี: ทั้งที่มี$x^{2^k-1} = \left(x^{2^{k-1}-1}\right)^2 \times x$k=1

{1\:^(@{\.**2^?%}+*}:f;

หรือk=2กับ

{:^((1${\.**2^?%}+*}:f;

ฉันกำลังทำงานในแนวทางอื่น แต่แมวมองนั้นยากกว่า

การสังเกตที่สำคัญคือเราสามารถสร้างสิ่งที่ตรงกันข้ามได้ทีละนิด: ถ้า$xy \equiv 1 \pmod{2^{k-1}}$$xy \in \{ 1, 1 + 2^{k-1} \} \pmod{2^k}$$x$$x(y + xy-1) \equiv 1 \pmod{2^k}$$y' = (x+1)y - 1$

$0x \equiv 1 \pmod {2^0}$

$x\left(\frac{1 - (x+1)^n}{x}\right) \equiv 1 \pmod {2^n}$

$x+1$

นั่นให้ฟังก์ชัน 19-char

{1$)1$?@/~)2@?%}:f;

$x$x&11

{1$.1&+1$?@/~)2@?%}:f;

$0$$2^{n-1}$

$0$$1 - (x+1)^n$$1 - 1^n$

{1$.1&*)1$?@/~)2@?%}:f;

$n$n x f

{..1&*)2$?\/~)2@?%}:f;

Ruby - 88 ตัวอักษร

fใช้ฟังก์ชั่น

def e a,b;a%b==0?[0,1]:(x,y=e(b,a%b);[y,x-(y*(a/b))])end
def f x,n;e(x,2**n)[0]*(x%2)end

เพียงแค่ฟังก์ชั่นวนซ้ำจากหน้าวิกิที่เชื่อมโยงแล้วส่งคืนข้อผิดพลาด 0

Haskell, 42 ไบต์

_!1=1
x!n|r<-x!div(n+1)2=(2-r*x)*r`mod`2^n

ใช้อัลกอริธึมตามบทแทรกของ Henselที่เพิ่มจำนวนตัวเลขเป็นสองเท่าในการวนซ้ำทุกครั้งการดำเนินการนี้ใช้เวลาไม่เกินหนึ่งวินาทีสำหรับnสูงถึงประมาณ 30 ล้าน !

Pyth , 9 ไบต์

.^Et^2Q^2

ลองที่นี่!

รับอินพุตในลำดับย้อนกลับ หรือ 9 .^EtK^2QKไบต์เกินไป:

คำอธิบาย

. ^ Et ^ 2Q ^ 2 - โปรแกรมเต็มรูปแบบ

. ^ - ฟังก์ชั่น Pow เหมือนกันใน Python (pow)
  E - อินพุตที่สอง
    ^ 2Q - และ 2 ^ อินพุตแรก
   t - ลดลง
       ^ 2 - และ 2 ^ ป้อนข้อมูลครั้งแรกอีกครั้ง

GAP, 39 ไบต์

f:=function(x,n)return 1/x mod 2^n;end;

f(x,n)ส่งคืนค่าผกผันของxโมดูโล2^nและให้ข้อความแสดงข้อผิดพลาด

Error, ModRat: for <r>/<s> mod <n>, <s>/gcd(<r>,<s>) and <n> must be coprime

ถ้าไม่มีสิ่งที่ตรงกันข้าม