ลองดูที่ภาพนี้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งวิธีการจัดหลุมที่ปลาย

^{( แหล่งรูปภาพ )}

สังเกตว่าท่อในภาพนี้บรรจุในรูปแบบหกเหลี่ยมได้อย่างไร เป็นที่ทราบกันดีว่าใน 2 มิติโครงตาข่ายหกเหลี่ยมนั้นเป็นที่บรรจุวงกลมที่หนาแน่นที่สุด ในความท้าทายนี้เราจะมุ่งเน้นไปที่การลดขอบเขตของวงกลมให้เหลือน้อยที่สุด วิธีหนึ่งที่มีประโยชน์ในการมองเห็นเส้นรอบนอกคือการจินตนาการให้ใส่ยางรัดรอบคอลเลกชันของวงกลม

งาน

รับค่าnเป็นจำนวนเต็มบวกเป็นอินพุตแสดงชุดของnวงกลมที่อัดแน่นที่สุด

กฎและคำชี้แจง

• สมมติว่าวงกลมมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 1 หน่วย
• ตัวแปรที่จะย่อเล็กสุดคือความยาวของเส้นรอบวงซึ่งถูกกำหนดให้เป็นฮัลล์นูนของกึ่งกลางของวงกลมในกลุ่ม ดูรูปนี้:

วงกลมสามวงในแนวเส้นตรงมีเส้นรอบวงของ 4 (ตัวเรือนูนเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้า 2x0 และ 2 นับเป็นสองเท่า) ที่จัดเรียงในมุม 120 องศาจะมีเส้นรอบวงประมาณ 3.85 และสามเหลี่ยมมีเส้นรอบวง เพียง 3 หน่วย โปรดทราบว่าฉันไม่สนใจหน่วย pi เพิ่มเติมที่ขอบเขตปริมณฑลที่แท้จริงจะเป็นเพราะฉันแค่ดูที่ศูนย์กลางของวงกลมไม่ใช่ขอบของพวกเขา

• อาจมี (และเกือบจะแน่นอนจะ) nการแก้ปัญหาหลายสำหรับการใดก็ตาม คุณสามารถส่งออกสิ่งเหล่านี้ตามดุลยพินิจของคุณ การวางแนวไม่สำคัญ
• วงกลมจะต้องอยู่บนโครงตาข่ายหกเหลี่ยม
• วงกลมต้องมีเส้นผ่านศูนย์กลางอย่างน้อย 10 พิกเซลและอาจมีการเติมได้หรือไม่
• คุณสามารถเขียนโปรแกรมหรือฟังก์ชั่น
• อินพุตอาจถูกใช้ผ่าน STDIN เป็นอาร์กิวเมนต์ฟังก์ชันหรือเทียบเท่าที่ใกล้เคียงที่สุด
• เอาท์พุทอาจจะปรากฏขึ้นหรือส่งออกไปยังไฟล์

ตัวอย่าง

ด้านล่างฉันมีตัวอย่างเอาต์พุตที่ถูกต้องและไม่ถูกต้องสำหรับ n ตั้งแต่ 1 ถึง 10 (ตัวอย่างที่ถูกต้องสำหรับห้ารายการแรกเท่านั้น) ตัวอย่างที่ถูกต้องอยู่ทางซ้าย ทุกตัวอย่างทางด้านขวามีเส้นรอบวงมากกว่าตัวอย่างที่ใช้ได้

ขอบคุณสตีฟเวอร์ริลล์มากสำหรับความช่วยเหลือในการเขียนความท้าทายนี้ มีความสุขบรรจุ!

Mathematica 295 950 ไบต์

หมายเหตุ: ฉบับนี้ยังคงเป็นเรื่องของปัญหาที่สตีฟเมอร์ริลพูดถึงเกี่ยวกับความพยายามครั้งก่อนของฉัน

แม้ว่าจะเป็นการปรับปรุงในเวอร์ชันแรก แต่จะไม่พบการกำหนดค่าการจัดการที่หนาแน่นที่สุดโดยที่หนึ่งจะหารูปวงกลมแทนที่จะเป็นรูปทรงหกเหลี่ยมโดยรวม

ค้นหาวิธีแก้ปัญหาด้วยการสร้างรูปหกเหลี่ยมด้านในที่สมบูรณ์ (สำหรับ n> = 6 จากนั้นตรวจสอบการกำหนดค่าทั้งหมดสำหรับการทำเปลือกนอกด้วยวงกลมที่เหลือ

สิ่งที่น่าสนใจอย่างที่ Steve Merrill ได้กล่าวไว้ในความคิดเห็นนั้นการแก้ปัญหาสำหรับn+1แวดวงนั้นไม่ได้รวมถึงการแก้ปัญหาสำหรับแวดวง n ที่เพิ่มแวดวงอื่นอีกด้วย เปรียบเทียบโซลูชันที่กำหนดสำหรับ 30 วงกลมกับโซลูชันที่กำหนดสำหรับ 31 วงกลม (หมายเหตุ: มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับ 30 วงกลม)

m[pts_]:={Show[ConvexHullMesh[pts],Graphics[{Point/@pts,Circle[#,1/2]&/@ pts}], 
ImageSize->Tiny,PlotLabel->qRow[{Length[pts],"  circles"}]],
RegionMeasure[RegionBoundary[ConvexHullMesh[pts]]]};
nPoints = ((#+1)^3-#^3)&;pointsAtLevelJ[0] = {{0,0}};
pointsAtLevelJ[j_]:=RotateLeft@DeleteDuplicates@Flatten[Subdivide[#1, #2, j] &@@@
Partition[Append[(w=Table[j{Cos[k Pi/3],Sin[k Pi/3]},{k,0,5}]), 
w[[1]]], 2, 1], 1];nPointsAtLevelJ[j_] := Length[pointsAtLevelJ[j]]
getNPoints[n_] := Module[{level = 0, pts = {}},While[nPoints[level]<=n, 
pts=Join[pointsAtLevelJ[level],pts];level++];Join[Take[pointsAtLevelJ[level],n-Length[pts]],
pts]];ns={1,7,19,37,61,91};getLevel[n_]:=Position[Union@Append[ns,n],n][[1, 1]]-1;
getBaseN[n_] := ns[[getLevel[n]]];pack[1]=Graphics[{Point[{0,0}], Circle[{0, 0}, 1/2]}, 
ImageSize->Tiny];pack[n_]:=Quiet@Module[{base = getNPoints[getBaseN[n]], 
outerRing = pointsAtLevelJ[getLevel[n]], ss},ss=Subsets[outerRing,{n-getBaseN[n]}];
SortBy[m[Join[base,#]]&/@ss,Last][[1]]]

เช็คบางรายการมีการเปรียบเทียบมากกว่าหนึ่งแสนคดีสำหรับค่าเดียวของ n (รวมถึงสมมาตร) ใช้เวลาประมาณ 5 นาทีในการเรียกใช้กรณีทดสอบทั้งหมด 34 กรณี ไม่จำเป็นต้องพูดด้วยn'sวิธีการที่ใช้กำลังดุร้ายที่ใหญ่กว่านี้ในไม่ช้าก็จะพิสูจน์ได้ว่าทำไม่ได้ วิธีการที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นแน่นอนอยู่

ตัวเลขทางด้านขวาของการบรรจุแต่ละอันคือขอบเขตของลำตัวนูนสีน้ำเงินที่เกี่ยวข้อง 3 < n < 35ด้านล่างเป็นผลลัพธ์สำหรับ วงกลมสีแดงนั้นถูกเพิ่มเข้ามารอบหกเหลี่ยมปกติ