ท้าทาย

เขียนโปรแกรม P, การไม่มีการป้อนข้อมูลเช่นว่าเรื่อง“การดำเนินการของ P ในที่สุดก็ยุติ” เป็นอิสระของอาโน่คณิตศาสตร์

กฎอย่างเป็นทางการ

(ในกรณีที่คุณเป็นนักตรรกวิทยาคณิตศาสตร์ที่คิดว่าคำอธิบายข้างต้นไม่เป็นทางการ)

ตามหลักการแล้วสามารถแปลงU Universal Turing Machine บางตัว(เช่นภาษาการเขียนโปรแกรมที่คุณชื่นชอบ) ไปเป็นสูตร HALT ทางคณิตศาสตร์ Peano HALT บนตัวแปรpซึ่ง HALT ( p ) เข้ารหัสข้อเสนอ“ Uยุติลงในโปรแกรม ( Gödel-encoded by) p ” ความท้าทายคือการหาpที่ HALT ( p ) และ¬HALT ( p ) ไม่สามารถพิสูจน์ได้ใน Peano arithmetic

คุณอาจสมมติว่าโปรแกรมของคุณทำงานบนเครื่องในอุดมคติโดยมีหน่วยความจำไม่ จำกัด และจำนวนเต็ม / พอยน์เตอร์ขนาดใหญ่พอที่จะเข้าถึงได้

ตัวอย่าง

เมื่อต้องการดูว่ามีโปรแกรมดังกล่าวอยู่ตัวอย่างหนึ่งคือโปรแกรมที่ค้นหาหลักฐานทางคณิตศาสตร์ของ Peano อย่างละเอียด 0 = 1 Peano เลขคณิตพิสูจน์ว่าโปรแกรมนี้หยุดถ้าโปรแกรม Peano ไม่สอดคล้องกันเท่านั้น เนื่องจาก Peano คณิตศาสตร์มีความสอดคล้องกันแต่ไม่สามารถพิสูจน์ความมั่นคงของตนเองได้จึงไม่สามารถตัดสินใจได้ว่าโปรแกรมนี้หยุดทำงานหรือไม่

อย่างไรก็ตามมีข้อเสนออื่น ๆ อีกมากมายที่ไม่ขึ้นอยู่กับเลขคณิตของ Peano ที่คุณสามารถใช้โปรแกรมของคุณได้

แรงจูงใจ

ความท้าทายนี้ได้รับแรงบันดาลใจจากรายงานฉบับใหม่ของ Yedidia และ Aaronson (2016) ที่แสดงเครื่องทัวริง 7,918 สถานะซึ่งการทำลายล้างนั้นไม่ขึ้นอยู่กับZFCซึ่งเป็นระบบที่แข็งแกร่งกว่าเลขคณิตของ Peano คุณอาจสนใจในการอ้างอิง [22] แน่นอนว่าสำหรับความท้าทายนี้คุณสามารถใช้ภาษาการเขียนโปรแกรมแทนเครื่องทัวริงจริง

Haskell, 838 ไบต์

“ ถ้าคุณต้องการทำอะไรให้สำเร็จ…”

import Control.Monad.State
data T=V Int|T:$T|A(T->T)
g=guard
r=runStateT
s!a@(V i)=maybe a id$lookup i s
s!(a:$b)=(s!a):$(s!b)
s@((i,_):_)!A f=A(\a->((i+1,a):s)!f(V$i+1))
c l=do(m,k)<-(`divMod`sum(1<$l)).pred<$>get;g$m>=0;put m;l!!fromEnum k
i&a=V i:$a
i%t=(:$).(i&)<$>t<*>t
x i=c$[4%x i,5%x i,(6&)<$>x i]++map(pure.V)[7..i-1]
y i=c[A<$>z i,1%y i,(2&)<$>y i,3%x i]
z i=(\a e->[(i,e)]!a)<$>y(i+1)
(i?h)p=c[g$any(p#i)h,do q<-y i;i?h$q;i?h$1&q:$p,do f<-z i;a<-x i;g$p#i$f a;c[i?h$A f,do b<-x i;i?h$3&b:$a;i?h$f b],case p of A f->c[(i+1)?h$f$V i,do i?h$f$V 7;(i+1)?(f(V i):h)$f$6&V i];V 1:$q:$r->c[i?(q:h)$r,i?(2&r:h)$V 2:$q];_->mzero]
(V a#i)(V b)=a==b
((a:$b)#i)(c:$d)=(a#i)c&&(b#i)d
(A f#i)(A g)=f(V i)#(i+1)$g$V i
(_#_)_=0<0
main=print$(r(8?map fst(r(y 8)=<<[497,8269,56106533,12033,123263749,10049,661072709])$3&V 7:$(6&V 7))=<<[0..])!!0

คำอธิบาย

โปรแกรมนี้ค้นหาหลักฐานการคำนวณทางคณิตศาสตร์ของ Peano โดยตรง 0 = 1 เนื่องจาก PA สอดคล้องกันโปรแกรมนี้จึงไม่ยุติ แต่เนื่องจาก PA ไม่สามารถพิสูจน์ความมั่นคงของตนเองได้การกำจัดโปรแกรมนี้จึงไม่ขึ้นกับ PA

T คือประเภทของนิพจน์และข้อเสนอ:

• A Pแสดงถึงข้อเสนอ position x [ P ( x )]
• (V 1 :$ P) :$ Qหมายถึงเรื่องP → Q
• V 2 :$ Pแสดงให้เห็นถึงเรื่อง¬ P
• (V 3 :$ x) :$ yแสดงให้เห็นถึงข้อเสนอx = Y
• (V 4 :$ x) :$ yหมายถึงธรรมชาติx + y ที่
• (V 5 :$ x) :$ yหมายถึงธรรมชาติx ⋅ Y
• V 6 :$ xแสดงถึงธรรมชาติ S ( x ) = x + 1
• V 7 พิมพ์ค่าธรรมชาติ 0

ในสภาพแวดล้อมที่มีตัวแปรอิสระiเราเข้ารหัสนิพจน์ข้อเสนอและบทพิสูจน์เป็นเมทริกซ์จำนวนเต็ม 2 × 2 [1, 0; a , b ] ดังนี้:

• M ( i , ∀ x [ P ( x )]) = [1, 0; 1, 4] ⋅ M ( i , λ x [P (x)])
• M ( i , λ x [ F ( x )]) = M ( i + 1, F ( x )) โดยที่ M ( j , x ) = [1, 0; 5 + i , 4 + j ] สำหรับทุกj > i
• M ( i , P → Q ) = [1, 0; 2, 4] ⋅ M ( i , P ) ⋅ M ( i , Q )
• M ( i , ¬ P ) = [1, 0; 3, 4] ⋅ M ( i , P )
• M ( i , x = y ) = [1, 0; 4, 4] ⋅ M ( i , x ) ⋅ M ( i , y )
• M ( i , x + y ) = [1, 0; 1, 4 + i ] ⋅ M ( i , x ) ⋅ M ( i , y )
• M ( i , x ⋅ y ) = [1, 0; 2, 4 + i ] ⋅ M ( i , x ) ⋅ M ( i , y )
• M ( i , S x ) = [1, 0; 3, 4 + i ] ⋅ M ( i , x )
• M ( i , 0) = [1, 0; 4, 4 + i ]
• M ( i , ( Γ , P ) ⊢ P ) = [1, 0; 1, 4]
• M ( ฉัน , แกมมา ⊢ P ) = [1, 0; 2, 4] ⋅ M ( ฉัน , Q ) ⋅ M ( ฉัน , แกมมา ⊢ Q ) ⋅ M ( ฉัน , แกมมา ⊢ Q → P )
• M ( ฉัน , แกมมา ⊢ P ( x )) = [1, 0; 3, 4] ⋅ M ( i , λ x [P (x)]) ⋅ M ( i , x ) ⋅ [1, 0; 1, 2] ⋅ M ( ฉัน , แกมมา ⊢∀ x P (x))
• M ( ฉัน , แกมมา ⊢ P ( x )) = [1, 0; 3, 4] ⋅ M ( i , λ x [P (x)]) ⋅ M ( i , x ) ⋅ [1, 0; 2, 2] ⋅ M ( ฉัน , Y ) ⋅ M ( ฉัน , แกมมา ⊢ Y = x ) ⋅ M ( ฉัน , แกมมา ⊢ P ( Y ))
• M ( ฉัน , แกมมา ⊢∀ x , P ( x )) = [1, 0; 8, 8] ⋅ M ( ฉัน , λ x [ แกมมา ⊢ P ( x )])
• M ( ฉัน , แกมมา ⊢∀ x , P ( x )) = [1, 0; 12 8] ⋅ M ( ฉัน , Γ ⊢ P (0)) ⋅ M ( ฉัน , λ x [( Γ , P ( x )) ⊢ P (S ( x ))])
• M ( ฉัน , แกมมา ⊢ P → Q ) = [1, 0; 8, 8] ⋅ M ( i , ( Γ , P ) ⊢ Q )
• M ( ฉัน , แกมมา ⊢ P → Q ) = [1, 0; 12, 8] ⋅ M ( i , ( Γ , ¬ Q ) ⊢¬ P )

สัจพจน์ที่เหลือจะถูกเข้ารหัสเป็นตัวเลขและรวมอยู่ในสภาพแวดล้อมเริ่มต้นΓ :

• M (0, ∀ x [ x = x ]) = [1, 0; 497, 400]
• M (0, ∀ x [¬ (S ( x ) = 0)]) = [1, 0; 8269, 8000]
• M (0, ∀ x ∀ y [S ( x ) = S ( y ) → x = y ]) = [1, 0; 56106533, 47775744]
• M (0, ∀ x [ x + 0 = x ]) = [1, 0; 12033, 10000]
• M (0, ∀ y [ x + S ( y ) = S ( x + y )]) = [1, 0; 123263749, 107495424]
• M (0, ∀ x [ x ⋅ 0 = 0]) = [1, 0; 10049, 10000]
• M (0, ∀ x ∀ y [ x ⋅ S ( y ) = x ⋅ y + x ]) = [1, 0; 661072709, 644972544]

การพิสูจน์ด้วยเมทริกซ์ [1, 0; , ข ] สามารถตรวจสอบได้รับเพียงมุมล่างซ้าย(หรือสอดคล้องค่าอื่น ๆ เพื่อโมดูโลข ); ค่าอื่น ๆ ที่มีเพื่อเปิดใช้งานองค์ประกอบของการพิสูจน์

ตัวอย่างเช่นต่อไปนี้เป็นข้อพิสูจน์ว่าการเพิ่มคือการสลับ

• M (0, แกมมา ⊢∀ x ∀ Y [ x + Y = Y + x]) = [1, 0; 6651439985424903472274778830412211286042729801174124932726010503641310445578492460637276210966154277204244776748283051731165114392766752978964153601068040044362776324924904132311711526476930755026298356469866717434090029353415862307981531900946916847172554628759434336793920402956876846292776619877110678804972343426850350512203833644, 14010499234317302152403198529613715336094817740448888109376168978138227692104106788277363562889534501599380268163213618740021570705080096139804941973102814335632180523847407060058534443254569282138051511292576687428837652027900127452656255880653718107444964680660904752950049505280000000000000000000000000000000000000000000000000000000]

คุณสามารถตรวจสอบกับโปรแกรมดังนี้:

*Main> let p = A $ \x -> A $ \y -> V 3 :$ (V 4 :$ x :$ y) :$ (V 4 :$ y :$ x)
*Main> let a = 6651439985424903472274778830412211286042729801174124932726010503641310445578492460637276210966154277204244776748283051731165114392766752978964153601068040044362776324924904132311711526476930755026298356469866717434090029353415862307981531900946916847172554628759434336793920402956876846292776619877110678804972343426850350512203833644
*Main> r(8?map fst(r(y 8)=<<[497,8269,56106533,12033,123263749,10049,661072709])$p)a :: [((),Integer)]
[((),0)]

หากหลักฐานไม่ถูกต้องคุณจะได้รับรายการว่างเปล่าแทน