สัญชาตญาณของฉันคือเสมอว่าเมื่อทรงกลมใด ๆ ถูกฉายลงในช่องว่าง 2D ซึ่งผลลัพธ์จะเป็นวงรีทางคณิตศาสตร์เสมอ (หรือวงกลมในกรณีที่เลวร้าย)

ในอดีตเมื่อฉันกำลังทำการเขียนโปรแกรมกราฟิกของตัวเองและนำสิ่งนี้มากับคนอื่น ๆ พวกเขายืนกรานว่าฉันผิด ถ้าฉันจำได้อย่างถูกต้องพวกเขาเชื่อว่าผลที่ได้อาจเป็น "รูปไข่" อย่างคลุมเครือ

ใครถูกต้อง?

เนื่องจากมีหนึ่งคำตอบที่ส่งไปแล้วฉันไม่ต้องการเปลี่ยนคำถามทั้งหมด แต่ฉันรู้ว่าฉันทิ้งรายละเอียดที่สำคัญเนื่องจากการสูญเสียความคุ้นเคยกับฟิลด์ในช่วงหลายปีที่ผ่านมา

ผมตั้งใจที่จะถามเฉพาะเกี่ยวกับการฉายมุมมองที่ฉายเป็นโปรแกรมเชิงเส้น

การคาดการณ์อื่น ๆ นั้นน่าสนใจสำหรับการใช้งานหลายอย่างดังนั้นฉันจึงไม่ต้องการให้ลบออกในตอนนี้ แต่มันจะดีถ้าคำตอบอาจมีมุมมองที่เป็นส่วนที่โดดเด่นที่สุดของพวกเขา

สมมติว่าการฉายภาพมุมมองและจุดชมวิวภายนอกไปยังทรงกลมจากนั้น 'ขอบเขต' ที่เกิดขึ้นจากจุดชมวิวและวงกลมบนทรงกลมซึ่งเป็นขอบฟ้า WRT จุดชมวิวจะเป็นรูปกรวย

การฉายภาพเปอร์สเปคทีฟ (บนระนาบ) นั้นเทียบเท่ากับการตัดกรวยนี้กับระนาบซึ่งสร้างส่วนที่เป็นรูปกรวย FYI สี่กรณีที่ไม่เสื่อมโทรมจะแสดงในภาพนี้จาก Wikipedia

วงรี / วงกลมจึงมีความเป็นไปได้ แต่ไม่ใช่เพียงพาราโบลาหรือไฮเพอร์โบลาเพียงอันเดียวเท่านั้น (และฉันเดาได้ว่าระนาบผ่านดวงตาแม้แต่กรณีที่เสื่อมทราม) เป็นไปได้

นี่เป็นความคิดเห็นที่ยาวกว่าสำหรับคำตอบของ @ SimonF ที่ฉันพยายามทำให้มีอยู่ในตัว

สามารถตัดกรวยได้ทั้งหมดไฮเพอร์โบลาพาราโบลาและวงรี การทดสอบนี้ทำได้ง่ายโดยการวาดภาพในเอนจิ้น 3D ด้วยกล้องมุมกว้างมาก หมุนกล้องเพื่อพูดในมุม 30 องศาเพื่อให้วัตถุไม่ได้อยู่ในโฟกัสของคุณ จากนั้นค่อยๆขยับกล้องให้ใกล้กับทรงกลมมากขึ้น

Image 1:บินไปใกล้กับทรงกลมที่มองออกไปด้านข้างเล็กน้อย สังเกตว่าเราเจาะพื้นผิวด้านในได้อย่างไร

ดังนั้นการสรุปเมื่อทรงกลมอยู่ใกล้มากดังนั้นจึงออกจากภาพในรูปแบบกว้างมันอาจเป็นรูปโค้งหรือไฮเปอร์โบลา แต่รูปร่างจะออกจากเฟรมเพื่อทำเช่นนั้น

ระบบการฉายจะใช้ในการแปลงรูปร่าง 3D เป็นรูปร่างภาพถ่าย (2D)

ตามประเภทของระบบการฉายภาพผลลัพธ์และรูปร่างที่แตกต่างกันเช่นสี่เหลี่ยม, พาย, วงรี, วงกลม, ... สามารถสร้างขึ้นจากทรงกลม

ระบบการฉายภาพสามารถจำแนกตามลักษณะของผลลัพธ์ที่ได้

เพื่อดำเนินการต่อฉันอยากจะใช้ตัวอย่างที่น่าประทับใจและเป็นเรื่องธรรมดาที่เราเคยเห็นมาก่อนทรงกลมโลกและแผนที่กว้างทั่วโลกพวกเขาอยู่ทุกหนทุกแห่ง

สมมติว่าโลกของคุณคือโลก!

ลองจินตนาการถึงโลกว่าเป็นทรงกลมของคุณและแผนที่โลกระนาบที่สร้างขึ้นจากรูปทรงกลมของโลก ในแผนที่โลกส่วนใหญ่คุณเห็นว่าประเทศที่อยู่ใกล้กับเสานั้นใหญ่กว่าในความเป็นจริงอย่างไอซ์แลนด์ซึ่งเป็น 1/14 ของทวีปแอฟริกาในความเป็นจริง แต่แผนที่แสดงให้พวกเขาเห็นว่าเท่าเทียมกัน นี่เป็นเพราะเมื่อเราข้ามมิติหนึ่งไปเราจะสูญเสียคุณสมบัติของรูปร่างของเรา

ระบบการฉายภาพที่แตกต่างกันและผลลัพธ์ของมัน

นี่คือการฉายภาพถ่ายแนวระนาบซึ่งไม่ได้อนุรักษ์ระยะห่างมุมหรือพื้นที่ วงกลมสีแดงแสดงปริมาณการขยายเกินจริงซึ่งเป็นผลคูณของการฉายภาพนี้

เท่าเทียมกันดูไอซ์แลนด์และแอฟริกาในอันนี้และเปรียบเทียบกับข้างบน

ระบบการฉายสามารถจำแนกตามสิ่งที่พวกเขารักษา

1. พื้นที่เท่ากัน
2. มุมเท่ากันซึ่งรักษารูปร่างโดยไม่ผิดเพี้ยน
3. ระยะทางเท่ากัน
4. ......

การคาดการณ์ตามมาตรฐานรักษารูปร่าง แต่พื้นที่จะไม่ได้รับการอนุรักษ์ (ภาพแรกด้านบน) อันนี้เป็นระบบการฉายที่มีชื่อเสียงที่สุดที่ใช้ในการใช้งานจำนวนมาก ทรงกลมของคุณเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่นี่!

ดังนั้นคุณไม่สามารถบอกว่าทรงกลมจะถูกฉายเป็นวงรีเสมอ ดังที่กล่าวไว้ข้างต้นทรงกลมสามารถฉายเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (รูปร่างแรก) หรืออาจเป็นรูปวงรี แต่มีลักษณะต่าง ๆ (มุมเท่ากัน, ระยะทาง, รูปร่าง, พื้นที่ - ดูรูปต่อไปนี้) หรือคุณอาจฉายทรงกลมเป็นรูปกรวย จากนั้นเปิดกรวยเพื่อที่คุณจะได้วงกลม

แต่ละระบบฉายภาพด้านบนสามารถใช้กับอัลกอริทึมซ้ำหรือโดยตรงที่สามารถพบได้บนอินเทอร์เน็ต ฉันไม่ได้พูดถึงสูตรและการเปลี่ยนแปลงเพราะคุณไม่ได้ถาม แม้ว่าฉันหวังว่าคุณจะพบคำตอบนี้มีประโยชน์

ในการคาดการณ์มุมมองฉันบอกว่าใช่มีเพียงจุดไข่ปลาเท่านั้นที่เกิดจากทรงกลม

การตัดรูปกรวยที่มีระนาบแนวนอนสร้างวงกลม

การตัดด้วยระนาบเฉียงทำให้เกิดมุมเอียงซึ่งจะเป็นวงรีหรือไฮเพอร์โบลาขึ้นอยู่กับมุมตัดและเมื่อมุมนี้เอียงเป็นแนวดิ่งจะสร้างพาราโบลา (ตามภาพ)

บางทีนี่อาจชัดเจน แต่ลองดูสมการของพวกเขา

เพื่อความง่ายฉันคิดว่ารูปทรงเรขาคณิตทั้งหมดเป็นจุดกำเนิดที่กึ่งกลาง

สมการ:

$x^2+y^2=r^2$

$x^2/a^2+y^2/b^2=1$

$x^2/a^2-y^2/b^2=1$

$y^2=4ax$

สัณฐานวิทยา:

วงรีมีจุดโฟกัสสองจุดอย่างชัดเจน วงกลมที่เป็นจุดไข่ปลาชนิดพิเศษก็มีจุดโฟกัสสองจุดเหมือนกัน แต่พวกมันก็เหมือนกัน ไฮเปอร์โบลาเป็นกระจกแกน ay ของจุดไข่ปลาที่เท่ากันและมันมีจุดโฟกัสสองจุดเช่นกัน พาราโบลามีหนึ่งโฟกัส แต่จริงๆแล้วมันมีสองเพราะอันที่สองอยู่ที่ระยะอนันต์: เมื่อระนาบการตัดเอียงไปที่ 90 องศา (มุมลูกปืน) การโฟกัสที่สองจะไม่มีที่สิ้นสุด

ข้อสรุป

อย่างที่คุณเห็นทั้งหมดเป็นรูปวงรีอย่างไรก็ตามคุณอาจตั้งชื่อพวกมันให้แตกต่างกันเพื่ออธิบายกรณีพิเศษ แต่ถ้าคุณจะนำมันไปใช้ในเกมคุณต้องสมมติสมการของวงรีและมันก็เพียงพอแล้ว ฉันไม่สามารถบอกได้ว่าพวกคุณคนไหนที่ถูกคุณหรือเพื่อนของคุณเพราะทั้งคู่อาจถูก

เหตุผลของ SimonF ทำให้ฉันมั่นใจ แต่ฉันตัดสินใจที่จะตรวจสุขภาพจิต ฉันโหลดระดับ UE4 ที่มีลูกกลมเช่นนี้:

ฉันตั้งค่ากล้อง FOV สูงสุด 160 องศาให้มุมมองที่ผิดเพี้ยนจำนวนมากและจัดวางตำแหน่งให้ทรงกลมอยู่ใกล้มุมของภาพ:

จากนั้นฉันก็นำสิ่งนี้ลงใน Inkscape และใช้เครื่องมือวงรีเพื่อวาดบนมัน:

เซอร์ไพร์ส! มันเป็นแบบที่สมบูรณ์แบบ!

ไม่มีรูปโค้งหรือไฮเปอร์โบลาเกิดขึ้นเมื่อแบ่งทรงกลมหนึ่งครั้ง ไม่มีจุดไข่ปลาทั้งยกเว้นกรณีพิเศษซึ่งเป็นวงกลมผลเสมอวงกลม หากคุณฉายทรงกลมบนระนาบที่เอียงคุณจะได้วงรี