ทำไมการสะท้อนที่สมบูรณ์แบบพื้นผิวต้องมีความต่อเนื่องของ G2?

ทำไมการสะท้อนที่สมบูรณ์แบบพื้นผิวต้องมีความต่อเนื่อง G2 (พื้นผิวคลาส A)?

ฉันต้องการคำตอบทางคณิตศาสตร์

rendering

บริบทใด ๆ หรือการอ้างอิงที่คุณได้อ่านว่า? เพราะมันไม่สมเหตุสมผลสำหรับฉัน นอกจากนี้หากฉันไม่เข้าใจผิด Gn นั้นมีการกำหนดความต่อเนื่องของพื้นผิวพหุนามแบบชาญฉลาดไม่มีเหตุผลที่พื้นผิวจะเป็นพหุนามและในทางปฏิบัติ

— ทอม

G2 เพียงกล่าวถึงความเป็นรูปทรงเรขาคณิต n-derivations โดยไม่ขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ใด ๆ

— Fabrice NEYRET

@tom เขากำลังพูดถึงการออกแบบโต้คลื่นทั่วไปเหมือนใน CAD ไม่มีพวกเขาไม่จำเป็นต้องเป็นพหุนาม แต่ในทางปฏิบัติพวกเขามักจะเป็น (ยกเว้นส่วนโค้งและรูปกรวย)

— joojaa

@ joojaa กว่าฉันยังคงงงว่าทำไมการใช้สัญกรณ์พิเศษ Gn ในคณิตศาสตร์มีความคิดมาตรฐานของ Cn differentiable นานา Gn และ Cn เหมือนกันหรือไม่ ฉันคิดว่า Gn manifold เป็นพหุนามที่ชาญฉลาดดังนั้นมันจึงเป็น C-infty manifold ยกเว้นที่ตะเข็บ

— ทอม

@tom C ต่อเนื่องคือความต่อเนื่องของพารามิเตอร์และ G คือความต่อเนื่องทางภูมิศาสตร์และในกรณีนี้ความต่อเนื่องมากกว่า 2 รูปทรงเรขาคณิตที่แยกต่างหาก

— joojaa

คำตอบ:

สิ่งที่คุณเห็นสะท้อนคือความต่อเนื่องของบรรทัดฐานซึ่งเป็นอนุพันธ์ของตำแหน่ง -> พื้นผิว G1-only จะมีฟิลด์ปกติเพียง G0 เท่านั้นนั่นคือการเปลี่ยนแปลงการไล่ระดับสีอย่างฉับพลันในบรรทัดฐาน (และการสะท้อนกลับ) ที่ดวงตาสามารถสังเกตเห็นได้ พื้นผิว G2 มีเขตข้อมูลบรรทัดฐาน G1 ซึ่งราบเรียบสำหรับดวงตาของคุณ

— Fabrice NEYRET
แหล่งที่มา

G0 Continuity หมายความว่าพื้นผิวที่แยกจากกันมาบรรจบกัน
G1 ความต่อเนื่องที่พื้นผิวพบในมุมเดียวกัน
G2 Continuity หมายความว่าการเปลี่ยนแปลงของมุมตรงกับตำแหน่งของผู้ติดต่อ

ข้อกำหนด G2 ไม่ได้หมายความว่าพื้นผิวมีคุณภาพดี แค่หมายความว่าถ้าไม่มีสิ่งนี้พื้นผิวจะไม่มีการสะท้อนกลับอย่างต่อเนื่องเพื่อให้มนุษย์เห็นความแตกต่าง นั่นอาจจะเป็นสิ่งที่ดีหรือไม่ก็ได้ขึ้นอยู่กับสิ่งที่คุณต้องการ

ทางคณิตศาสตร์พื้นผิวปกติคือ:

$f(u,v) \frac{\partial}{\partial u} \times f(u,v) \frac{\partial}{\partial v}$

เนื่องจากทั้งสองฝ่ายได้มาซึ่งหมายความว่าเขตข้อมูลฟังก์ชันของพื้นผิวปกติมีค่าน้อยกว่าพื้นผิวเดิมหนึ่งองศา ดังนั้นเพื่อให้การสะท้อนกลับเป็นระดับแรกอย่างต่อเนื่องจะต้องมีความต่อเนื่องระดับที่สอง

จนถึงตอนนี้เราได้สร้างความสัมพันธ์ระหว่างความต่อเนื่องของพื้นผิวและความต่อเนื่องของการสะท้อน ไม่มีสิ่งใดที่พิสูจน์ได้ว่าการสะท้อนพื้นผิวนั้นจะต้องเป็นระดับแรกอย่างต่อเนื่อง เพื่อให้เข้าใจว่าทำไมเราต้องออกจากขอบเขตของคณิตศาสตร์และเข้าสู่ขอบเขตของชีววิทยา

ดวงตามีการติดตั้งอัลกอริธึมตรวจจับขอบในระดับโครงสร้างทางด้านขวาของเรตินา อัลกอริทึมการตรวจจับขอบในสาระสำคัญนี้ทำงานเป็นอนุพันธ์แบบแยกส่วนของสัญญาณอินพุต ดังนั้นหากพื้นผิวของคุณไม่ได้เป็น G2 อย่างต่อเนื่องการตรวจจับขอบมนุษย์ก็จะปรากฏขึ้น สำหรับการอ้างอิงอ่านบนMach Bandsเป็นต้น

เนื่องจากการตรวจจับขอบไม่ต่อเนื่อง G2 นั้นไม่เพียงพอ การเปลี่ยนแปลงไม่เพียง แต่ต้องทำให้เกิดความพึงพอใจในท้องถิ่นเท่านั้น ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงจึงควรตื้นพอที่จะไม่ทำให้เกิดปัญหา

— joojaa
แหล่งที่มา

"การเปลี่ยนแปลงไม่เพียง แต่ต้องทำให้เกิดความพึงพอใจในท้องถิ่นเท่านั้น แต่ยังทำให้พอใจกับเรตินา"

— Dan Hulme

ดวงตาไม่ได้บันทึกสัญญาณต่อเนื่อง มันไม่ต่อเนื่องดังนั้นแม้ว่าพื้นผิวของคุณอาจตรงตามเงื่อนไขทางเทคนิคที่นำเสนอในระดับคณิตศาสตร์ อาจไม่เพียงพอหากระยะห่างตัวอย่าง dicrete ไม่เห็นการเปลี่ยนแปลง ดังนั้นความลาดชันยังต้องมีขนาดใหญ่พอที่สายตาของมนุษย์จะสังเกตเห็น

— joojaa

ดูเหมือนว่าคุณกำลังบอกว่าอนุพันธ์ (จากปกติ) ไม่เพียง แต่จะต้องต่อเนื่อง แต่อนุพันธ์ของมันต้องต่ำกว่าขีด จำกัด ถ้านั่นคือสิ่งที่คุณหมายถึงฉันคิดว่าย่อหน้าสุดท้ายของคำตอบของคุณอาจชัดเจนขึ้น

— Dan Hulme

@ DanHulme มันไม่ได้ จำกัด อยู่ที่ derivate มันไม่ใช่คำถามของความลาดชันเพียง แต่ interwall ของความลาดชัน ดังนั้นมันจึงเกี่ยวกับการสุ่มตัวอย่างแบบไม่ต่อเนื่อง มุมที่คมมาก แต่ความแตกต่างของความชันอาจดูไม่ต่อเนื่อง ในทำนองเดียวกันการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องภายใต้ interwall สั้นอาจดูเหมือนคมชัด มันไม่เกี่ยวกับคณิตศาสตร์มันเกี่ยวกับการสุ่มตัวอย่าง มันยากที่จะหาค่าเป็นระบบทางชีวภาพ

— joojaa