ตัวอย่างที่มีความสัมพันธ์กันมีอิทธิพลต่อพฤติกรรมของตัวแสดงผล Monte Carlo อย่างไร

คำอธิบายส่วนใหญ่ของวิธีการเรนเดอร์ Monte Carlo เช่นการติดตามเส้นทางหรือการติดตามเส้นทางสองทิศทางสมมติว่าตัวอย่างถูกสร้างขึ้นอย่างอิสระ นั่นคือตัวสร้างตัวเลขสุ่มแบบมาตรฐานจะใช้ในการสร้างสตรีมของตัวเลขที่เป็นอิสระและกระจายอย่างสม่ำเสมอ

เรารู้ว่าตัวอย่างที่ไม่ได้เลือกอย่างอิสระจะเป็นประโยชน์ในแง่ของเสียง ตัวอย่างเช่นการสุ่มตัวอย่างแบบแบ่งชั้นและลำดับความคลาดเคลื่อนต่ำเป็นสองตัวอย่างของแผนการสุ่มตัวอย่างที่มีความสัมพันธ์ซึ่งมักจะปรับปรุงเวลาในการเรนเดอร์เกือบตลอดเวลา

อย่างไรก็ตามมีหลายกรณีที่ผลกระทบของความสัมพันธ์ของกลุ่มตัวอย่างไม่ชัดเจน ตัวอย่างเช่นวิธีมาร์คอฟเชนมอนติคาร์โลเช่นMetropolis Light Transportสร้างกระแสตัวอย่างที่มีความสัมพันธ์กันโดยใช้โซ่มาร์คอฟ; วิธีการที่ใช้แสงจำนวนมากจะนำชุดแสงขนาดเล็กกลับมาใช้ใหม่สำหรับเส้นทางกล้องหลาย ๆ ตัวสร้างการเชื่อมต่อเงาที่สัมพันธ์กันจำนวนมาก แม้การทำแผนที่โฟตอนจะได้รับประสิทธิภาพจากการใช้เส้นทางแสงผ่านพิกเซลจำนวนมากรวมทั้งเพิ่มความสัมพันธ์ของกลุ่มตัวอย่าง (แม้ว่าจะเป็นแบบเอนเอียง)

วิธีการเรนเดอร์ทั้งหมดเหล่านี้สามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นประโยชน์ในบางฉาก แต่ดูเหมือนจะทำให้สิ่งต่าง ๆ แย่ลงในผู้อื่น ยังไม่ชัดเจนเกี่ยวกับวิธีการวัดคุณภาพข้อผิดพลาดที่แนะนำโดยเทคนิคเหล่านี้นอกเหนือจากการเรนเดอร์ฉากด้วยอัลกอริธึมการแสดงผลที่แตกต่างกัน

ดังนั้นคำถามคือ: ความสัมพันธ์ของกลุ่มตัวอย่างมีอิทธิพลต่อความแปรปรวนและการลู่เข้าของตัวประมาณค่า Monte Carlo อย่างไร เราสามารถคำนวณปริมาณของความสัมพันธ์ตัวอย่างที่ดีกว่าแบบอื่นได้หรือไม่? มีข้อควรพิจารณาอื่น ๆ หรือไม่ที่อาจมีอิทธิพลต่อความสัมพันธ์ของกลุ่มตัวอย่างที่เป็นประโยชน์หรือเป็นอันตราย (เช่นข้อผิดพลาดการรับรู้ภาพเคลื่อนไหวกะพริบ)?

มีความแตกต่างที่สำคัญอย่างหนึ่งที่จะทำให้

วิธีมาร์คอฟเชนมอนติคาร์โล (เช่นการขนส่งทางแสงของเมือง) ยอมรับอย่างเต็มที่ถึงความจริงที่ว่าพวกมันสร้างความสัมพันธ์ที่มีความสัมพันธ์สูงมากจริงๆแล้วมันเป็นกระดูกสันหลังของอัลกอริทึม

ในอีกทางหนึ่งก็มีอัลกอริทึมเช่นการติดตามเส้นทางแบบสองทาง, วิธีแสงจำนวนมาก, การทำแผนที่โฟตอนที่มีบทบาทสำคัญในการสุ่มตัวอย่างความสำคัญหลายและการวิเคราะห์ความสมดุลของมัน การปรับแก้ปัญหาสมดุลของสมดุลนั้นได้รับการพิสูจน์สำหรับตัวอย่างที่เป็นอิสระเท่านั้น อัลกอริทึมที่ทันสมัยจำนวนมากมีตัวอย่างที่มีความสัมพันธ์กันและสำหรับบางคนนั่นทำให้เกิดปัญหาและบางอันก็ไม่ได้

ปัญหากับกลุ่มตัวอย่างมีความสัมพันธ์ที่ได้รับการยอมรับในกระดาษการเชื่อมต่อความน่าจะเป็นแบบสองทิศทางสำหรับเส้นทางการติดตาม ที่ซึ่งพวกเขาได้ทำการแก้ไขฮิวริสติกสมดุลเพื่อคำนึงถึงความสัมพันธ์ ดูรูปที่ 17 ในกระดาษเพื่อดูผลลัพธ์

ฉันต้องการชี้ให้เห็นว่าความสัมพันธ์นั้น "เลวร้าย" เสมอ หากคุณสามารถที่จะสร้างตัวอย่างใหม่กว่าที่เป็นอยู่ แต่ส่วนใหญ่คุณไม่สามารถจ่ายได้ดังนั้นคุณหวังว่าข้อผิดพลาดเนื่องจากความสัมพันธ์จะน้อย

แก้ไขเพื่ออธิบาย "เสมอ" : ฉันหมายถึงสิ่งนี้ในบริบทของการรวม MC

ที่ซึ่งคุณวัดข้อผิดพลาดพร้อมความแปรปรวนของตัวประมาณ

หากตัวอย่างมีความเป็นอิสระว่าคำแปรปรวนร่วมเป็นศูนย์ ตัวอย่างที่สัมพันธ์กันทำให้คำนี้ไม่ใช่ศูนย์เสมอซึ่งเป็นการเพิ่มความแปรปรวนของตัวประมาณค่าสุดท้าย

นี่เป็นครั้งแรกที่เกิดความขัดแย้งในสิ่งที่เราพบกับการสุ่มตัวอย่างแบบแบ่งชั้นเพราะการแบ่งชั้นจะช่วยลดข้อผิดพลาด แต่คุณไม่สามารถพิสูจน์ได้ว่าการสุ่มตัวอย่างแบบแบ่งชั้นมาบรรจบกับผลลัพธ์ที่ต้องการเพียงจากมุมมองความน่าจะเป็นเพราะในแกนกลางของการสุ่มตัวอย่างแบบแบ่งชั้นไม่มีความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้อง

และการจัดการกับการสุ่มตัวอย่างแบบแบ่งชั้นคือมันไม่ใช่วิธีมอนติคาร์โล การสุ่มตัวอย่างแบบแบ่งชั้นมาจากกฎการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมมาตรฐานสำหรับการรวมเชิงตัวเลขซึ่งใช้งานได้ดีสำหรับการรวมฟังก์ชั่นที่ราบรื่นในมิติต่ำ นี่คือเหตุผลที่มันถูกใช้สำหรับการจัดการกับการส่องสว่างโดยตรงซึ่งเป็นปัญหาที่มีมิติต่ำ แต่ความเรียบของมันนั้นสามารถโต้แย้งได้

ดังนั้นการสุ่มแบบแบ่งชั้นจึงมีความสัมพันธ์ที่แตกต่างกันกว่าตัวอย่างความสัมพันธ์ในวิธีการแสงจำนวนมาก

ฟังก์ชั่นความเข้มของสมอง (hemispherical) คือฟังก์ชันครึ่งซีกของแสงตกกระทบที่ BRDF สัมพันธ์กับจำนวนตัวอย่างที่ต้องการต่อมุมแข็ง ใช้การกระจายตัวอย่างของวิธีการใด ๆ และเปรียบเทียบกับฟังก์ชันซีกโลกนั้น ยิ่งพวกเขาคล้ายกันมากเท่าไหร่วิธีการที่ดีกว่าก็คือในกรณีนั้น ๆ

โปรดทราบว่าเนื่องจากฟังก์ชั่นความเข้มนี้ไม่เป็นที่รู้จักโดยทั่วไปวิธีการเหล่านี้จึงใช้การวิเคราะห์พฤติกรรม หากสมมติฐานของฮิวริสติกเป็นไปตามการแจกแจงจะดีกว่า (= ใกล้กับฟังก์ชันที่ต้องการ) มากกว่าการแจกแจงแบบสุ่ม ถ้าไม่มันแย่กว่านั้น

ตัวอย่างเช่นการสุ่มตัวอย่างที่สำคัญใช้ BRDF เพื่อกระจายตัวอย่างซึ่งเป็นเรื่องง่าย แต่ใช้เพียงบางส่วนของฟังก์ชันความเข้ม แหล่งกำเนิดแสงที่แรงมากที่ส่องพื้นผิวที่กระจายแสงในมุมตื้นจะได้รับตัวอย่างน้อยแม้ว่าอิทธิพลของมันอาจยังใหญ่ Metropolis Light Transport สร้างตัวอย่างใหม่จากตัวอย่างก่อนหน้านี้ที่มีความเข้มสูงซึ่งดีสำหรับแหล่งกำเนิดแสงที่แรงน้อย แต่ไม่ช่วยถ้าแสงมาถึงอย่างสม่ำเสมอจากทุกทิศทาง