มีสองวิธีในการตอบคำถามนี้: วิธีพีชคณิตและเรขาคณิต
พีชคณิตเราสามารถระบุหน่วยที่ BRDF ต้องมีโดยดูที่ตำแหน่งในสมการเรนเดอร์ สมการการแสดงผลแบบคลาสสิคคือ:
Loutgoing(ω)=Lemitted(ω)+∫ΩLincoming(ω′)fBRDF(ω,ω′)(n⋅ω′)dω′
ค่าเอาท์พุททางซ้ายคือความกระจ่างดังนั้นผลลัพธ์ของอินทิกรัลต้องเป็นความกระจ่างด้วย อินทิกแรนท์และมีความกระจ่างใสคูณด้วยมุมที่เป็นของแข็งดังนั้นสิ่งอื่นในอินทิกรัลและต้องยกเลิกปัจจัยมุมทึบนั้น ปัจจัยไม่มีมิติและอีกสิ่งหนึ่งเท่านั้นที่มี BRDF - เพื่อให้การทำงานทั้งหมดเป็นไปอย่างสมบูรณ์ BRDF จะต้องมีหน่วยของมุมทึบกลับด้าน เท่ากับ BRDF สามารถถูกมองว่าเป็นอัตราส่วนของความกระจ่างใสต่อการฉายรังสีเนื่องจากมันแตกต่างกันไปตามปัจจัยของมุมทึบในส่วนของความกระจ่าง n ⋅ ω 'dω′n⋅ω′
อีกวิธีที่จะเห็นว่า BRDF มีบทบาทคล้ายกับความหนาแน่นของความน่าจะเป็น ถ้าคุณดูว่าความหนาแน่นของความน่าจะเป็นเป็นอย่างไรพวกมันมีหน่วยที่ตรงกันข้ามกับปริมาณของโดเมน ตัวอย่างเช่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็น 1D มีหน่วยของความยาวผกผัน (ความน่าจะเป็นต่อความยาวหน่วย แต่ความน่าจะเป็นของตัวเองนั้นไม่มีมิติ) หนึ่งมิติมีหน่วยของพื้นที่ผกผันและอื่น ๆ BRDF ทำหน้าที่คล้ายกับความหนาแน่นของความน่าจะเป็นที่กำหนดบนซีกโลกทำให้มีโอกาสที่โฟตอนจะเข้ามาจากทิศทางที่กำหนดเพื่อสะท้อนกลับไปยังทิศทางอื่น เช่นเดียวกับความหนาแน่นของความน่าจะเป็นอื่น ๆ บนโดเมนทรงกลมมันมีหน่วยของมุมทึบกลับกัน
ในทางเรขาคณิตเราสามารถลงไปที่แทร็กทองเหลืองและแยกสิ่งที่เกิดขึ้นในอินทิกรัลในสมการเรนเดอร์ จงจำไว้ว่าอินทิกรัลหมายถึงการแบ่งโดเมนออกเป็นชิ้นเล็ก ๆ และรวมอินทิกรัลกับชิ้นส่วนทั้งหมด (ในขีด จำกัด เมื่อชิ้นส่วนเล็กลงเล็กน้อย) ลองดูที่ชิ้นหนึ่ง การรวมเข้าด้วยกันควรส่งผลให้ปริมาณความกระจ่างใสมากเนื่องจากเราจะรวมกันหลาย ๆ ชิ้นเพื่อให้ได้ความกระจ่างใสออกมาอย่าง จำกัด ดังนั้นชิ้นส่วนเล็ก ๆ ของอินทิกรัลดูเหมือน:dL
dL=LincomingfBRDF(n⋅ω′)dω′
ถ้าเราจัดกลุ่มปัจจัยอีกเล็กน้อยการรวมกันคำนวณการฉายรังสีบนพื้นผิวเนื่องจากแสงที่มาจากมุมแข็งขนาดเล็กโอเมก้า' เพราะมันมาจากจำนวนเงินที่เล็กของมุมของแข็งก็ผลิตน้อยรังสีdE d ω ′ d ELincoming(n⋅ω′)dω′dω′dE
dL=fBRDFdE
หรือ
fBRDF=dLdE
ดังนั้น BRDF จึงทำหน้าที่เป็นค่าคงที่สัดส่วนระหว่างการฉายรังสีขนาดเล็กที่มาถึงพื้นผิวจากมุมที่เป็นของแข็งเล็ก ๆ และความเปล่งประกายออกที่เล็กที่สุดที่เกิดขึ้น มันไม่อาจจะอัตราส่วนของ radiances เพราะเรามีจำกัดกระจ่างใสที่เข้ามาและเราต้องเล็กกระจ่างใสขาออกถ้าเราต้องการที่จะสรุปหลายชิ้นหนึ่งและได้รับผล จำกัด ในการทำให้สิ่งนั้นเกิดขึ้น BRDF จะต้องมีค่าน้อยที่สุดซึ่ง ... ไม่ใช่ในคณิตศาสตร์มาตรฐาน :)
ฉันหวังว่าสิ่งนี้จะช่วยได้บ้าง มีวิธีที่เท่าเทียมกันหลายวิธีในการดูปัญหานี้เช่นเดียวกับหลายสิ่งหลายอย่างในวิชาคณิตศาสตร์และฟิสิกส์