การแปลง Affine คืออะไร

Tranformations Affine คืออะไร พวกมันใช้กับแต้มหรือรูปร่างอื่น ๆ ด้วยหรือไม่? หมายความว่าพวกเขาสามารถ "ใจเย็น"?

transformations affine-transformations

การแปลง Affine เป็นการแปลงเชิงเส้น + เวกเตอร์การแปล

[\begin{matrix} x^{'} & y^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} x & y \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] + [\begin{matrix} e & f \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}x'& y'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b \\ c&d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e& f\end{bmatrix}$

มันสามารถนำไปใช้กับจุดบุคคลหรือเส้นหรือแม้กระทั่งเส้นโค้ง Bezier สำหรับเส้นจะรักษาคุณสมบัติที่เส้นขนานยังคงขนานกัน สำหรับเส้นโค้ง Bezier นั้นจะรักษาคุณสมบัตินูน - ฮัลล์ของจุดควบคุม

คูณออกมันสร้าง 2 สมการเพื่อให้ได้คู่ที่ "เปลี่ยน" พิกัดจากคู่ดั้งเดิมและรายการค่าคงที่ . $(x', y')$ $(x, y)$ $(a, b, c, d, e, f)$

x^{'} = a \cdot x + ค \cdot Y + อี Y^{'} = ข \cdot x + d \cdot Y + ฉ

$x' = a\cdot x + c\cdot y + e \\ y' = b\cdot x + d\cdot y + f$

สะดวกสบายการแปลงเชิงเส้นและเวกเตอร์การแปลสามารถรวมกันเป็นเมทริกซ์ 3 มิติซึ่งสามารถทำงานได้มากกว่าพิกัด 2D ที่เป็นเนื้อเดียวกัน

[\begin{matrix} x^{'} & y^{'} & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ e & f & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}x'& y'&1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}$

ซึ่งให้ผลสมการ 2 เหมือนกันด้านบน

สะดวกมากที่การฝึกอบรมของพวกเขาสามารถคูณกันเพื่อสร้างเมทริกซ์ที่สาม (ของค่าคงที่) ซึ่งดำเนินการเปลี่ยนแปลงเช่นเดียวกับที่ 2 เดิมจะดำเนินการตามลำดับ การคูณเมทริกซ์นั้นเชื่อมโยงกัน

\begin{matrix} [\begin{matrix} x^{″} & y^{″} & 1 \end{matrix}] & = & ([\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ e & f & 1 \end{matrix}]) \cdot [\begin{matrix} g & h & 0 \\ i & j & 0 \\ k & m & 1 \end{matrix}] \\ = & [\begin{matrix} a \cdot x + c \cdot y + e & b \cdot x + d \cdot y + f & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} g & h & 0 \\ i & j & 0 \\ k & m & 1 \end{matrix}] \\ = & {[\begin{matrix} g (a \cdot x + c \cdot y + e) + i (b \cdot x + d \cdot y + f) + k \\ h (a \cdot x + c \cdot y + e) + j (b \cdot x + d \cdot y + f) + m \\ 1 \end{matrix}]}^{T} \\ = & [\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot ([\begin{matrix} a & b & 0 \\ c & d & 0 \\ e & f & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} g & h & 0 \\ i & j & 0 \\ k & m & 1 \end{matrix}]) \\ = & [\begin{matrix} x & y & 1 \end{matrix}] \cdot [\begin{matrix} a g + b i & a h + b j & 0 \\ c g + d i & c h + d j & 0 \\ e g + f i + k & e h + f j + m & 1 \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{matrix} \begin{bmatrix}x''& y''&1\end{bmatrix} & = & \left( \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix}\right) \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ & = & \begin{bmatrix}a \cdot x + c \cdot y+e & b \cdot x + d \cdot y+f &1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \\ &=& \begin{bmatrix}g(a \cdot x + c \cdot y+e) + i( b \cdot x + d \cdot y+f) + k \\ h(a \cdot x + c \cdot y+e) + j( b \cdot x + d \cdot y+f) + m \\1 \end{bmatrix}^T \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \left( \begin{bmatrix}a& b &0\\ c&d&0 \\ e&f&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}g& h &0\\ i&j&0 \\ k&m&1\end{bmatrix} \right) \\ &=& \begin{bmatrix}x& y&1\end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix}ag+bi& ah+bj &0\\ cg+di&ch+dj&0 \\ eg+fi+k&eh+fj+m&1\end{bmatrix} \end{matrix}$

Alternatively you can consider a few basic transform types and compose any more complex transform by combining these (multiplying them together).

Identity transform

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

Scaling

[\begin{matrix} S_{x} & 0 & 0 \\ 0 & S_{y} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} S_x & 0 & 0 \\ 0 & S_y & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$

*Note: a reflection can be performed with scaling parameters $(S_x, S_y) = (-1,1)$ or $(1,-1)$ .

Translation

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ T_{x} & T_{y} & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ T_x & T_y & 1 \end{bmatrix}$

เอียง x ด้วย y

[\begin{matrix} 1 & Q_{x} & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & Q_x & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

เอียง y ด้วย x

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ Q_{Y} & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ Q_y & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

การหมุน

[\begin{matrix} \cos θ & - s ผม n θ & 0 \\ บาป θ & \cos θ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \cos\theta & -sin\theta & 0\\ \sin\theta & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

[หมายเหตุฉันได้แสดงรูปแบบของเมทริกซ์ที่นี่ซึ่งยอมรับเวกเตอร์แถวทางซ้ายด้านซ้ายการแปลงสภาพของเมทริกซ์เหล่านี้จะทำงานกับเวกเตอร์คอลัมน์ทางด้านขวา]

เมทริกซ์ที่ประกอบจากการปรับสเกลการหมุนและการแปลสามารถแยกส่วนประกอบออกเป็นสามส่วนได้

— luser droog
แหล่งที่มา

คำตอบที่ดี คุณอาจต้องการเพิ่มวิธีคิดเกี่ยวกับการแปลงเลียนแบบหนึ่งวิธีคือให้ขนานกับเส้นขนาน ดังนั้นการปรับขนาดการหมุนการแปลการเฉือนและการรวมกันนับเป็นเลียนแบบ มุมมองภาพเป็นตัวอย่างของการแปลงไม่ใช่เลียนแบบ

— ap_

คุณสามารถเพิ่มรูปภาพ ถ้าคุณจะไม่ฉันจะ: P นอกจากนี้ยังอาจกล่าวถึงการสั่งซื้อในเมทริกซ์และการวางแนวแถว / คอลัมน์โดยพลการ และการหมุนในรูปแบบ 3 มิตินั้นไม่ได้เป็นการเชิงซ้อน

— joojaa

@joojaa I made pictures! postscript sources

— luser droog

มันอาจคุ้มค่าที่จะกล่าวถึงว่าการแปลงร่างแข็งเกร็งเป็นชุดย่อยของการแปลงเลียนแบบและการเปลี่ยนเลียนแบบเป็นส่วนย่อยของการเปลี่ยนมุมมอง

— user1118321

ฉันอ่านมันซ้ำ ๆ ไปเรื่อย ๆ ทุกครั้งและฉันก็ไม่สามารถบอกได้เลย แต่ฉันอาจมีการเปลี่ยนแปลงที่อธิบายอย่างผิด ๆ Skews กำลังสับสน หากใครเห็นสิ่งนี้และต้องการไปแก้ไขโปรดช่วยชี้แจงส่วนนั้น!

— luser droog