เป็นไปได้หรือไม่ที่จะเปลี่ยนเมทริกซ์การหมุน 3 มิติ (4x4) เป็นชิ้นส่วนของมัน (การหมุน, สเกล, ฯลฯ )?

เพื่อให้เป็นรูปธรรมมากขึ้นฉันกำลังทำงานกับแอพ iOS และมีโครงสร้างCATransform3D(โดยทั่วไปคืออาร์เรย์แปลง 4x4)

เป็นไปได้ไหมที่จะอนุมาน "การดำเนินการ" ที่แตกต่างกันของเมทริกซ์นี้? สิ่งต่าง ๆ เช่นการหมุน, สเกล, ฯลฯ มันหมายถึงอะไร?

transformations

คุณสามารถแยกเมทริกซ์ลงในการแปลงพื้นฐาน: การแปลการปรับสเกลและการหมุน รับเมทริกซ์นี้: $\mathbf{M} = \mathbf{TRS}$

M = [\begin{matrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} & a_{03} \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{20} & a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}]

$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} & a_{03}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\mathbf{t} = (a_{03}, a_{13}, a_{23})$

$\mathbf{s} = (s_0, s_1, s_2)$

\begin{matrix} s_{0} = ‖ (a_{00}, a_{10}, a_{20}) ‖ \\ s_{1} = ‖ (a_{01}, a_{11}, a_{21}) ‖ \\ s_{2} = ‖ (a_{02}, a_{12}, a_{22}) ‖ \end{matrix}

$\begin{matrix} s_0 = \left \|(a_{00}, a_{10}, a_{20}) \right \|\\ s_1 = \left \|(a_{01}, a_{11}, a_{21}) \right \|\\ s_2 = \left \|(a_{02}, a_{12}, a_{22}) \right \|\\ \end{matrix}$

ตอนนี้คุณมีขนาดที่คุณสามารถกำจัดมันใช้ย่อยเมทริกซ์ที่สอดคล้องกับโดยการคูณเมทริกซ์ที่มีการผกผันของขนาดการ รับ $3\times 3$ $\mathbf{RS}$ $\mathbf{S}^{-1}$ $\mathbf{R}$

\begin{aligned} {(R S) S}^{- 1} & = [\begin{matrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} \\ a_{20} & a_{21} & a_{22} \end{matrix}] {[\begin{matrix} s_{0} & 0 & 0 \\ 0 & s_{1} & 0 \\ 0 & 0 & s_{2} \end{matrix}]}^{- 1} \\ = [\begin{matrix} a_{00} & a_{01} & a_{02} \\ a_{10} & a_{11} & a_{12} \\ a_{20} & a_{21} & a_{22} \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 / s_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 1 / s_{1} & 0 \\ 0 & 0 & 1 / s_{2} \end{matrix}] \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{(RS)S}^{-1} &= \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} s_0 & 0 & 0\\ 0 & s_1 & 0\\ 0 & 0 & s_2 \end{bmatrix}^{-1} \\ &= \begin{bmatrix} a_{00} & a_{01} & a_{02}\\ a_{10} & a_{11} & a_{12}\\ a_{20} & a_{21} & a_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/s_0 & 0 & 0\\ 0 & 1/s_1 & 0\\ 0 & 0 & 1/s_2 \end{bmatrix} \end{align}$

ดังนั้น ( ): $\mathbf{(RS)S}^{-1} = \mathbf{RI} = \mathbf{R}$

R = [\begin{matrix} a_{00} / s_{0} & a_{01} / s_{1} & a_{02} / s_{2} \\ a_{10} / s_{0} & a_{11} / s_{1} & a_{12} / s_{2} \\ a_{20} / s_{0} & a_{21} / s_{1} & a_{22} / s_{2} \end{matrix}]

$\mathbf{R} = \begin{bmatrix} a_{00}/s_0 & a_{01}/s_1 & a_{02}/s_2\\ a_{10}/s_0 & a_{11}/s_1 & a_{12}/s_2\\ a_{20}/s_0 & a_{21}/s_1 & a_{22}/s_2\\ \end{bmatrix}$

นี่คือเมทริกซ์การหมุนรอบสุดท้าย คุณสามารถย่อยสลายมันได้หลายวิธี มันจะออกยาว แต่คุณสามารถค้นหาเน่าเฟะเมทริกซ์หมุน

วิธีนี้ให้ค่าที่เทียบเท่าในรูปแบบของการแปลการปรับขนาดและการหมุน (เมทริกซ์ดั้งเดิมอาจเป็นผลมาจากการแปลงรูปแบบอื่น ๆ ) มันอาจมีปัญหากับความแม่นยำจุดลอยตัวกับมุมการหมุนถ้าคุณใช้มุมที่ย่อยสลายต่อไปข้อผิดพลาดในการปัดเศษอาจสะสมในการคำนวณ คุณไม่ควรใช้มันหากคุณไม่ได้สร้างเมทริกซ์ด้วยตัวเอง

ถ้าคุณเป็นคนที่สร้างเมทริกซ์และต้องการการสลายตัวเพื่อที่จะสามารถแก้ไขและแสดงการแปลสเกลและการหมุนทีละตัวและเป็นอิสระทำความสะอาดทำไมต้องเก็บส่วนประกอบของ ,และในชั้นเรียนการแปลงแต่ละรายการเป็นพาหะ (อาจเป็นควอเทอร์เนียนสำหรับการหมุน) เมื่อคุณต้องการเมทริกซ์การแปลงให้สร้างเมทริกจากส่วนประกอบเหล่านี้ (คุณสามารถแคชเมทริกซ์จนกว่าจะมีการเปลี่ยนแปลงบางส่วน) $\mathbf{t}$ $\mathbf{s}$ $\mathbf{r}$ $\mathbf{TRS}$

— user5488
แหล่งที่มา

คุณช่วยอธิบายปัญหาของความแม่นยำจุดลอยตัวได้ไหม? ฉันไม่เห็นอะไรเลยในวิธีนี้ที่จะทำให้เกิดปัญหาความแม่นยำยกเว้นว่าเครื่องชั่งมีความสุดยอดจริงๆ นอกจากนี้ควรสังเกตว่าวิธีนี้อาจล้มเหลวหากเมทริกซ์นั้นประกอบขึ้นจากลำดับของเมทริกซ์ที่มีทั้งเครื่องชั่งที่ไม่สม่ำเสมอและการหมุน เมทริกซ์จะเปิดออกไม่ได้ที่จะหมุนในกรณีที่ว่า แต่จะรวมถึงการเฉือนบาง

R

$\mathbf{R}$

— นาธานรีด

ตัวเลขทศนิยมทั้งหมดมีข้อผิดพลาดที่อยู่ภายใน (มีขอบเขต) เมื่อใดก็ตามที่คุณดำเนินการและโดยเฉพาะอย่างยิ่งการเพิ่มหรือการลบคุณจะรวมข้อผิดพลาดเพิ่มขนาดของขอบเขต ที่ซ่อนอยู่ในอัลกอริทึมการสลายตัวคือการดำเนินการเพิ่มเติมจำนวนมาก (ทั้งในการคูณเมทริกซ์และการคำนวณขนาดสเกล) และรากที่สอง (ในสเกล) การสลายตัวเพิ่มเติมจะแนะนำข้อผิดพลาดเพิ่มเติม

— Timbo

@ Timbo ไม่มีการคูณเมทริกซ์เต็มรูปแบบที่นี่ แต่เพียงแค่คูณคอลัมน์ของเมทริกซ์ด้วยสเกลผกผัน และขนาดเวกเตอร์เกี่ยวข้องกับการเพิ่มปริมาณบวกทั้งหมดดังนั้นจึงไม่มีการยกเลิกภัยพิบัติ มันไม่ได้เกิดข้อผิดพลาดที่สัมพันธ์กันมาก AFAICT อย่างไรก็ตามผู้เขียนชี้แจงว่าพวกเขากำลังพูดถึงการย่อยสลายเมทริกซ์การหมุนต่อไปในมุมของออยเลอร์หรือสิ่งที่คล้ายกันซึ่งมีเหตุผลมากกว่า

— นาธานรีด

ขอบคุณ - คำตอบที่ดี การติดตามผล: เพื่อให้ได้เมทริกซ์ดั้งเดิมกลับมาฉันคาดว่าเราต้องทำตามคำสั่งบางอย่างของการดำเนินการโดยเริ่มจากเมทริกซ์เอกลักษณ์ คำสั่งนี้จะเป็น TRS หรือไม่

— elsurudo