แสดงว่าปัญหาใน X ไม่สมบูรณ์ X

ทฤษฎีอัตถิภาวนิยมของรีอัลอยู่ในPSPACEแต่ผมไม่ทราบว่ามันเป็น PSPACE สมบูรณ์ หากฉันเชื่อว่าไม่ใช่ในกรณีนี้ฉันจะพิสูจน์ได้อย่างไร

โดยทั่วไปได้รับปัญหาความซับซ้อนในบางชั้นเรียนX , ฉันจะแสดงให้เห็นว่ามันเป็นสิ่งที่ไม่ได้ X-สมบูรณ์ ? ยกตัวอย่างเช่นXอาจจะNP , PSPACE , EXPTIME

การพิสูจน์จริงๆแล้ว$X$ไม่ใช่$PSPACE$สมบูรณ์ (ภายใต้การพูดลดพหุนามเวลา) จะยากมากที่จะทำ

ถ้า$P=PSPACE$แล้วทั้งหมดไม่น่ารำคาญ (เช่นไม่ใช่$\varnothing$และไม่$\Sigma^{\star}$ ) และปัญหาที่ไม่มีที่สิ้นสุดใน$PSPACE$มี$PSPACE$ที่สมบูรณ์ภายใต้การลดลงของพหุนามเวลา เนื่องจากทฤษฎีอัตถิภาวนิยมของ reals มีคุณสมบัติที่ไม่สำคัญและไม่มีที่สิ้นสุดนี้พิสูจน์ว่ามันไม่ใช่ $PSPACE$สมบูรณ์จะหมายความว่า$P \neq PSPACE$. (ดูคำตอบสำหรับคำถามนี้ใน CSTheory.SEสำหรับภาพร่างหลักฐาน)

ปัญหาในไม่สมบูรณ์Xหากมีปัญหาอื่น ๆ ในXที่ไม่สามารถลดลงได้ วิธีการที่ตรงไปตรงมา (แต่อาจมีประสิทธิภาพในตัวอย่างที่ไม่สำคัญ) ก็คือการพิสูจน์ว่าปัญหาของคุณยังอยู่ในระดับความซับซ้อนอื่น ๆYเช่นY ⊂ $X$$X$$X$$Y$$Y \subset X$ X

ตัวอย่างเช่นถ้าคุณต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่าปัญหาของคุณคือไม่สมบูรณ์แล้วมันจะเพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่ามันมีอยู่ในPตั้งแต่P ⊊ E X P T ฉันM E แต่ถ้าคุณต้องการที่จะแสดงให้เห็นว่าปัญหาที่เกิดขึ้นไม่ได้เป็นN Pสมบูรณ์แล้วมันไม่จำเป็นต้องเพียงพอที่จะแสดงให้เห็นว่ามันมีอยู่ในPเพราะมันไม่เป็นที่รู้จักหรือไม่P = N P$EXPTIME$$P$$P \subsetneq EXPTIME$$NP$$P$$P = NP$

ดูคำตอบที่ยอมรับสำหรับคำถามนี้ใน MathOverflow เทคนิคใดที่มีอยู่เพื่อแสดงว่าปัญหายังไม่เสร็จสมบูรณ์? . มันตอบกรณีที่เมื่อ X = NP

ดังที่ Ryan เขียนไว้การพิสูจน์ว่าปัญหาไม่ยากไม่ใช่เรื่องง่าย

ขอเป็นปัญหาในระดับความซับซ้อนXและSเป็น WRT ปิด≤ลด พิสูจน์ให้เห็นว่าคิวไม่X -hard WRT ≤เทียบเท่ากับการแยกระดับความซับซ้อนที่ได้รับโดยการปิดQ WRT ≤ ตอนนี้ถ้าถามเป็นเรื่องยากอีกระดับY WRT ≤แล้วมันหมายถึงการแยกYจากX อย่างที่คุณทราบมีผลการแยกไม่มาก$Q$$X$$S$$\leq$$Q$$X$$\leq$$Q$$\leq$$Q$$Y$$\leq$$Y$$X$

ในกรณีของคุณ , ≤ = ≤ P mและY = $X = \mathsf{PSpace}$$\leq = \leq^\mathsf{P}_m$$Y=\mathsf{P}$ P

เนื่องจากเราไม่สามารถพิสูจน์ผลลัพธ์ดังกล่าวได้ในขณะนี้ (ยกเว้นข้อยกเว้นที่เป็นไปได้ของ Ryan :) ในการพิสูจน์ว่าไม่ใช่X -ฮาร์ดเราแสดงให้เห็นว่ามันอยู่ในระดับความซับซ้อนที่เชื่อว่ามีขนาดเล็กกว่าX . ตัวอย่างเช่นหากคุณแสดงให้เห็นว่าT h ∃ ( R , + , × , 0 , 1 )อยู่ในP Hมันจะถูกนำมาเป็นหลักฐานที่ดีสำหรับQ ที่ไม่เป็น$Q$$X$$X$$\mathrm{Th}_\exists(\mathbb{R,+,\times,0,1})$$\mathsf{PH}$$Q$$X$-hard (ในภาษาของนักตรรกวิทยาหากคุณไม่สามารถพิสูจน์ผลลัพธ์ที่ไม่มีเงื่อนไขได้ให้ลองพิสูจน์คำที่มีเงื่อนไขโดยถือว่าเป็นคำที่ยากที่จะพิสูจน์ แต่เป็นคำที่เชื่อกันอย่างกว้างขวางเช่น )$\mathsf{P}\neq\mathsf{PSpace}$