อัลกอริทึมของ Dijkstra เป็นเพียง BFS ที่มีลำดับความสำคัญหรือไม่

22

ตามหน้านี้อัลกอริทึมของ Dijkstra เป็นเพียง BFS ที่มีลำดับความสำคัญ มันง่ายจริงๆเหรอ? ผมคิดว่าไม่.

algorithms graphs shortest-path

1

ทำไมคุณคิดอย่างนั้น

— กราฟิลส์

@ ราฟาเอลเพราะมันดูเหมือนง่ายเกินไปและเป็น: ฉันศึกษาอีกครั้งและฉันเห็นตอนนี้มันไม่ได้ติดตามระยะห่างระหว่างโหนดดังนั้นมันจึงเป็น BFS จริง ๆ ไม่ใช่ Dijkstra

— Barry Fruitman

1

ดี Dijkstra ไม่เปลี่ยนค่าคิวคือ "เรียง" กับ (มักเรียกว่า "ผ่อนคลาย"); หากคุณห้ามไม่ให้เป็นเช่นนั้นจริง

— Raphael

20

คุณสามารถใช้อัลกอริทึมของ Dijkstra ในฐานะ BFS โดยมีคิวลำดับความสำคัญ (แม้ว่าจะไม่ใช่การติดตั้งเพียงอย่างเดียว)

อัลกอริทึมของ Dijkstra อาศัยคุณสมบัติที่เส้นทางที่สั้นที่สุดจากถึงเป็นเส้นทางที่สั้นที่สุดไปยังจุดยอดใด ๆ ตามเส้นทาง นี่คือสิ่งที่ BFS ทำ $s$ $t$

หรือในมุมมองอื่น: อัลกอริทึมของ Dijkstra จะทำงานอย่างไรถ้าน้ำหนักทั้งหมดเป็น 1 เหมือนกับ BFS

— Shaull
แหล่งที่มา

4

ก่อนอื่นเราจะปรับ BFS ให้เป็นกราฟถ่วงน้ำหนักทั่วไปที่มากขึ้นอย่างไร $G = (V, E)$

นี่คือแนวคิดจากหนังสือ "อัลกอริทึม (ส่วน 4.4)" โดย Dasgupta et al:

สำหรับขอบใด ๆของ (มีน้ำหนัก ) แทนที่โดยขอบของความยาวโดยการเพิ่มโหนดหุ่นระหว่างและV $e = (u,v)$ $E$ $l_e$ $l_e$ $1$ $l_e - 1$ $u$ $v$

ด้วยเหตุนี้ขอบของกราฟผลลัพธ์ทั้งหมดจึงมีความยาวหน่วย ดังนั้นเราจึงสามารถคำนวณระยะทางในโดยการเรียกใช้ BFS บนG' $G'$ $G$ $G'$

ประการที่สองอัลกอริทึม Dijkstra บนเอาชนะ BFS บนกราฟที่ถูกแปลงอย่างไร $G$ $G'$

BFS บนอาจช้ามากหากบางใหญ่เพราะเสียเวลามากเกินไปในการคำนวณระยะทางไปยังโหนดจำลองที่เราไม่สนใจเลย อัลกอริทึม Dijkstra หลีกเลี่ยงสิ่งนี้โดยการตั้งค่าระยะทางโดยประมาณสำหรับโหนดและผ่อนคลายพวกเขาเมื่อใดก็ตามที่เป็นไปได้ $G'$ $l_e$

ประการที่สามอัลกอริทึม Dijkstra ทำงานอย่างไรบนกราฟที่ไม่ถ่วง

มันทำงานเหมือนกับที่ BFS ทำ เราทำอย่างละเอียดจากสองประเด็นหลัก

เมื่อ "ผ่อนคลาย"

สำหรับอัลกอริทึม Dijkstra บนกราฟน้ำหนักทั่วไปการพักผ่อนคือ
```
for all edges (u,v) in E:
    if dist(v) > dist(u) + w(u,v)
       dist(v) = dist(u) + w(u,v)
```
สำหรับ BFS บนกราฟที่ไม่ถ่วงเรารู้ว่าและดังนั้นการพักผ่อนจึงง่ายกว่า: $dist(v) = \infty$ $w(u,v) = 1$
```
for all edges (u,v) in E:
    if dist(v) = \infty
       dist(v) = dist(u) + 1
```
ใน "คิวลำดับความสำคัญ"

เมื่ออัลกอริทึม Dijkstra ทำงานบนกราฟที่ไม่ถ่วงเวลาคิวลำดับความสำคัญจะมีค่าที่แตกต่างกันสองตัว (ระยะทาง) ดังนั้นคิว FIFO ของ BFS ก็เพียงพอ

— Hengxin
แหล่งที่มา