ต้นไม้ที่ทอดสองแห่งของกราฟอย่างง่าย ๆ มีขอบร่วมกันเสมอหรือไม่?

ฉันลองสองสามกรณีและพบต้นไม้สองอันที่ครอบคลุมของกราฟอย่างง่ายมีขอบทั่วไป ฉันหมายถึงฉันไม่พบตัวอย่างตัวนับใด ๆ แต่ฉันไม่สามารถพิสูจน์หรือหักล้างสิ่งนี้ได้ จะพิสูจน์หรือหักล้างการคาดเดานี้ได้อย่างไร

ไม่พิจารณากราฟที่สมบูรณ์ :$K_4$

มันมีต้นไม้ทอดขอบต่อไปนี้:

สำหรับผู้อ่านที่สนใจมากขึ้นมีงานวิจัยบางอย่างเกี่ยวกับการสลายตัวของกราฟเข้าไปในต้นไม้ขอบเคลื่อนทอด

ยกตัวอย่างเช่นเอกสารคลาสสิกในปัญหาของการย่อยสลายกราฟลงในปัจจัยที่เกี่ยวโยงกัน$n$โดย WT Tutte และEdge-เคล็ดต้นไม้กราฟ จำกัด ซึ่งประกอบไปด้วยโดยซี St.JA แนชวิลเลียมส์ยังมีลักษณะของกราฟที่มีคู่ขอบเคลื่อน ทอดต้นไม้$k$

ยกตัวอย่างเช่นกระดาษBi-cyclic การสลายตัวของกราฟที่สมบูรณ์เข้าไปในต้นไม้ที่ทอดโดย Dalibor Froncek แสดงให้เห็นถึงวิธีการสลายกราฟสมบูรณ์เป็น isomorphicต้นไม้ที่ทอด$K_{4k+2}$${2k+1}$

ตัวอย่างเช่นกระดาษFactorizations ของกราฟที่สมบูรณ์ลงใน Spanning Tree ที่มีองศาสูงสุดที่เป็นไปได้ทั้งหมดโดย Petr Kovářและ Michael Kubesa แสดงวิธีแยกตัวประกอบให้ครอบคลุมต้นไม้ด้วยระดับสูงสุดที่กำหนด$K_{2n}$

คุณสามารถค้นหาเพิ่มเติม ตัวอย่างเช่นผู้ใช้ Google ค้นหาการสลายตัวของกราฟเป็นต้นไม้ทอด

แก้ไข: สิ่งนี้ไม่ถูกต้องตามที่ระบุไว้ในความคิดเห็น ดังที่คำตอบอื่น ๆ บอกไว้ต้นไม้ต้นสามารถทำได้โดยไม่ต้องแบ่งปันขอบ$K_4$

ไม่มันไม่เป็นความจริงที่ต้นไม้สองต้นที่เต็มไปด้วยกราฟมีขอบร่วมกัน

พิจารณากราฟล้อ:

คุณสามารถสร้างต้นไม้ที่ทอดด้วยขอบ "ภายใน" ห่วงและอีกหนึ่งจากวงรอบนอก

หลังจากการเฝ้าสังเกตกราฟที่นำเสนอโดย @Bjorn และ @Gokul ผมมาถึงข้อสรุปที่ว่าทุกสมบูรณ์กราฟกับมีอย่างน้อยสองต้นทอดที่มีขอบเคลื่อน$K_n$$n\geq4$

กราฟที่แสดงในรูปซึ่งเป็นวงล้อนั้นมีต้นไม้ที่ทอดสองต้นที่มีขอบแยกออกจากกันอย่างชัดเจน ในความเป็นจริงทุกล้อจะมีตรง ต้นไม้ทอดที่มีขอบไม่ปะติดปะต่อเพราะหนึ่งเป็นกราฟสมบูรณ์ของผู้อื่น$2$

ทีนี้ถ้าเราดูวิธีการแก้ปัญหาของ @Bjorn อย่างรอบคอบเราจะพบว่ากราฟและสแปนนิ่งทรีของเขานั้นเป็นแบบโฮโมมอร์ฟิคกับกราฟที่แสดงในรูป ในความเป็นจริงทุกสมบูรณ์กราฟด้วยมีล้อเป็น subgraph ของมันจึงโดยตรงตามที่ทุกสมบูรณ์กราฟสมบูรณ์ด้วยมีอย่างน้อย 2 (หรือว่า ?) ต้นไม้ทอดที่มีขอบเคลื่อน$K_n$$n\geq4$$n\geq4$$2$

PS : การสังเกตนี้ให้กำเนิดคำถามที่น่าสนใจอีกข้อ$2$

1. มีกราฟที่สมบูรณ์ซึ่งมีต้นไม้ที่ขยายมากกว่าต้นที่มีขอบแยกออกจากกันหรือไม่ หรือมันมักจะมีต้นไม้ทอดต้นที่มีขอบแยกออกจากกันเสมอ$2$$2$
2. มีกราฟอื่นนอกเหนือจากล้อหรือล้อเมื่อกราฟย่อยมีต้นไม้ที่ทอดยาวไปด้วยขอบที่แยกจากกันหรือไม่?

สำหรับฉันเชื่ออย่างนั้น$K_{2k}$

สำหรับเป็นตัวอย่างที่ตรงกันข้าม นั่นคือสำหรับกราฟแรกให้นำจุดยอดที่มีเลขคู่และเชื่อมต่อพวกเขาไปยังจุดยอดถัดไปและสำหรับจุดยอดคู่สุดท้ายทั้งหมดให้เชื่อมต่อกับจุดยอดหลังจากนั้นเช่นกัน สำหรับกราฟที่สองให้ทำสิ่งนี้ด้วยจุดยอดประหลาด$0\leq i < k$

และ inductively เมื่อเรามีตัวอย่างสำหรับจุดยอดมันเป็นเรื่องง่ายที่จะสร้างตัวอย่างด้วยจุดยอดโดยการเชื่อมต่อจุดยอดใหม่กับหนึ่งขอบสำหรับหนึ่งกราฟและอีกหนึ่งขอบสำหรับอีก$n$$n+1$

หากกราฟมีสะพาน (เช่นขอบที่การลบการตัดการเชื่อมต่อกราฟ) ดังนั้นขอบนี้จะต้องเป็นของต้นไม้ที่ทอด โดยสังหรณ์ใจสะพานเป็นเพียงขอบเชื่อมต่อสองจุดสิ้นสุดและดังนั้นจึงจำเป็นต้องเป็นของกราฟย่อยที่เชื่อมต่อทุก

ในทางกลับกันหากขอบของกราฟอยู่ในวัฏจักรแสดงว่ามีต้นไม้ทอดอยู่ที่ไม่มีขอบนี้

ดังนั้นหากขอบของกราฟทุกรอบเป็นวงจรดังนั้นไม่มีขอบใด ๆ ที่ใช้กับต้นไม้ที่ถูกสแปนทั้งหมด