การหาขนาดของเซตย่อยที่เล็กที่สุดด้วย GCD = 1

10

ปัญหานี้เป็นปัญหาจากการฝึกซ้อมของที่โปแลนด์วิทยาลัย Programming Contest 2012 แม้ว่าฉันจะสามารถหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับการแข่งขันหลัก แต่ฉันไม่สามารถหาวิธีแก้ไขปัญหานี้ได้ทุกที่

ปัญหาคือ: เนื่องจากชุดของเลขจำนวนเต็มบวก $N$ แตกต่างกันไม่เกิน $10^9$ ให้หาขนาด $m$ ของเซตย่อยที่เล็กที่สุดที่ไม่มีตัวหารร่วมอื่นที่ไม่ใช่ 1 $N$ มากที่สุด 500 และสามารถหาวิธีแก้ปัญหาได้

ฉันจัดการเพื่อแสดงให้เห็นว่า $m \le 9$ 9เหตุผลของฉันคือ: สมมติว่ามีเซตย่อยน้อยที่สุดของ $S$ ขนาด $|S|=10$ $S$ $1 < g_1 < g_2 < ... < g_{10}$ $\gcd(g_i,g_j)=1$ $i \neq j$ $S$ $g_2g_3...g_{10}$ $g_2g_3...g_{10} \ge 3\times5\times7\times11\times...\times29=3234846615 > 10^9$ ซึ่งขัดแย้งกัน

อย่างไรก็ตามแม้จะมีสิ่งนี้กำลังดุร้ายตรงไปตรงมาก็ยังช้าเกินไป ไม่มีใครมีความคิดอื่น ๆ อีกบ้าง?

algorithms number-theory

— Wakaka
แหล่งที่มา

whay ไม่สามารถ ?

g_{2} = 2

$g_2 = 2$

— vonbrand

g_{2} > g_{1} \geq 2

$g_2 > g_1 \ge 2$ 2 ไม่สามารถเป็น 1 ได้เนื่องจาก 9 ชุดย่อยไม่สามารถมี gcd เป็น 1 ได้

g_{1}

$g_1$

— Wakaka

1

ปัญหานี้เทียบเท่ากับสิ่งต่อไปนี้และเป็นเรื่องเล็กน้อยที่จะสร้างการลดลงทั้งสองวิธี

รับรายการบิตเวคเตอร์หาจำนวนขั้นต่ำสุดที่พวกมันandทั้งหมดส่งผลให้บิตเวกเตอร์ $0$ $(*)$

จากนั้นเราจะแสดงปกชุดลดไป(*)เมื่อตั้งค่าฝาครอบฉันหมายถึงให้รายการชุดค้นหาจำนวนชุดขั้นต่ำที่ครอบคลุมสหภาพของพวกเขา $(*)$ $S_1,\ldots,S_k$

เราสั่งองค์ประกอบในชุดที่จะa_1,ให้ , โดยที่ถ้า , 0 เป็นอย่างอื่น หมายเหตุฟังก์ชั่นนี้เป็น bijection ดังนั้นมันจึงมีค่าผกผัน $a_1,\ldots,a_n$ $f(S) = (1-\chi_{a_1}(S),\ldots,1-\chi_{a_n}(S))$ $\chi_x(S) = 1$ $x\in S$

ตอนนี้ถ้าเราแก้ในและการแก้ปัญหาคือแล้วเป็นวิธีแก้ไขปัญหา $(*)$ $f(S_1),\ldots,f(S_k)$ $\{ f(S_{b_1}),\ldots,f(S_{b_m})\}$ $\{ f^{-1}(S_{b_1}),\ldots,f^{-1}(S_{b_m})\}$

ดังนั้นฉันคิดว่าปัญหานี้กำลังทดสอบความสามารถของคนในการตัดพื้นที่การค้นหา

— เจ้า Xu
แหล่งที่มา

คุณจะพบจุดสุดยอดขั้นต่ำครอบคลุมได้อย่างไร?

— Yuval Filmus

โอ้ nvm วิธีนี้มันตั้งฝาครอบแทน

— เจ้า Xu

1

นั่นเป็นความจริง แต่ฉันคิดว่าบางทีเราสามารถใช้ประโยชน์จากคุณสมบัติบางอย่างของคดีพิเศษนี้ได้ ยกตัวอย่างเช่นในกรณีนี้ชุดที่มีทั้งหมดขนาดใหญ่มากที่มีขนาดไม่น้อยกว่าn-9อันที่จริงถ้าตัวเลขในเซตมีขนาดเล็กทั้งหมดขนาดของมันจะใหญ่กว่านี้ นอกจากนี้เราสามารถพบ 9 ชุดที่ครอบคลุมทุกอย่าง อย่างไรก็ตามคุณจะแนะนำให้ฉันตัดพื้นที่การค้นหาได้อย่างไร

n - 9

$n-9$

— Wakaka

ฉันไม่เห็นว่าปัญหา (*) เทียบเท่ากับที่ให้ไว้ในคำถาม สำหรับสิ่งหนึ่งปัญหาที่ระบุในคำถามมีสัญญาว่าจำนวนเต็มทั้งหมดจะเป็นซึ่งสอดคล้องกับการรับประกันเกี่ยวกับน้ำหนักของบิตเวกเตอร์ที่ไม่ปรากฏในปัญหา (*)

\leq 10^{9}

$\le 10^9$

— DW

1

เป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหานี้ได้อย่างมีประสิทธิภาพโดยการคำนวณ gcd ของ pairwise ทั้งหมด, ลบรายการที่ซ้ำกัน, จากนั้นเรียกซ้ำ เป็นการลบสิ่งที่ซ้ำกันออกก่อนที่คุณจะทำการคืนค่าให้มีประสิทธิภาพ

ฉันจะอธิบายขั้นตอนวิธีการในรายละเอียดด้านล่าง แต่แรกก็จะช่วยให้การกำหนดผู้ประกอบการไบนารี\ถ้าเป็นชุดของจำนวนเต็มบวก, define $\otimes$ $S,T$

S \otimes T = {gcd (s, t) : s \in S, t \in T} .

$S \otimes T = \{\gcd(s,t) : s \in S, t \in T\}.$

โปรดทราบว่าและ (ในปัญหาของคุณ); โดยทั่วไปจะมีขนาดเล็กกว่าขอบเขตที่แนะนำซึ่งช่วยให้อัลกอริทึมมีประสิทธิภาพ โปรดทราบว่าเราสามารถคำนวณได้ $|S \otimes T| \le |S| \times |T|$ $|S \otimes T| \le 10^9$ $S \otimes T$ $S \otimes T$ กับการดำเนินงาน gcd โดยการแจงนับง่าย $|S| \times |T|$

ด้วยสัญกรณ์นั้นนี่คืออัลกอริทึม ให้เป็นชุดตัวเลข คำนวณแล้วจากนั้นและอื่น ๆ ค้นหาเล็กที่สุดที่แต่ $S_1$ $S_2 = S_1 \otimes S_1$ $S_3 = S_1 \otimes S_2$ $S_4 = S_1 \otimes S_3$ $k$ $1 \in S_k$ $1 \notin S_{k-1}$ {k-1} แล้วคุณจะรู้ว่าขนาดของชุดย่อยดังกล่าวมีขนาดเล็กที่สุดคือkหากคุณต้องการส่งออกตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมของชุดย่อยดังกล่าวโดยการรักษาพอยน์เตอร์พอยน์เตอร์คุณสามารถสร้างชุดดังกล่าวขึ้นใหม่ได้อย่างง่ายดาย $k$

สิ่งนี้จะมีประสิทธิภาพค่อนข้างมากเนื่องจากไม่มีชุดค่ากลางใดที่ขยายขนาดขึ้น $10^9$ (อันที่จริงขนาดอาจจะเล็กกว่านั้น) และเวลาทำงานต้องใช้ประมาณการดำเนินการ gcd $500 \times (|S_1| + |S_2| + \cdots)$

นี่คือการเพิ่มประสิทธิภาพที่อาจปรับปรุงประสิทธิภาพยิ่งขึ้นไปอีก โดยทั่วไปคุณสามารถใช้ซ้ำสองเท่าเพื่อหาสิ่งที่เล็กที่สุดดังกล่าวที่S_k โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับแต่ละองค์ประกอบเราติดตามการย่อยที่เล็กที่สุดของมี GCD คือและขนาดซึ่งเป็นฉัน (เมื่อคุณลบรายการที่ซ้ำกันคุณแก้ไขความสัมพันธ์ในความโปรดปรานของเซตย่อยที่มีขนาดเล็กกว่า) ตอนนี้แทนที่จะคำนวณลำดับที่เก้าเซตแทนการคำนวณลำดับห้าชุดโดยการคำนวณจากนั้น $k$ $1 \in S_k$ $x \in S_i$ $S_1$ $x$ $\le i$ $S_1,S_2,S_3,S_4,\dots,S_9$ $S_1,S_2,S_4,S_8,S_9$ $S_2 = S_1 \otimes S_1$ จากนั้นจากนั้น $S_4 = S_2 \otimes S_2$ $S_8 = S_4 \otimes S_4$ $S_9 = S_1 \times S_8$ S_8 ขณะที่คุณไปพบครั้งแรกดังกล่าวที่S_k เมื่อคุณได้พบดังกล่าวที่คุณสามารถหยุดได้ทันที: คุณสามารถหาชุดย่อยที่เล็กที่สุดที่มี GCD เป็นโดยดูที่เซตที่เกี่ยวข้องกับการ1ดังนั้นคุณสามารถหยุดทันทีที่คุณมาถึงชุดที่ซึ่งจะช่วยให้คุณสามารถหยุดก่อนถ้าคุณพบชุดย่อยที่เล็กกว่า $k \in [1,2,4,8,9]$ $1 \in S_k$ $k$ $1 \in S_k$ $1$ $1$ $S_k$ $1 \in S_k$

สิ่งนี้ควรมีประสิทธิภาพด้านเวลาและประหยัดพื้นที่ เพื่อประหยัดพื้นที่สำหรับแต่ละองค์ประกอบคุณไม่จำเป็นต้องเก็บทั้งชุด: มันเพียงพอที่จะเก็บ backpointers สองตัว (ดังนั้นองค์ประกอบทั้งสองของที่คุณใช้ gcd ของเพื่อรับ ) และ เลือกขนาดของชุดย่อยที่สอดคล้องกัน $x \in S_k$ $S_i,S_j$ $x$

ในหลักการที่คุณสามารถเปลี่ยนลำดับโดยอื่น ๆห่วงโซ่นอกจากนี้ ฉันไม่รู้ว่าห่วงโซ่การเติมอื่น ๆ จะดีกว่านี้หรือไม่ ตัวเลือกที่ดีที่สุดอาจขึ้นอยู่กับการกระจายของคำตอบที่ถูกต้องและขนาดที่คาดหวังของชุด $[1,2,4,8,9]$ $S_k$ ซึ่งไม่ชัดเจนสำหรับฉัน แต่อาจได้รับสังเกตุจากการทดลอง

เครดิต: ขอบคุณ KWillets สำหรับแนวคิดในการจัดเก็บชุดย่อยของตัวเลขพร้อมกับแต่ละองค์ประกอบของซึ่งช่วยให้หยุดก่อนได้ $S_i$

— DW
แหล่งที่มา

ฉันเชื่อว่าการค้นหาแบบไบนารี่ไม่จำเป็น คุณสามารถจัดเก็บองค์ประกอบการนับด้วย gcd แต่ละตัวและตั้งเป็นผลรวมคู่ขั้นต่ำในระหว่างการเพิ่มเป็นสองเท่า

— KWillets

จุดที่ดี @KWillets! ขอบคุณสำหรับความคิดที่สวยงาม! ฉันรวมมันเป็นคำตอบของฉัน

— DW

0

บางทีมันอาจดูเร็วกว่าอีกวิธีหนึ่ง ... นายกที่ใหญ่ที่สุดน้อยกว่าคือ 31607 รวมจำนวน 3401 ครั้งระหว่าง 2 และ 31607 ไม่ใช่จำนวนมาก เขียนตัวเลขแต่ละตัวที่คุณได้รับอย่างเต็มที่ในช่วงเวลาที่มีค่าสูงถึง 31607: นี่คือ 1 หรือนายกใหญ่ ดังนั้นเซตของนั้นค่อนข้างดีถ้าเวกเตอร์สอดคล้องกันนั้นมีความเป็นอิสระเป็นเส้นตรง (และ s นั้นต่างกันหรือทั้ง 1) และคุณกำลังมองหาอันดับของเมทริกซ์ $\sqrt{10^9}$

a_{i} = p_{1}^{n_{i 1}} p_{2}^{n_{i 2}} \dots P_{i}

$a_i = p_1^{n_{i 1}} p_2^{n_{i 2}} \ldots P_i$

P_{i}

$P_i$

a_{i}

$a_i$

n_{i j}

$n_{i j}$

P

$P$

— vonbrand
แหล่งที่มา

การเชื่อมต่อกับความเป็นอิสระเชิงเส้นคืออะไร? เวกเตอร์และมีความเป็นอิสระเป็นเส้นตรง แต่ GCD คือในขณะที่เราต้องการ(0,0)

(1, 1)

$(1,1)$

(1, 0)

$(1,0)$

(1, 0)

$(1,0)$

(0, 0)

$(0,0)$

— Yuval Filmus

1

ความเป็นอิสระเชิงเส้นดูเหมือนจะไม่ทำงาน แต่เราสามารถใช้การสลายตัวที่สำคัญในวิธีอื่น สำหรับแต่ละนายก (ใน 'และที่มากที่สุด ' s), กำหนดชุดเป็นชุดของตัวเลขทั้งหมด (ในชุดกำหนด) ซึ่งไม่ได้มีเป็นปัจจัย ปัญหาที่เกิดขึ้นในขณะนี้คือการหาส่วนย่อยที่เล็กที่สุดของตัวเลขดังกล่าวว่าสำหรับแต่ละ ,1 นี่เป็นปัญหาชุดการกดปุ่มซึ่งเท่ากับปัญหาการตั้งค่า นี่คือสมบูรณ์ แต่อาจมีการใช้งานบางอย่างเร็วพอสำหรับขนาดนี้

p

$p$

3401

$3401$

p_{i}

$p_i$

500

$500$

P_{i}

$P_i$

A_{p}

$A_p$

p

$p$

B

$B$

A_{p}

$A_p$

| A_{p} \cap B | \geq 1

$|A_p \cap B| \geq 1$

N P

$NP$

— polkjh

คุณช่วยชี้แนะฉันไปยังการใช้งานบางอย่างที่สามารถใช้งานได้? จนถึงตอนนี้ฉันสามารถหาอัลกอริทึมการประมาณเท่านั้น ขอบคุณ!

— Wakaka

รายงานการสำรวจนี้พิจารณาทั้งแนวทางโดยประมาณและวิธีแก้ปัญหาที่แน่นอน และเมื่อตอบกลับความคิดเห็นโปรดเพิ่ม @ name-of-person ในความคิดเห็น มันจะส่งการแจ้งเตือนไปยังบุคคลนั้น มิฉะนั้นพวกเขาอาจไม่เคยรู้เกี่ยวกับความคิดเห็นของคุณ

— polkjh

-1

หากคุณสามารถค้นหาชุดย่อยที่มี gcd (S) = 1 ได้ฉันสามารถลบองค์ประกอบที่ซ้ำซ้อนออกจากชุดย่อยได้จนกว่าจะเหลือเพียง 2 องค์ประกอบเท่านั้นซึ่งมี gcd (S) = 1 ด้วยเหตุนี้ฉันจึงสามารถเรียกร้องได้ว่า เซตย่อยจะมี 2 องค์ประกอบหรือจะไม่มีอยู่

ตอนนี้เราใช้การสอบถามซ้ำเพื่อแก้ปัญหานี้ ลองแบ่งอาร์เรย์ของตัวเลขออกเป็น 2 ส่วนส่วนหนึ่งที่มีองค์ประกอบ n-1 และอีกส่วนหนึ่งมี 1 องค์ประกอบ (องค์ประกอบสุดท้าย) ทั้งสองหมายเลขจะอยู่ในองค์ประกอบ n-1 แรกหรือองค์ประกอบหนึ่งจะมีจากส่วนที่ 1 จับคู่กับองค์ประกอบสุดท้าย ดังนั้นเราสามารถแก้ไขปัญหานี้ได้

T (n) = T (n-1) + O (n) เวลา ซึ่งหมายถึง T (n) = O (n ^ 2)

— Pratik
แหล่งที่มา

4

gcd (6, 10, 15) = 1

$\gcd(6,10,15)=1$ 1 คุณสามารถลบองค์ประกอบใดได้บ้าง

— Rick Decker