คำถามติดแท็ก number-theory

ให้SSSเป็นเซตของตัวเลขธรรมชาติ เราพิจารณาSSSภายใต้คำสั่งหารหารบางส่วนเช่นs1≤s2⟺s1∣s2s1≤s2⟺s1∣s2s_1 \leq s_2 \iff s_1 \mid s_2 2 ปล่อย antichain\}α(S)=max{|V|∣V⊆S,Vα(S)=max{|V|∣V⊆S,V\qquad \displaystyle \alpha(S) = \max \{|V| \mid V\subseteq S, V}}\} หากเราพิจารณาปัญหาผลรวมย่อยของเซตของชุดตัวเลขในSSSเราจะพูดถึงอะไรเกี่ยวกับความซับซ้อนของปัญหาที่เกี่ยวข้องกับα(S)α(S)\alpha(S) ? มันง่ายที่จะดูว่าα(S)=1α(S)=1\alpha(S)=1แล้วปัญหาเป็นเรื่องง่าย หมายเหตุ: มันเป็นเรื่องง่ายแม้สำหรับปัญหาเป้หนักเมื่อ\ alpha (S) = 1 \α(S)=1α(S)=1\alpha(S)=1††\dagger ††\dagger แก้ปัญหาเป้หลังโดย M. Hartmann และ T. Olmstead (1993)

28 complexity-theory  number-theory  knapsack-problems 

ดูเหมือนว่าคำถามที่ควรมีคำตอบง่าย ๆ แต่ฉันไม่มีคำถามที่ชัดเจน: ถ้าฉันมีสองหมายเลขบิตสิ่งที่เป็นความซับซ้อนของการคำนวณ ?nnna,pa,pa, pamodpamodpa\bmod p การหารaaaด้วยppp จะใช้เวลา O(M(n))O(M(n))O(M(n))โดยที่M(n)M(n)M(n)คือความซับซ้อนของการคูณ แต่modmod\bmodสามารถทำงานได้เร็วขึ้นเล็กน้อยหรือไม่

23 algorithms  number-theory 

เพิ่งหมดความสนใจฉันพยายามที่จะแก้ปัญหาจากหมวด "ล่าสุด" ของ Project Euler ( ลำดับ Digit Sum ) แต่ฉันไม่สามารถคิดวิธีแก้ปัญหาได้อย่างมีประสิทธิภาพ ปัญหามีดังต่อไปนี้ (ในลำดับคำถามดั้งเดิมมีสองรายการที่เริ่มต้น แต่ไม่เปลี่ยนลำดับ): ลำดับ Digit Sum คือ 1,2,4,8,16,23,28,38,49 .... โดยที่ลำดับของลำดับคือผลรวมของตัวเลขที่อยู่ก่อนหน้าในลำดับ ค้นหาคำศัพท์ลำดับที่ลำดับnthnเสื้อชั่วโมงn^{th}1015th1015เสื้อชั่วโมง10^{15}th โซลูชันไร้เดียงสาไม่สามารถใช้งานได้เนื่องจากใช้เวลานาน ฉันพยายามลดปัญหาให้เป็นกรณีของการยกกำลังเมทริกซ์ (ซึ่งใช้เวลา )) แต่ไม่สามารถเกิดขึ้นได้กับการเกิดซ้ำที่เหมาะสมกับเกณฑ์เชิงเส้นเนื่องจากการเกิดซ้ำสำหรับลำดับนี้คือ ค่อนข้างแปลก จะเห็นได้ว่าลำดับถูกควบคุมโดยการเกิดซ้ำ:O(log(1015))O(ล.โอก.(1015))O(log ( 10^{15})) an=an−1+d(an−1).....(1)an=an−1+d(an−1).....(1) a_n = a_{n-1} + d( a_{n-1} ) ..... (1 ) โดยที่คือคำของลำดับและคือฟังก์ชันซึ่งเมื่อได้รับจำนวนธรรมชาติเป็นอินพุตจะส่งคืนผลรวมของตัวเลขของตัวเลข (เช่น. ) วิธีที่สองของฉันคือพยายามหารูปแบบบางอย่างในลำดับ จะเห็นได้ว่าคำสองสามคำแรกของลำดับสามารถเขียนเป็นn t h danana_nnthnthn^{th}dddd(786)=21d(786)=21\;d(786)=21 …

20 time-complexity  number-theory 

Bruinier และ Onoพบสูตรเกี่ยวกับพีชคณิตสำหรับฟังก์ชันพาร์ติชั่นซึ่งมีการรายงานอย่างกว้างขวางว่าเป็นความก้าวหน้า ฉันไม่เข้าใจกระดาษ แต่มีผลต่ออัลกอริทึมสำหรับการคำนวณอย่างรวดเร็วของฟังก์ชันพาร์ติชันหรือไม่

13 algorithms  complexity-theory  number-theory 

พื้นหลัง: ฉันเป็นคนธรรมดาที่สมบูรณ์ในด้านวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ ฉันกำลังอ่านเกี่ยวกับหมายเลข Busy Beaver ที่นี่และฉันพบข้อความต่อไปนี้: มนุษยชาติอาจไม่เคยรู้คุณค่าของ BB (6) สำหรับบางคนโดยเฉพาะอย่างยิ่งของ BB (7) หรือจำนวนที่สูงกว่าใด ๆ ในลำดับ อันที่จริงแล้วผู้เข้าแข่งขันห้าและหกอันดับต้นนั้นหลบเลี่ยงเรา: เราไม่สามารถอธิบายได้ว่าพวกเขา 'ทำงาน' อย่างไรในแง่ของมนุษย์ หากความคิดสร้างสรรค์เป็นแบบของการออกแบบมันไม่ได้เป็นเพราะมนุษย์ใส่ไว้ในนั้น วิธีหนึ่งในการทำความเข้าใจนี้คือแม้แต่เครื่องทัวริงขนาดเล็กก็สามารถเข้ารหัสปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ลึกซึ้งได้ ใช้การคาดคะเนของ Goldbach ว่าทุก ๆ หมายเลขคู่ 4 หรือสูงกว่านั้นจะเป็นผลรวมของจำนวนเฉพาะสองตัว: 10 = 7 + 3, 18 = 13 + 5 การคาดเดานั้นต่อต้านหลักฐานมาตั้งแต่ปี 1742 แต่เราสามารถออกแบบเครื่องทัวริงด้วยสมมุติว่า 100 กฎที่ทดสอบแต่ละเลขคู่เพื่อดูว่าเป็นผลรวมของสองช่วงเวลาและหยุดเมื่อใดและถ้าพบตัวอย่างที่ การคาดคะเน จากนั้นรู้ว่า BB (100) โดยหลักการเราสามารถเรียกใช้เครื่องนี้เป็นขั้นตอน BB (100) …

12 turing-machines  number-theory  busy-beaver 

มีคำถามที่ Stack Overflow ( ที่นี่ ): ได้รับจำนวนเต็ม , พิมพ์ออกมารวมกันเป็นไปได้ทั้งหมดของค่าจำนวนเต็มของและซึ่งการแก้สมการNA , B , C D A 2 + B 2 + C 2 + D 2 = Nยังไม่มีข้อความNNA , B , CA,B,CA,B,CDDDA2+ B2+ C2+ D2= NA2+B2+C2+D2=NA^2+B^2+C^2+D^2 = N คำถามนี้แน่นอนว่าเกี่ยวข้องกับทฤษฎีการคาดเดาของ Bachetในทฤษฎีจำนวน (บางครั้งเรียกว่าทฤษฎีบท Four Square ของ Lagrange เพราะหลักฐานของเขา) มีเอกสารบางฉบับที่พูดถึงวิธีการหาทางออกเดียว แต่ฉันไม่สามารถหาอะไรที่พูดถึงความเร็วที่เราสามารถหาวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดสำหรับเฉพาะเจาะจง(นั่นคือการรวมกันทั้งหมดไม่ใช่การเปลี่ยนลำดับทั้งหมด)ยังไม่มีข้อความNN ฉันคิดอยู่นิดหน่อยและดูเหมือนว่าฉันสามารถแก้ไขได้ในเวลาและสถานที่โดยที่คือผลรวมที่ต้องการ อย่างไรก็ตามหากขาดข้อมูลก่อนหน้านี้ในเรื่องนี้ฉันไม่แน่ใจว่านี่เป็นข้อเรียกร้องที่มีนัยสำคัญในส่วนของฉันหรือเพียงแค่ผลลัพธ์เล็กน้อยที่เห็นได้ชัดหรือเป็นที่รู้จักแล้วNO ( …

12 complexity-theory  time-complexity  number-theory  enumeration 

โดยทั่วไปปัญหาคือ: สำหรับชุดของตัวเลขบวกพบจำนวนน้อยที่สุดที่ไม่ได้เป็นตัวหารขององค์ประกอบของคือxSSSdddSSS∀x∈S, d∤x∀x∈S, d∤x\forall x \in S,\ d \nmid x แสดงว่าn=|S|n=|S|n = |S|และC=max(S)C=max(S)C = \max(S) (S) พิจารณาฟังก์ชันF(x)=F(x)=F(x) = จำนวนที่สำคัญอย่างน้อยไม่หารxxxxมันเป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าF(x)≤logxF(x)≤log⁡xF(x) \leq \log xx และสำหรับชุดSSSให้F(S)=F(S)=F(S) = นายกอย่างน้อยที่ไม่ได้แบ่งองค์ประกอบของSSSSเรามีขอบเขตบน F(S)≤F(lcm(S))≤F(Cn)≤nlogC.F(S)≤F(lcm⁡(S))≤F(Cn)≤nlog⁡C.F(S) \leq F(\operatorname{lcm}(S)) \leq F(C^n) \leq n \log C. ดังนั้นขั้นตอนวิธีการแรงเดรัจฉานง่ายซึ่งระบุตัวเลขทั้งหมดจาก111ไปnlogCnlog⁡Cn \log Cและการตรวจสอบถ้ามันไม่ได้แบ่งองค์ประกอบของSSSเป็นพหุนามและมีเวลาซับซ้อนO(n2logC)O(n2log⁡C)O(n^2 \log C)C) วิธีอื่น ๆ ในการแก้ปัญหาคือการคำนวณปัจจัยทั้งหมดสำหรับองค์ประกอบของทุกSSSและใช้พวกเขาในอัลกอริทึมแรงเดรัจฉานเพื่อตรวจสอบว่าxxxเป็นคำตอบในO(1)O(1)O(1)เวลา อัลกอริทึมนี้มีความซับซ้อนของเวลาO(n⋅min(C−−√,nlogC)+nlogC)O(n⋅min(C,nlog⁡C)+nlog⁡C)O(n \cdot \min (\sqrt{C}, n \log C) + …

11 algorithms  number-theory 

ปัญหานี้เป็นปัญหาจากการฝึกซ้อมของที่โปแลนด์วิทยาลัย Programming Contest 2012 แม้ว่าฉันจะสามารถหาวิธีแก้ปัญหาสำหรับการแข่งขันหลัก แต่ฉันไม่สามารถหาวิธีแก้ไขปัญหานี้ได้ทุกที่ ปัญหาคือ: เนื่องจากชุดของเลขจำนวนเต็มบวกNNNแตกต่างกันไม่เกิน10910910^9ให้หาขนาดmmmของเซตย่อยที่เล็กที่สุดที่ไม่มีตัวหารร่วมอื่นที่ไม่ใช่ 1 NNNมากที่สุด 500 และสามารถหาวิธีแก้ปัญหาได้ ฉันจัดการเพื่อแสดงให้เห็นว่าm≤9m≤9m \le 9 9 เหตุผลของฉันคือ: สมมติว่ามีเซตย่อยน้อยที่สุดของSSSขนาด|S|=10|S|=10|S|=10SSS1&lt;g1&lt;g2&lt;...&lt;g101&lt;g1&lt;g2&lt;...&lt;g101 < g_1 < g_2 < ... < g_{10}gcd(gi,gj)=1gcd(gi,gj)=1\gcd(g_i,g_j)=1i≠ji≠ji \neq jSSSg2g3...g10g2g3...g10g_2g_3...g_{10}g2g3...g10≥3×5×7×11×...×29=3234846615&gt;109g2g3...g10≥3×5×7×11×...×29=3234846615&gt;109g_2g_3...g_{10} \ge 3\times5\times7\times11\times...\times29=3234846615 > 10^9ซึ่งขัดแย้งกัน อย่างไรก็ตามแม้จะมีสิ่งนี้กำลังดุร้ายตรงไปตรงมาก็ยังช้าเกินไป ไม่มีใครมีความคิดอื่น ๆ อีกบ้าง?

10 algorithms  number-theory 

ความซับซ้อนของการคำนวณคืออะไร ?nn2,n∈Nnn2,n∈Nn^{n^2},\;n \in \mathbb{N}

10 complexity-theory  integers  number-theory 

เพื่อที่จะแก้ไขปัญหานี้ฉันแรกสังเกตเห็นว่า ϕ (พีอี11 พีอี22⋯ พีอีkk) = (อี1+ 1 ) (อี2+ 1 ) ⋯ (อีk+ 1 )φ(พี1อี1 พี2อี2⋯ พีkอีk)=(อี1+1)(อี2+1)⋯(อีk+1)\phi(p_1^{e_1} \space p_2^{e_2} \cdots \space p_k^{e_k}) = (e_1 + 1)(e_2 + 1)\cdots(e_k +1) ที่ไหน ϕ ( m )φ(ม.)\phi(m) คือจำนวนตัวหาร (ไม่จำเป็นต้องมี) ของ ม.ม.m. ถ้าม.ม.m เป็นจำนวนเต็มเล็กที่สุดเช่นนั้น ϕ ( m ) = nφ(ม.)=n\phi(m) = nจากนั้น ϕ …

9 number-theory  primes 

พิจารณาปัญหาต่อไปนี้: ปล่อย S= {s1,s2, . . .sn}S={s1,s2,...sn}S = \{ s_1, s_2, ... s_n \} เป็นเซตย่อยของตัวเลขธรรมชาติ ให้ | โดยที่เป็นตัวหารร่วมมากที่สุดของและG = {G={G = \{ ก.คd(sผม,sJ)gcd(si,sj)gcd(s_i, s_j)sผม,sJ∈ S,si,sj∈S,s_i, s_j \in S, sผม≠sJ}si≠sj} s_i \neq s_j \}ก.คd( x , y)gcd(x,y)gcd(x,y)xxxYyy ค้นหาองค์ประกอบสูงสุดของGGGG ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยการใช้ตัวหารสามัญที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของแต่ละคู่โดยใช้อัลกอริทึมของ Euclid และติดตามตัวที่ใหญ่ที่สุด มีวิธีที่มีประสิทธิภาพมากขึ้นในการแก้ปัญหานี้หรือไม่?

9 algorithms  number-theory