จำนวนคำที่มีความยาวที่กำหนดในภาษาปกติ

มีการวิเคราะห์ลักษณะเชิงพีชคณิตของจำนวนคำที่มีความยาวที่กำหนดในภาษาปกติหรือไม่?

วิกิพีเดียระบุผลลัพธ์ที่ไม่แน่ชัด:

สำหรับภาษาใด ๆ ปกติมีอยู่คงที่และพหุนาม เช่นว่าสำหรับทุกจำนวนของ คำพูดของความยาวในน่าพอใจสม n$L$$\lambda_1,\,\ldots,\,\lambda_k$$p_1(x),\,\ldots,\,p_k(x)$$n$$s_L(n)$$n$$L$$s_L(n)=p_1(n)\lambda_1^n+\dotsb+p_k(n)\lambda_k^n$

มันไม่ได้ระบุว่าช่องว่างที่อาศัยอยู่ใน ( , ฉันเข้าใจ) และฟังก์ชั่นนั้นจำเป็นต้องมีค่าจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ค่าลบเหนือทั้งหมดหรือไม่ ฉันต้องการคำสั่งที่แม่นยำและร่างหรือการอ้างอิงสำหรับการพิสูจน์$\lambda$$\mathbb{C}$$\mathbb{N}$

คำถามโบนัส: การสนทนาที่แท้จริงคือให้ฟังก์ชั่นของแบบฟอร์มนี้มีภาษาปกติที่มีจำนวนคำต่อความยาวเท่ากับฟังก์ชั่นนี้หรือไม่?

_{คำถามนี้สรุปจำนวนคำในภาษาปกติ$(00)^*$}

ให้ภาษาปกติพิจารณา DFA ที่ยอมรับให้เป็นเมทริกโอนย้ายของมัน (คือจำนวนของขอบที่นำจากสถานะไปยังสถานะ ) ให้เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของสถานะเริ่มต้นและปล่อยให้เป็นเวกเตอร์ลักษณะเฉพาะของรัฐที่ยอมรับ จากนั้น L ฉันเจฉันJ x Y s L ( n ) = x T n$L$$L$$A$$A_{ij}$$i$$j$$x$$y$

$$s_L(n) = x^T A^n y.$$

ทฤษฎีบทของจอร์แดนกล่าวว่าตัวเลขที่ซับซ้อนคล้ายกับเมทริกซ์ที่มีบล็อกของหนึ่งในรูปแบบ ถ้าแล้วพลังของบล็อกเหล่านี้คือ ( λ ) , ( λ 1 0 λ ) , ( λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ ) , ( λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ 1 0 0 0 λ ) , ... λ ≠ 0 n ( λ n ) , ( λ n n λ n - $A$

$$\begin{pmatrix} \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}, \ldots$$ $\lambda \neq 0$$n$B=λ+NNλNBn=(λ+n)N=λn+nλn-1N+( $$\begin{pmatrix} \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2} \lambda^{n-2} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} & \binom{n}{3}\lambda^{n-3} \\ 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} & \binom{n}{2}\lambda^{n-2} \\ 0 & 0 & \lambda^n & n\lambda^{n-1} \\ 0 & 0 & 0 & \lambda^n \end{pmatrix}, \ldots$$ นี่คือวิธีที่เราได้รับ สูตรเหล่านี้: การเขียนบล็อกเป็นN พลังต่อเนื่องของคือเส้นทแยงมุมทุติยภูมิต่อเนื่องของเมทริกซ์$B = \lambda + N$$N$$\lambda$$N$λ=0[n=k]1n=k0( [ n = 0 ] ),( [ n = 0 ] [ n = 1 ] 0 [ n = 0 ] ),( [ n = 0 ] [ n = $$B^n = (\lambda + n)^N = \lambda^n + n \lambda^{n-1} N + \binom{n}{2} \lambda^{n-2} N^2 + \cdots.$$ เมื่อบล็อกนั้นไม่มีค่าเลยและเราจะได้เมทริกซ์ต่อไปนี้ (สัญกรณ์คือถ้าและอย่างอื่น): $\lambda = 0$$[n = k]$$1$$n=k$$0$ $$\begin{pmatrix} [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] \\ 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} [n=0] & [n=1] & [n=2] & [n=3] \\ 0 & [n=0] & [n=1] & [n=2] \\ 0 & 0 & [n=0] & [n=1] \\ 0 & 0 & 0 & [n=0] \end{pmatrix}$$

สรุปทุกรายการในเป็นหนึ่งในรูปแบบหรือในรูปแบบและเราอนุมานว่า บางซับซ้อนและซับซ้อนมีหลายชื่อp_iโดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับขนาดใหญ่พอที่ , นี่คือข้อความที่แม่นยำของผลลัพธ์($A^n$$\binom{n}{k} \lambda^{n-k}$$[n=k]$

$$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i^n + \sum_j c_j [n=j],$$ $\lambda_i,c_j$$p_i$$n$ $$s_L(n) = \sum_i p_i(n) \lambda_i^n.$$

เราสามารถดำเนินการต่อและรับข้อมูลเกี่ยวกับเกี่ยวกับแต่สิ่งนี้ไม่น่าแปลกใจเลย หากมีที่มีขนาดใหญ่ที่สุดเป็นพิเศษให้พูดดังนั้น สิ่งที่ได้รับความซับซ้อนมากขึ้นเมื่อมีหลายของขนาดใหญ่ที่สุด มันเกิดขึ้นที่มุมของพวกเขาจะต้องมีเหตุผล (ขึ้นอยู่กับขนาดพวกเขาเป็นรากฐานของความสามัคคี) หาก LCM ของตัวหารเป็นแล้ว asymptotics ของมากจะตามส่วนที่เหลือของโมดูโลdสำหรับส่วนที่เหลือเหล่านี้ทั้งหมด$s_L(n)$$\lambda_i$$\lambda_1$

$$s_L(n) = p_1(n) \lambda_1^n (1 + o(1)).$$ $\lambda$$d$$s_L$$n$$d$$\lambda$s ของขนาดที่ใหญ่ที่สุดยกเลิกแล้ว asymptotics "ลดลง" และเราต้องย้ำขั้นตอนนี้ ผู้อ่านที่สนใจสามารถตรวจสอบรายละเอียดได้ในทฤษฎีการวิเคราะห์เชิงบวกของ Flajolet และ Sedgewick , Theorem V.3 พวกเขาพิสูจน์ว่าสำหรับ , จำนวนเต็มและ reals , $d$$p_0,\ldots,p_{d-1}$$\lambda_0,\ldots,\lambda_{d-1}$ $$s_L(n) = n^{p_{n\pmod{d}}} \lambda_{n\pmod{d}}^n (1 + o(1)).$$

ให้เป็นภาษาปกติและ$L \subseteq \Sigma^*$

$\qquad \displaystyle L(z) = \sum\limits_{n \geq 0} |L_n|z^n$

มันสร้างฟังก์ชันที่และอื่น ๆ(n)$L_n = L \cap \Sigma^n$$|L_n|=s_L(n)$

มันเป็นที่รู้จักกันว่าเป็นเหตุผลคือ$L(z)$

$\qquad \displaystyle \frac{P(z)}{Q(z)}$

ด้วยชื่อพหุนาม; นี้จะง่ายที่สุดเห็นโดยการแปลไวยากรณ์ขวาเชิงเส้นสำหรับเป็น (เชิงเส้น) ระบบสมการที่มีการแก้ปัญหาคือ(z)$P,Q$$L$$L(z)$

รากฐานของนั้นมีความรับผิดชอบอย่างยิ่งต่อนำไปสู่แบบฟอร์มที่ระบุไว้ใน Wikipedia นี่เป็นเรื่องที่เกี่ยวข้องกับวิธีการพิเศษสำหรับการแก้ไขซ้ำชื่อพหุนาม (ผ่านการเกิดซ้ำซึ่งอธิบาย )$Q$$|L_n|$$(|L_n|)_{n \in \mathbb{N}}$