รหัสเลขฐานสองที่มีความยาว 6 ขนาด 32 และระยะทาง 2 อยู่หรือไม่

ปัญหาคือการพิสูจน์หรือพิสูจน์หักล้างการดำรงอยู่ของ $C$, เซนต์, $|c| = 6,\forall c\in C$; $|C| = 32$; $d(c_i,c_j)\geq2,1\leq i<j\leq32$. ($d$ ย่อมาจากระยะทาง hamming)

ฉันพยายามสร้างรหัสที่น่าพอใจ สิ่งที่ดีที่สุดที่ฉันจะได้รับคือปล่อยให้$C = C'\times C'$เรียงต่อกันของ $C' = \{000,011,110,101\}$ซึ่งมีขนาด 16 32 เป็นขอบเขตสูงสุดทางทฤษฎีของขนาดตอนนี้ฉันไม่รู้ว่าจะทำอย่างไรต่อไปเพื่อแก้ไขปัญหา

ใช่มีชุดดังกล่าว คุณอยู่ในเส้นทางที่ถูกต้องเพื่อค้นหาตัวอย่างต่อไปนี้

ปล่อย $C = \{c : |c|=6 \text{ and there are even number of 1's in c}\}$. คุณสามารถตรวจสอบดังต่อไปนี้

• $|C|=32$.
• $d(u,v)\geq2$ เพื่อทุกสิ่ง $u,v\in C$, $u\not=v$. (ในความเป็นจริง,$d(u,v)=2$ หรือ 4 หรือ 6)

ต่อไปนี้เป็นแบบฝึกหัดสี่ข้อที่เกี่ยวข้องซึ่งระบุไว้ในคำสั่งของความยากลำบากเพิ่มขึ้น อย่างที่เป็นในคำถามนั้นมีเพียงไบนารีโค้ดเท่านั้นที่เกี่ยวข้อง

แบบฝึกหัด 1.ยกตัวอย่างชุด 32 คำที่มีความยาว 6 และระยะทางตามลำดับอย่างน้อย 2 คู่

แบบฝึกหัดที่ 2แสดงว่ามีชุดดังกล่าวเพียงสองชุดดังที่ให้ไว้ในคำตอบและในแบบฝึกหัด 1

แบบฝึกหัดที่ 3. พูดคุยทั่วไปข้างต้นเป็นคำที่มีความยาวและระยะทางเท่ากันอย่างน้อย 2 (คำใบ้$32=2^{6-1}$.)

แบบฝึกหัดที่ 4 (การวางนัยทั่วไปเพิ่มเติมที่ระบุไว้ในคำตอบของ Yuval) ถ้า$A(n,d)$ คือขนาดสูงสุดของรหัสความยาว $n$ และระยะทางคู่ต่ำสุด $d$จากนั้น $A(d,2d)=A(n-1,2d-1)$.

คำทั้งหมดของความเท่าเทียมกันจากรหัสเชิงเส้นด้วย $2^{n-1}$ codewords และระยะทางต่ำสุด $2$.

โดยทั่วไปถ้า $A_2(n,d)$ คือขนาดสูงสุดของรหัสความยาว $n$ และระยะทางขั้นต่ำ $d$จากนั้น $A_2(n,2d) = A_2(n-1,2d-1)$.