ค้นหาการสั่งซื้อที่ดีที่สุด

ฉันเจอปัญหานี้และกำลังดิ้นรนเพื่อหาวิธีแก้ไข ความคิดใด ๆ ที่จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก!

สมมติว่าเราได้รับเมทริกซ์ตัวอย่างเช่น$\{-1, 0, 1\}^{n\ \times\ k}$

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$$

โดยไม่ต้องพยายามทุกการเปลี่ยนแปลงเดียวพบการสั่งซื้อของคอลัมน์ที่เพิ่มจำนวนแถวที่องค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์แรกคือ1$c_i$$1$

สำหรับตัวอย่างข้างต้นการสั่งซื้อหนึ่งรายการ (ไม่ซ้ำกัน!) คือคือ$(c_3, c_4, c_1, c_2, c_5)$

ที่นี่สำหรับจากแถวองค์ประกอบที่ไม่ใช่ศูนย์แรกคือ1$4$$5$$1$

ปัญหานี้ซึ่งผมจะเรียก CO สำหรับการสั่งซื้อคอลัมน์เป็นNP-ยาก นี่คือการลดลงของVertex Cover (VC) ของปัญหา NP-hard :

รูปแบบปัญหาการตัดสินใจของ VC และ CO

ให้การป้อนข้อมูลเช่น VC เป็นk) มันแสดงถึงคำถาม: "จากกราฟ , เป็นไปได้หรือไม่ที่จะเลือกชุดของจุดยอดสูงสุดจากเช่นว่าขอบทุกอันในจะเกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งจุดยอดที่เลือก" เราจะสร้างอินสแตนซ์ของ CO ที่แสดงถึงคำถาม: "ให้เมทริกซ์กับองค์ประกอบใน , เป็นไปได้ไหมที่จะเปลี่ยนคอลัมน์ของที่ 1 ปรากฏขึ้นก่อนหน้า -1 บนอย่างน้อยแถว? " ปัญหาทั้งสองนี้ระบุไว้ในปัญหาการตัดสินใจ$(V, E, k)$$(V, E)$$k$$V$$E$$(A, k')$$A$$\{-1, 0, 1\}$$A$$k'$รูปแบบโดยคำตอบของแต่ละคนเป็นใช่หรือไม่: การพูดอย่างเป็นทางการมันเป็นรูปแบบของปัญหาที่ NP- สมบูรณ์ (หรือไม่) ไม่ยากเกินไปที่จะเห็นว่ารูปแบบปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพที่เป็นธรรมชาติมากขึ้นที่ระบุไว้ในคำถามของ OP นั้นเทียบเท่ากันในแง่ของความซับซ้อน: การค้นหาแบบไบนารีบนพารามิเตอร์ขีด จำกัด สามารถใช้เพื่อแก้ปัญหาการเพิ่มประสิทธิภาพโดยใช้ตัวแก้ไขปัญหาการตัดสินใจ การเรียกใช้ตัวแก้ปัญหาการปรับให้เหมาะสมแล้วตามด้วยการเปรียบเทียบเพียงครั้งเดียวก็เพียงพอที่จะแก้ปัญหาการตัดสินใจ

การสร้างอินสแตนซ์ของ CO จากอินสแตนซ์ของ VC

ให้และ. เราจะสร้างเมทริกซ์พร้อมแถวและคอลัมน์ ด้านบนแถวจะเกิดขึ้นของตึกแถวแต่ละคนพร้อมกับแต่ละบล็อกที่เป็นตัวแทนของขอบที่จำเป็นต้องได้รับการคุ้มครอง แถวด้านล่างมี "สถานะ" จุดสุดยอดซึ่งจะทำให้คอลัมน์ (ตรงกับจุดสุดยอด) จะต้องเสียค่าใช้จ่ายคงที่ถ้ามันรวมอยู่ในด้านซ้ายมือของการแก้ปัญหา CO (สอดคล้องกับจุดสุดยอดที่รวมอยู่ในจุดสุดยอด ปกของโซลูชัน VC)$n=|V|$$m=|E|$$A$$(n+1)m + n$$n+1$$(n+1)m$$m$$n+1$$n$

สำหรับแต่ละจุดยอดให้สร้างคอลัมน์ที่:$v_i$

• ในด้านบนแถวที่บล็อก -th ของแถวทั้งหมดมี 1 เมื่อขอบเป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในและ 0 เป็นอย่างอื่นและ$(n+1)m$$j$$n+1$$e_j$$v_i$
• แถวด้านล่างมีทั้งหมด 0 ยกเว้น -th ซึ่งคือ -1$n$$i$

สร้างคอลัมน์ "รั้ว" อีกหนึ่งคอลัมน์ซึ่งประกอบด้วยสำเนาของ -1, ตามด้วยสำเนาของ +1$(n+1)m$$n$

สุดท้ายคือการกำหนดเกณฑ์สำหรับอินสแตน CO สร้าง:k กล่าวอีกนัยหนึ่งเราอนุญาตได้สูงสุดแถวซึ่ง -1 จะปรากฏต่อหน้า +1 ลองเรียกจำนวนการละเมิดแถวนี้ว่า "ต้นทุน" ของโซลูชัน CO$k'$$(n+1)m + n - k$$k$

พิสูจน์

การโต้ตอบระหว่างวิธีแก้ไขปัญหากับอินสแตนซ์ CO และชุดจุดยอดในอินสแตนซ์ VC ต้นฉบับคือ: ทุกคอลัมน์ทางด้านซ้ายของรั้วสอดคล้องกับจุดสุดยอดที่อยู่ในชุดและทุกคอลัมน์ทางด้านขวาของรั้วสอดคล้องกับ จุดสุดยอดที่ไม่ใช่

โดยสัญชาตญาณ -1s ที่ด้านบนสุดของคอลัมน์ "รั้ว" บังคับให้เลือกส่วนย่อยของคอลัมน์ที่จะวางไว้ทางซ้ายของมันที่รวมกันประกอบด้วย +1 ในตำแหน่งทั้งหมดเหล่านี้ - สอดคล้องกับส่วนย่อยของจุดยอดที่เกิดขึ้นในทุก ๆ ขอบ. แต่ละคอลัมน์เหล่านี้ที่ปรากฏทางด้านซ้ายของ "รั้ว" มี -1 ในแถวที่แตกต่างบางแห่งในแถวด้านล่างแถวค่าใช้จ่ายของ 1; +1 ที่ด้านล่างของ "รั้ว" ตรวจสอบให้แน่ใจว่าคอลัมน์ทั้งหมดอยู่ทางด้านขวาไม่มีค่าใช้จ่ายดังกล่าว$n$

เห็นได้ชัดว่าวิธีแก้ปัญหา VC ที่ใช้ที่จุดยอดสูงสุดให้ผลเฉลยกับ CO ตัวอย่างที่สร้างด้วยราคาสูงสุดที่ : เพียงแค่สั่งคอลัมน์ที่ตรงกับจุดยอดในจุดสุดยอดครอบคลุมโดยพลการตามด้วยคอลัมน์รั้วตามด้วยคอลัมน์รั้วที่เหลือทั้งหมดตามลำดับ .$k$$k$

มันยังคงแสดงให้เห็นว่าทางออกของอินสแตนซ์ของ CO ที่มีราคาสูงสุดที่สอดคล้องกับจุดยอดปกคลุมด้วยจุดสูงสุด$k$$k$

สมมติว่าตรงกันข้ามกับวิธีแก้ปัญหา CO ที่มีอยู่โดยมีค่าใช้จ่ายที่มากที่สุดซึ่งเหลือบางแถวในแถวบนสุดด้วย -1 ก่อน +1 แถวนี้เป็นบล็อกของแถวที่สอดคล้องกับขอบโดยเฉพาะยูวีทุกแถวในบล็อกนี้ในอินสแตนซ์ดั้งเดิมนั้นเหมือนกันทุกประการโดยการสร้าง การอนุญาตคอลัมน์อาจเปลี่ยนแถวเหล่านี้ แต่ไม่มีผลต่อความจริงที่ว่าพวกเขาเหมือนกัน ดังนั้นแต่ละเหล่านี้แถวเหมือนมี -1 ก่อนที่ 1 ในการแก้ปัญหาหมายความค่าใช้จ่ายอย่างน้อย1แต่ : ความขัดแย้ง$k$$(n+1)m$$(n+1)$$uv$$A$$n+1$$n+1$$k \le n < n+1$

เนื่องจากแต่ละบล็อกของแถวในแถวบนสุดมี +1 ก่อน -1 แต่ละขอบที่สอดคล้องกันจะถูกปกคลุมด้วยจุดยอดที่สอดคล้องกับคอลัมน์ทางด้านซ้ายของรั้ว: นั่นคือ ชุดย่อยของจุดยอดนี้ถือเป็นการปิดยอด เนื่องจากไม่มีแถวบนสุดมี -1 ก่อน +1 ดังนั้นจึงมีเพียงสถานที่ที่ค่าใช้จ่ายที่อาจเกิดขึ้นในการแก้ปัญหาอยู่ในแถวด้านล่างจากคอลัมน์ที่อยู่ทางด้านซ้ายของรั้ว แต่ละคอลัมน์ดังกล่าวมีค่าใช้จ่ายที่แน่นอน 1 ดังนั้นเมื่อค่าใช้จ่ายมากที่สุดคือต้องมีคอลัมน์ดังกล่าวมากที่สุดและด้วยเหตุนี้ที่จุดยอดสูงสุดในหน้าปก$m$$(n+1)m$$(n+1)m$$n$$k$$k$$k$

ท้ายที่สุดเป็นที่ชัดเจนว่าอินสแตนซ์ CO สามารถสร้างขึ้นในเวลาพหุนามจากอินสแตนซ์ VC ซึ่งหมายความว่าหากมีอัลกอริทึมพหุนามเวลาสำหรับการแก้ปัญหา CO อินสแตนซ์ VC ใด ๆ ก็สามารถแก้ไขได้ในเวลาพหุนาม ด้านบนแล้วแก้ไขมัน เนื่องจาก VC เป็น NP-hard CO ก็เช่นกัน

ฉันไม่รู้ว่ามีคำตอบพหุนามหรือไม่ อย่างไรก็ตามตามความคิดเห็นของPål GD คุณสามารถสร้างฟังก์ชันการทำให้เข้าใจได้ง่าย เมทริกซ์เริ่มต้นนั้นง่ายขึ้นเมื่อคุณสร้างลำดับเอาต์พุต$S$.

function simplification:
while(true)
    if any row i$ has no 1 or no -1 left, remove it
    if any column j has no -1 then,
       remove it and put j on the leftmost available position in S,
       remove all rows where column j has 1.
    if any column j has no 1 then, 
       remove it and put j on the rightmost available position in S.
    if no modification has been done on this loop, break

จากนั้นคุณต้องทำการสำรวจ combinatorics โดยใช้ฟังก์ชั่นการเลือกซ้ำ:

function pick(k):
    put column k on the leftmost available position in S
    remove any row where column k is -1 or 1

หลังจากเลือกทุกครั้งคุณสามารถลดความซับซ้อนเพื่อลดจำนวนความเป็นไปได้ที่จะสำรวจ ฉันขอแนะนำให้สำรวจอย่างตะกละตะกลามโดยเริ่มจากคอลัมน์ที่มีค่าน้อยกว่า -1 ดังนั้นคุณอาจถึงจุดต่ำสุดซึ่งเป็นเกณฑ์หยุด

ในตัวอย่างที่กำหนดการลดความซับซ้อนครั้งแรกจะให้ (ตามที่Pål GD อธิบายไว้ในความคิดเห็น)

• $S[0] = c3$ลบ r1, r3
• $S[1] = c4$ลบ r4
• $S[2] = c2$ นี่ช่วยให้คุณมีเมทริกซ์ง่าย ๆ ในการสำรวจ $$\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \\ \end{bmatrix}$$

ฉันคิดว่าเมทริกซ์ที่ทำให้วิธีนี้ไม่มีประสิทธิภาพค่อนข้างจะมี 1 อย่างแน่นอนและหนึ่ง -1 ต่อแถว / คอลัมน์บางอย่างเช่น

อย่างไรก็ตามการทำให้เข้าใจง่ายยังเหลืออยู่ประมาณครึ่งหนึ่งของขั้นตอนการสำรวจ และเมทริกซ์ชนิดนี้สามารถแบ่งได้เป็นหลายเมทริกซ์ย่อยอิสระ