ระยะทางที่สั้นที่สุดเปลี่ยนไปมากแค่ไหนเมื่อเพิ่มขอบเข้ากับกราฟ

ให้เป็นกราฟที่สมบูรณ์, มีน้ำหนัก, ไม่ระบุทิศทาง เราสร้างกราฟสองG ' = ( V , E ' )โดยการเพิ่มขอบหนึ่งโดยหนึ่งจากEไปE ' เราเพิ่มขอบΘ ( | V | )ลงในG ′ทั้งหมด$G=(V,E)$$G'=(V, E')$$E$$E'$$\Theta(|V|)$$G'$

ทุกครั้งที่เราเพิ่มอีกหนึ่งขอบเพื่อE 'เราจะพิจารณาในระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างคู่ทั้งหมดใน( V , E ' )และ( V , E ' ∪ { ( U , V ) } ) เรานับจำนวนของระยะทางที่สั้นที่สุดเหล่านี้มีการเปลี่ยนแปลงเป็นผลมาจากการเพิ่ม( U , V ) ให้C iเป็นระยะทางที่สั้นที่สุดที่เปลี่ยนไปเมื่อเราเพิ่ม$(u,v)$$E'$$(V, E')$$(V, E' \cup \{ (u,v) \})$$(u,v)$$C_i$$i$ขอบที่หนึ่งและให้เป็นจำนวนของขอบที่เราเพิ่มเข้าไปทั้งหมด$n$

C = ∑ i C iใหญ่แค่ไหน ?$C = \frac{\sum_i C_i}{n}$

เช่นเดียวกับ , C = O ( n 2 )เช่นกัน ขอบเขตนี้สามารถปรับปรุงได้หรือไม่? โปรดทราบว่าฉันกำหนดCจะเป็นเฉลี่ยมากกว่าขอบทั้งหมดที่ถูกเพิ่มเพื่อรอบเดียวซึ่งในจำนวนมากของการเปลี่ยนแปลงในระยะทางไม่ได้เป็นที่น่าสนใจแม้ว่ามันจะพิสูจน์ให้เห็นว่าC = Ω ( n )$C_i = O(|V|^2)=O(n^2)$$C=O(n^2)$$C$$C = \Omega(n)$

ฉันมีอัลกอริทึมสำหรับคำนวณเรขาคณิต t-spanner อย่างตะกละตะกลามซึ่งทำงานในเวลาดังนั้นถ้าCคือo ( n 2 )อัลกอริทึมของฉันเร็วกว่าอัลกอริทึมโลภดั้งเดิมและถ้าCมีขนาดเล็กจริงๆ อาจเร็วกว่าอัลกอริทึมที่รู้จักกันดีที่สุด (แม้ว่าฉันจะสงสัยก็ตาม)$O(C n \log n)$$C$$o(n^2)$$C$

คุณสมบัติเฉพาะปัญหาที่อาจช่วยให้เกิดขอบเขตที่ดี: edge ที่เพิ่มเข้ามานั้นจะมีน้ำหนักที่ใหญ่กว่าขอบใด ๆ ที่อยู่ในกราฟอยู่เสมอ นอกจากนี้น้ำหนักของมันสั้นกว่าเส้นทางที่สั้นที่สุดระหว่าง UและV$(u,v)$$u$$v$

คุณอาจสมมติว่าจุดยอดที่สอดคล้องกับจุดในระนาบ 2d และระยะห่างระหว่างจุดยอดคือระยะทางแบบยุคลิดระหว่างจุดเหล่านี้ นั่นคือทุกจุดยอดตรงกับบางจุด( x , y )ในระนาบและสำหรับขอบ( u , v ) = ( ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) )น้ำหนักของมันจะเท่ากัน ถึง$v$$(x,y)$$(u,v)=((x_1,y_1),(x_2,y_2))$$\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2.}$

พิจารณาโซ่แบบเชิงเส้นต่อไปนี้ด้วยโหนด , ขอบnและน้ำหนักที่เลือกไว้อย่างเลวทราม:$n+1$$n$

^{[ แหล่งที่มา ]}

เห็นได้ชัดว่าสามารถเพิ่มขอบตามลำดับน้ำหนักและมีของพวกเขา เพิ่มขอบประ (ซึ่งเป็นกฎหมาย) สร้างเส้นทางสั้นสำหรับทุกคู่( U ฉัน , ขJ )กับฉัน, J = 1 , ... , k ในฐานะที่เป็นk $n \in \mathcal{O}(|V|)$$(u_i,b_j)$$i,j = 1,\dots,k$และสมมติว่าn∈Θ(|V|)ทั้งแถวแรกและครั้งสุดท้ายประกอบด้วยΘ(|V|)โหนดจำนวนมากในแต่ละและนอกจากทำให้เกิดΘ(|V|2)จำนวนมากที่สั้นที่สุดการเปลี่ยนแปลงเส้นทาง$k \approx \frac{n}{4}$$n \in \Theta(|V|)$$\Theta(|V|)$$\Theta(|V|^2)$

ตอนนี้เราสามารถย้าย "ออกไปด้านนอก" ตอนนี้คือเพิ่มขอบถัดไปด้วยน้ำหนักระหว่างu k - 1และb k - 1และอื่น ๆ หากเราทำสิ่งนี้ต่อไป( u 1 , b 1 )เราจะทำให้เกิดผลรวมΘ ( | V |$n+2$$u_{k-1}$$b_{k-1}$$(u_1,b_1)$เปลี่ยนเส้นทางที่สั้นที่สุด$\Theta(|V|^3)$

หากสิ่งนี้ไม่โน้มน้าวใจคุณโปรดทราบว่าคุณสามารถเริ่มต้น "กระบวนการ" นี้ด้วยและออกไปข้างนอกจากที่นั่น ด้วยวิธีนี้คุณเพิ่ม≈ nขอบซึ่งสาเหตุทั้งหมด≈ Σ n ฉัน= 1ผม2 ∈ Θ ( n 3 ) = Θ ( | V | 3 )จำนวนมากที่สั้นที่สุดการเปลี่ยนแปลงเส้นทาง --- นี้เป็นไปไม่ได้เพียงแค่การวาดเพื่อให้พอดีกับหนึ่ง จอภาพ$(c_1,c_2)$$\approx n$$\approx \sum_{i=1}^{n}i^2 \in \Theta(n^3) = \Theta(|V|^3)$