กำลังตรวจจับความก้าวหน้าเลขคณิต 3SUM ยากหรือไม่?

นี้เป็นแรงบันดาลใจจากคำถามสัมภาษณ์

เราได้รับอาร์เรย์จำนวนเต็มและต้องพิจารณาว่ามีที่ชัดเจนหรือไม่ i < j < $a_1, \dots, a_n$$i \lt j \lt k$

• $a_k - a_j = a_j - a_i$
• $k - j = j - i$

เช่นลำดับและทั้งคู่อยู่ในการดำเนินการทางคณิตศาสตร์{ i , j , k $\{a_i, a_j, a_k\}$$\{i,j,k\}$

มีอัลกอริทึมสำหรับสิ่งนี้ แต่การค้นหาอัลกอริทึมย่อยกำลังสองดูเหมือนว่าเข้าใจยาก$O(n^2)$

นี่เป็นปัญหาที่ทราบหรือไม่? เราสามารถพิสูจน์ความแข็งของ 3SUM ได้ไหม? (หรืออาจจะให้อัลกอริทึมย่อยกำลังสอง?)

ถ้าคุณชอบคุณสามารถสันนิษฐานและสำหรับบางคนคงรู้จักกัน2 (ในปัญหาการสัมภาษณ์ )R + 1 - R ≤ K K > 2 K = $0 \lt a_1 \lt a_2 \lt ... \lt a_n$$a_{r+1} - a_{r} \le K$$K > 2$$K = 9$

นี่เป็นปัญหาเปิด

อาจเป็นไปได้ว่ารูปแบบความแข็ง 3SUM ที่อ่อนแอบางรูปแบบสามารถพิสูจน์ได้โดยการปรับผลจากกระดาษ STOC 2010 ของ Mihai Pătrașcu ในหัวข้อ " สู่ขอบเขตพหุนามสำหรับปัญหาไดนามิก " ก่อนอื่นให้ฉันกำหนดลำดับของปัญหาที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิด อินพุตสำหรับแต่ละปัญหาคืออาร์เรย์ที่เรียงลำดับของจำนวนเต็มที่แตกต่างกัน$A[1..n]$

• 3SUM:มีดัชนีที่แตกต่างกันคือเช่นที่ ?A [ i ] + A [ j ] = A [ k $i,j,k$$A[i] + A[j] = A[k]$

• Convolution3SUM:มีดัชนีเช่นนั้นหรือไม่A [ i ] + A [ j ] = A [ i + j $i<j$$A[i] + A[j] = A[i+j]$

• ค่าเฉลี่ย:มีดัชนีที่แตกต่างกันคือเช่นนี้ ?A [ i ] + A [ j ] = 2 A [ k $i,j,k$$A[i] + A[j] = 2 A[k]$

• ConvolutionAverage:มีดัชนีไม่ที่ ? (นี่คือปัญหาที่คุณถาม)A [ i ] + A [ j ] = 2 A [ ( i + j ) / 2 $i<j$$A[i] + A[j] = 2A[(i+j)/2]$

ในวิทยานิพนธ์ปริญญาเอกของฉันฉันพิสูจน์ว่าปัญหาทั้งสี่นี้ต้องใช้เวลาในรูปแบบการตัดสินใจแบบต้นไม้ตัดสินใจที่อนุญาตเฉพาะแบบสอบถามในรูปแบบ "Is positive, positive หรือ zero? "โดยที่เป็นจำนวนจริง (ที่ไม่ขึ้นอยู่กับอินพุต) โดยเฉพาะอย่างยิ่งอัลกอริทึม 3SUM ใด ๆ ในรุ่นนี้ต้องถามคำถาม "ใหญ่กว่าเล็กกว่าหรือเท่ากับ " อย่างน้อยครั้ง ขอบเขตล่างนั้นไม่ได้ออกกฎอัลกอริทึมย่อยในรูปแบบทั่วไปของการคำนวณ - แน่นอนว่ามันเป็นไปได้ที่จะกำจัดปัจจัยบันทึกบางอย่างα [ ผม] + β [ J ] + γ [ k ] + δ α , β , γ , δ [ ผม] + [ J ] [ k ] Ω ( n 2$\Omega(n^2)$$\alpha A[i] + \beta A[j] + \gamma A[k] + \delta$$\alpha,\beta,\gamma,\delta$$A[i] + A[j]$$A[k]$$\Omega(n^2)$ในรุ่น RAM จำนวนเต็มต่างๆ แต่ไม่มีใครรู้ว่ารุ่นทั่วไปประเภทใดจะช่วยได้มากขึ้น

Pǎtraashingcuพิสูจน์แล้วว่าถ้า 3SUM ต้องการเวลาสำหรับฟังก์ชันใด ๆจากนั้น Convolution3SUM ต้องใช้เวลาที่คาดหวัง ดังนั้นจึงมีเหตุผลที่จะกล่าวได้ว่า Convolution3SUM นั้น "อ่อนแรง 3SUM ยาก" ตัวอย่างเช่นถ้า Convolution3SUM จะสามารถแก้ไขได้ในเวลาแล้ว 3sum จะสามารถแก้ไขได้ในเวลาf Ω ( n 2 / f 2 ( n ⋅ f ( n ) ) ) O ( n 1.8 ) O ( n 1.9$\Omega(n^2/f(n))$$f$$\Omega(n^2/f^2(n\cdot f(n)))$$O(n^{1.8})$$O(n^{1.9})$

ฉันยังไม่เข้าใจรายละเอียด แต่ฉันพนันได้เลยว่าการโต้แย้งแบบขนานหมายความว่าถ้าค่าเฉลี่ยต้องการเวลาที่คาดไว้สำหรับฟังก์ชันใด ๆดังนั้น ConvolutionAverage ต้องใช้เวลาที่คาดหวัง กล่าวอีกนัยหนึ่ง ConvolutionAverage คือ "อ่อนปานกลาง - ยาก"f Ω ( n 2 / f 2 ( n ⋅ f ( n ) ) $\Omega(n^2/f(n))$$f$$\Omega(n^2/f^2(n\cdot f(n)))$

น่าเสียดายที่ไม่มีใครรู้ว่าค่าเฉลี่ยคือ (ถึงขั้นอ่อน) 3SUM-hard! ฉันสงสัยว่าเฉลี่ยเป็นจริงไม่ 3sum ยากถ้าเพียงเพราะขอบเขตล่างสำหรับการโหวตเป็นอย่างมากยากที่จะพิสูจน์กว่าขอบเขตล่างสำหรับ 3sum$\Omega(n^2)$$\Omega(n^2)$

นอกจากนี้คุณยังถามเกี่ยวกับกรณีพิเศษที่องค์ประกอบมากมายที่อยู่ติดกันแตกต่างกันโดยน้อยกว่าบางคนคงจำนวนเต็มKสำหรับ 3SUM และ Average ตัวแปรนี้สามารถแก้ไขได้ในเวลาโดยใช้การแปลงฟูริเยร์อย่างรวดเร็วดังนี้ (การสังเกตนี้เกิดจาก Raimund Seidel) $K$$O(n \log n)$

สร้างบิตเวกเตอร์ที่และถ้าหากจำนวนเต็มปรากฏในการป้อนข้อมูลอาร์เรย์ คำนวณการบิดของด้วยตัวเองในเวลาโดยใช้ FFT อาร์เรย์ส่งผลให้มีไม่ใช่ศูนย์ค่าในตำแหน่ง TH ถ้าหากคู่บางส่วนขององค์ประกอบในรวมไปJ ดังนั้นเราจึงสามารถแยกรายการที่เรียงลำดับของผลรวมจากบิดในเวลา จากที่นี่มันเป็นเรื่องง่ายที่จะแก้ปัญหาหรือเฉลี่ย 3sum ในเวลาB [ i ] = 1 A [ 1 ] + $B[0..Kn]$$B[i]=1$$A[1]+i$ B O ( K n เข้าสู่ระบบK n ) = O ( n log n ) เจ2 [ 1 ] + J [ ผม] + A [ j ] O ( n ) O ( n $A$$B$$O(Kn\log Kn) = O(n\log n)$$j$$A$$2A[1] + j$$A[i]+A[j]$$O(n)$$O(n)$

แต่ฉันไม่รู้เคล็ดลับที่คล้ายกันสำหรับ Convolution3SUM หรือ ConvolutionAverage!