ความแตกต่างระหว่างภาษาที่ DFA สองภาษายอมรับซึ่งมีสถานะเริ่มต้น / รัฐที่ยอมรับแตกต่างกันอย่างไร

เมื่อเร็ว ๆ นี้ฉันถามคำถามเกี่ยวกับ Math SE ยังไม่มีคำตอบ คำถามนี้เกี่ยวข้องกับคำถามนั้น แต่รายละเอียดทางเทคนิคเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิทยาการคอมพิวเตอร์

รับ DFAsสองและโดยที่ชุดของรัฐตัวอักษรอินพุตและฟังก์ชันการเปลี่ยนแปลงของและเหมือนกันสถานะเริ่มต้นและสถานะสุดท้าย (การยอมรับ) อาจแตกต่างกัน ให้และเป็นภาษาที่และยอมรับตามลำดับ$A = (Q, \Sigma, \delta, q_1, F_1)$$B = (Q, \Sigma, \delta, q_2, F_2)$$A$$B$$L_1$$L_2$$A$$B$

มีสี่กรณี:

1. $q_1 = q_2$และF_2$F_1 = F_2$
2. $q_1 \neq q_2$และF_2$F_1 = F_2$
3. $q_1 = q_2$และF_2$F_1 \neq F_2$
4. $q_1 \neq q_2$และF_2$F_1 \neq F_2$

คำถามของฉันคือ

อะไรคือข้อแตกต่างระหว่างและ ในกรณีที่ 2, 3 และ 4$L_1$$L_2$

ฉันมีคำถามที่เฉพาะเจาะจงมากขึ้นในบรรทัดนี้

ช่วงการเปลี่ยนภาพของหุ่นยนต์เป็นชุดของฟังก์ชั่นทั้งหมดในชุดของรัฐที่เกิดจากสายป้อนข้อมูล ดูหน้าสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม ช่วงการเปลี่ยนภาพสามารถถือได้ว่าเป็นชุดการแสดงในชุดของรัฐ ดูหน้า Wiki นี้สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม

ในวรรณกรรมหลายเล่มหุ่นยนต์จะถูกเรียกว่าเชื่อมต่ออย่างยิ่งเมื่อการกระทำแบบโมโนสเป็นสกรรมกริยานั่นคือมีการเปลี่ยนแปลงอย่างน้อยหนึ่งครั้ง (สตริงอินพุต) จากสถานะหนึ่งไปอีกสถานะหนึ่ง

หากและเชื่อมต่ออย่างยิ่งออโตมาต้าความแตกต่างระหว่างและในกรณีที่ 2, 3 และ 4 ข้างต้นคืออะไร$A$$B$$L_1$$L_2$

วรรณกรรมใด ๆ ที่พูดถึงปัญหาเหล่านี้อย่างละเอียด?

ฉันค้นหาหนังสือและบทความมากมายและไม่พบว่ามีประโยชน์อะไร ฉันเชื่อว่าฉันยังไม่มีคำสำคัญที่เหมาะสม ดังนั้นฉันขอความช่วยเหลือ พอยน์เตอร์ / การอ้างอิงใด ๆ จะได้รับการชื่นชมอย่างมาก

ตั้งแต่มีการเชื่อมต่ออย่างยิ่งแล้วถ้ามีอยู่คำดังกล่าวว่าและ\$A,B$$q_1\neq q_2$$p_1,p_2$$\delta(q_1,p_1)=q_2$$\delta(q_2,p_2)=q_1$

พิจารณากรณีที่ 2 แล้ว IFFและ IFF(A) ดังนั้นคุณสามารถเพิ่มคำนำหน้าเพื่อสลับระหว่างภาษา$w\in L(A)$$p_2w\in L(B)$$x\in L(B)$$p_1 x\in L(A)$

พิจารณากรณีที่ 3 จากนั้นอีกครั้ง - โดยการเชื่อมต่อที่รัดกุมที่สุดคำเช่นนั้นสำหรับทุก ๆคุณมีและในทำนองเดียวกันสำหรับทิศทางอื่น (จากถึง )$|F_1|$$s_1,...,s_k$$q_i\in F_1$$\delta(q_i,s_i)\in F_2$$B$$A$

ดังนั้นคุณสามารถเขียนคำต่อท้ายเพื่อสลับระหว่างภาษา

การรวมสิ่งเหล่านี้คุณสามารถระบุลักษณะของความแตกต่างโดยใช้คำนำหน้าและคำต่อท้าย ตัวอย่างเช่นในกรณีที่ 4, iffในสำหรับบางในชุด จำกัด ที่กำหนดไว้ล่วงหน้า$w\in L(B)$$p_1 w s_i$$L(A)$$s_i$

ในความเป็นจริงคุณสามารถพูดบางสิ่งที่น่าสนใจเกี่ยวกับคำเหล่านี้: กำหนดเป็น DFA โดยที่เป็นสถานะเริ่มต้นและเป็นสถานะสุดท้ายจากนั้นในกรณีที่ 2 คุณมี (และในทำนองเดียวกันสำหรับทิศทางอื่น)$C$$q_1$$q_2$$L(B)=L(C)\cdot L(A)$

สำหรับคำต่อท้ายสิ่งต่าง ๆ มีส่วนร่วมมากขึ้นเนื่องจากคุณไม่สามารถกำหนดล่วงหน้าได้ว่าสถานะสุดท้ายของคุณจะจบลงอย่างไร ฉันไม่แน่ใจว่าคุณสามารถเขียนสิ่งนี้เป็นการต่อข้อมูล แต่คุณสามารถเขียนโดยที่คือ DFA ที่ได้รับจากตั้งค่าและเป็น DFA ที่จะเริ่มในกับรัฐสุดท้ายF_2$L(B)=\bigcup_{q\in F_1}L(A_q)\cdot L(E_q)$$A_q$$A$$F=\{q\}$$E_q$$q$$F_2$

สำหรับกรณีที่ 4 คุณสามารถรวมทั้งสอง

คุณอาจกังวลว่านี่ไม่ใช่คำตอบที่แท้จริง แต่เป็นเพียงลักษณะของคุณสมบัติที่ใช้คำมากกว่าสหรัฐอเมริกา แต่นี่เป็นคำตอบทั่วไปในสาขานี้ (คล้ายกับทฤษฎีบท Myhill-Nerode)