Asymptotics ของจำนวนคำในภาษาปกติของความยาวที่กำหนด
สำหรับภาษาปกติLLLให้cn(L)cn(L)c_n(L)เป็นจำนวนคำในLLLความยาวnnnnใช้จอร์แดนรูปแบบที่ยอมรับ (นำไปใช้กับเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง unannotated ของ DFA บางอย่างสำหรับLLL ) หนึ่งสามารถแสดงให้เห็นว่าใหญ่พอnnn , cn(L)=∑i=1kPi(n)λni,cn(L)=∑i=1kPi(n)λin, c_n(L) = \sum_{i=1}^k P_i(n) \lambda_i^n, ที่มี ชื่อพหุนามแบบซับซ้อนและPiPiP_iλiλi\lambda_i"ค่าลักษณะเฉพาะ" ที่ซับซ้อน (สำหรับขนาดเล็กเราอาจมีข้อกำหนดเพิ่มเติมของแบบฟอร์มโดยที่คือถ้าและอย่างอื่นสิ่งเหล่านี้สอดคล้องกับบล็อกของจอร์แดนที่มีขนาดอย่างน้อยมีค่าลักษณะเฉพาะ )nnnCk[n=k]Ck[n=k]C_k[n=k][n=k][n=k][n=k]111n=kn=kn=k000k+1k+1k+1000 การแสดงนี้ดูเหมือนจะบ่งบอกว่าถ้าเป็นอนันต์แล้ว asymptotically,สำหรับบาง 0 อย่างไรก็ตามนี่เป็นความเท็จอย่างชัดแจ้ง: สำหรับภาษามากกว่าของทุกคำที่มีความยาวเท่ากันแต่ . นี้แสดงให้เห็นว่าบางและสำหรับทั้งหมดทั้งสำหรับขนาดใหญ่พอหรือA} นี่คือการพิสูจน์ในFlajolet & SedgewickLLLcn(L)∼Cnkλncn(L)∼Cnkλnc_n(L) \sim C n^k \lambda^nC,λ>0C,λ>0C,\lambda>0LLL{0,1}{0,1}\{0,1\}c2n(L)=22nc2n(L)=22nc_{2n}(L) = 2^{2n}c2n+1(L)=0c2n+1(L)=0c_{2n+1}(L) = 0ddda∈{0,…,d−1}a∈{0,…,d−1}a \in \{0,\ldots,d-1\}cdm+a(L)=0cdm+a(L)=0c_{dm+a}(L) = 0mmmcdm+a∼Ca(dm+a)kaλdm+aacdm+a∼Ca(dm+a)kaλadm+ac_{dm+a} \sim C_a (dm+a)^{k_a} \lambda_a^{dm+a} (ทฤษฎีบท V.3) ซึ่งเป็นผู้พิสูจน์ข้อพิสูจน์ของ Berstel …