สุ่มตัวอย่างการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบอย่างสม่ำเสมอโดยการสุ่ม

สมมติว่าฉันมีกราฟมี (ที่รู้จัก) ชุดของจ้อที่สมบูรณ์แบบของGสมมติว่าชุดนี้ไม่ว่างเปล่าแล้วการสุ่มอย่างสม่ำเสมอจากแค่ไหน? ถ้าฉันไม่เป็นไรกับการแจกแจงที่ใกล้เคียงกับชุด แต่ไม่เหมือนกันมากแล้วจะมีอัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพหรือไม่M ( G ) G M ( G $G$$M(G)$$G$$M(G)$

มีกระดาษคลาสสิกของJerrum และ Sinclair (1989)ในการสุ่มตัวอย่างการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบจากกราฟหนาแน่น กระดาษคลาสสิกอีกฉบับของJerrum, Sinclair และ Vigoda (2004; pdf)กล่าวถึงการสุ่มตัวอย่างการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบจากกราฟสองส่วน

เอกสารทั้งสองนี้ใช้โซ่มาร์คอฟผสมกันอย่างรวดเร็วและตัวอย่างก็เกือบจะเหมือนกัน ฉันจินตนาการว่าการสุ่มตัวอย่างเป็นเรื่องยาก

หากคุณสมมติว่ากราฟของคุณเป็นระนาบแสดงว่ามีขั้นตอนพหุนามสำหรับปัญหาการสุ่มตัวอย่างนี้

ขั้นแรกปัญหาในการนับจำนวนการจับคู่ที่สมบูรณ์แบบคือ P สำหรับกราฟระนาบ ( https://en.wikipedia.org/wiki/FKT_algorithm ) (การอธิบายที่ดีของความจริงข้อนี้สามารถพบได้ในบทแรกของหนังสือ Jerrum เรื่องการนับการสุ่มตัวอย่างและการรวมเข้าด้วยกัน)

$e$$G$$G \setminus e$$e$$G$

(นี่คือการใช้ประโยชน์จากความจริงที่ว่าการจับคู่เป็นโครงสร้าง "ลดตัวเองได้" ดังนั้นการนับปัญหาและปัญหาการสุ่มตัวอย่างเครื่องแบบเป็นหลักเหมือนกันคุณสามารถดู JVV "การสร้างโครงสร้าง Combinatorial แบบสุ่มจากการแจกแจงชุด" สำหรับข้อมูลเพิ่มเติม มุมมอง.)

หลักฐานง่าย ๆ ที่ทำให้การแจกแจงถูกต้อง:

$c(H)$$H$$n!$$n = H/2$

$e_1, \ldots, e_n$

$\frac{ c(G \setminus e_1)}{c(G)} \frac{ c(G \setminus \{e_1, e_2\} )}{c(G \setminus e_1)} \ldots \frac{ c(G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}) }{c(G \setminus \{ e_1, \ldots, e_{n-2} \} )}$

$c(G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}) = 1$$G \setminus \{e_1, \ldots, e_{n-1} \}$$e_n$$1 / c(G)$