ติดดาวภาษาฟรีเทียบกับภาษาปกติ

ผมสงสัยว่าตั้งแต่*ตัวเองเป็นภาษาดาวฟรีจะมีภาษาที่ปกติที่ไม่ได้เป็นภาษาดาวฟรีหรือไม่ คุณยกตัวอย่างได้ไหม$a^*$

(จากwikipdia ) Lawson กำหนดภาษาที่ไม่มีดาวเป็น:

ภาษาปกติได้รับการกล่าวถึงว่าไม่มีดาวหากสามารถอธิบายได้ด้วยการแสดงออกปกติที่สร้างขึ้นจากตัวอักษรของตัวอักษรสัญลักษณ์ชุดที่ว่างเปล่าผู้ประกอบการบูลีนทั้งหมดรวมถึงการประกอบและการต่อเรียงกัน

นี่คือหลักฐานการ*เป็นดาวฟรี:$a^*$

$\emptyset$เป็นดาวฟรี$\Longrightarrow$
$\Sigma^*=\bar{\emptyset}$เป็นดาวฟรี$\Longrightarrow$
หาก ⊆ Σแล้ว Σ * Σ *เป็นดาวฟรี ⟹ หาก ⊆ Σแล้ว * = ¯ Σ * ( Σ ∖ ) Σ *คือ ดาวฟรี$A\subseteq\Sigma$$\Sigma^*A\Sigma^*$$\Longrightarrow$
$A\subseteq\Sigma$$A^*=\overline{\Sigma^*(\Sigma \setminus A)\Sigma^*}$

ในบรรทัดสุดท้ายที่เรามี* = ¯ Σ * ( Σ ∖ ) Σ *เพราะคำใด ๆ ที่ไม่ได้อยู่ในรูปแบบ*มีตัวอักษรในΣ ∖และในทางกลับกัน$A^*=\overline{\Sigma^*(\Sigma \setminus A)\Sigma^*}$$A^*$$\Sigma \setminus A$

ภาษาปกติคือภาษาที่สามารถอธิบายได้ด้วยลอจิกลำดับที่สองที่อ่อนแอ (WMSO) [1]

ภาษาที่ไม่มีดาวเป็นภาษาที่สามารถอธิบายได้ด้วยตรรกะอันดับแรกด้วย$<$ (FO [<]) [2]

สอง logics ไม่ได้มีประสิทธิภาพเท่าเทียมกัน ตัวอย่างหนึ่งสำหรับภาษาที่ WMSO กำหนด แต่ไม่ FO [<] - การที่กำหนดคือ(ซึ่งเป็นที่ชัดเจนregular³); นี้สามารถแสดงโดยใช้เกม Ehrenfeucht-Fraisse ⁴$(aa)^*$

1. เลขคณิตอันดับสองที่อ่อนแอและออโต จำกัดโดยBüchi (1960)
2. ออโต้ - เคาน์เตอร์ฟรีโดย McNaughton และ Papert (2514)

3. WMSO สูตรสำหรับเป็น$(aa)^*$

   $\ \begin{align} \bigl[ \forall x. P_a(x)\bigr] \land \Bigl[ \exists x. P_a(x) \to \bigl[ \exists X. X(0) &\land [\forall x,y. X(x) \land \operatorname{suc}(x,y) \to \lnot X(y)] \\ &\land [\forall x,y. \lnot X(x) \land \operatorname{suc}(x,y) \to X(y)] \\ &\land [\forall x. \operatorname{last}(x) \to \lnot X(x)] \bigr] \Bigr] \;. \end{align}$

   (ถ้าคำนั้นไม่ว่างคือชุดของดัชนีทั้งหมดแม้แต่)$X$

4. ดูเพิ่มเติมที่นี่

Schützenberger (1965) แสดงลักษณะเชิงพีชคณิตของภาษาที่ปราศจากดาว: ภาษาปกติไม่มีดาวถ้าหากว่ามันเป็นโมโนเทคเชิงไวยากรณ์ ตรงกันข้ามกับการจำแนกลักษณะเชิงตรรกะ (star-free = FO [<]), การศึกษาสมบัติเชิงพีชคณิตนี้ให้อัลกอริทึมในการตัดสินใจว่าภาษาปกติที่ให้ไว้นั้นไม่มีดาว (ภาษาปกติสามารถให้ได้โดยอัตโนมัติ จำกัด , การแสดงออกปกติ ไวยากรณ์ปกติ) การใช้การอธิบายลักษณะเชิงตรรกะ (เนื่องจาก McNaughton และ Papert) สามารถตัดสินปัญหาต่อไปนี้: กำหนดสูตร WMSO มีสูตร FO อธิบายภาษาเดียวกันหรือไม่

M.-P. Schützenberger, บน monoid จำกัด มีกลุ่มย่อยเพียงเล็กน้อย, ข้อมูลและการควบคุม 8 (1965), 190-194

R. ~ McNaughton และ S. ~ Papert ออโตมาโต้ปลอดเรื่อง, The MIT Press, Cambridge, Mass.-London, 1971

หลักฐานเต็มรูปแบบของทฤษฎีบทของSchützenbergerสามารถพบได้ในตำราหรือเอกสารสำรวจต่างๆ สำหรับการนำเสนอเบื้องต้นของอัลกอริทึมที่เกี่ยวข้อง (โดยไม่มีการพิสูจน์) ให้ดู

J.-É. Pin, semigroups จำกัด และภาษาที่รู้จัก: บทนำ, ในSemigroups สถาบันการศึกษาขั้นสูงของ NATO, ภาษาทางการและกลุ่ม , J. Fountain (éd.), 1-32, สำนักพิมพ์วิชาการของ Kluwer, (1995)

ภาษาอิสระดาวถูกอธิบายโดยการแสดงออกปกติซึ่งรวมถึงการต่อกัน, การรวม, การรวม, การแยก แต่ไม่มี Kleene-star

เนื่องจากภาษาปกติถูกปิดลงภายใต้การดำเนินการทั้งหมดเหล่านี้ (ซึ่งการเติมเต็มเป็นจุดสำคัญ) ดังนั้นภาษาที่ไม่มีดาวจึงเป็นภาษาปกติ

คุณอาจหมายถึงการสนทนาหรือไม่ ภาษาปกติทั้งหมดไม่มีดาวหรือไม่? คำตอบสำหรับหลังคือไม่ ดูกระดาษนี้สำหรับรายละเอียด

ตัวอย่างการแยกง่าย ๆ คือ (aa) * ซับซ้อนยิ่งขึ้น: สตริงไบนารี่ทั้งหมดที่มีพาริตี้เท่ากัน