เครื่องทัวริงสามารถตัดสินใจได้หรือไม่ว่า NFA ยอมรับสตริงที่มีความยาวช่วงไพร์มหรือไม่?

ฉันต้องการทราบว่าปัญหาต่อไปนี้สามารถตัดสินใจได้:

อินสแตนซ์: NFA A ที่มี n สถานะ

คำถาม: มีจำนวนเฉพาะบางส่วนที่ p ยอมรับว่ามีความยาวของสตริงไหม

ความเชื่อของฉันคือว่าปัญหานี้ไม่สามารถตัดสินใจได้ แต่ฉันไม่สามารถพิสูจน์ได้ decider สามารถมีอัลกอริธึมที่จะเข้าใจได้อย่างง่ายดายว่าตัวเลขใดมีความสำคัญ แต่ฉันไม่เห็นว่ามันจะสามารถวิเคราะห์ NFA ในรายละเอียดได้มากพอที่จะรู้ว่ามันสามารถสร้างความยาวเท่าใด มันสามารถเริ่มต้นการทดสอบสตริงด้วย NFA แต่สำหรับภาษาที่ไม่มีที่สิ้นสุดมันอาจไม่เคยหยุด (และไม่ได้เป็น decider)

NFA สามารถเปลี่ยนเป็น DFA หรือนิพจน์ปกติได้อย่างง่ายดายหากโซลูชันต้องการแน่นอน

คำถามนี้เป็นสิ่งที่ฉันได้ไตร่ตรองว่าเป็นคำถามเตรียมทำเองสำหรับรอบชิงชนะเลิศที่ฉันจะมาใน 2 สัปดาห์

ความยาวของสายอักขระที่ยอมรับโดย DFA ก่อให้เกิดชุด semilinear (เช่นในทฤษฎีบทของ Parikhสำหรับภาษาเสรีบริบท) คำอธิบายของสิ่งเหล่านั้นไม่ได้ยากเกินกว่าที่จะมาได้ทฤษฎีบทของดีริชเลต์มีความก้าวหน้าทางเลขคณิตใด ๆ ของรูปแบบกับgcd ( a , b ) = 1มีค่าอนันต์ของจำนวนเฉพาะ$a + b k$$\gcd(a, b) = 1$

การดึงข้างต้นเข้าด้วยกันจะช่วยให้อัลกอริทึมตรวจสอบว่าภาษาปกติของคุณ (หรือแม้แต่บริบทที่ไม่มีบริบท) ประกอบด้วยสตริงที่มีความยาวเฉพาะ แน่นอนไม่ได้คำถามง่ายๆ IMVHO ...